第二章：第一讲一次方程（组）及其应用-2026年中考数学一轮复习【精讲精练+分层练习】（全国通用）

1．若是关于的二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B．3 C．9 D．11 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 4．若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A．1 B．0 C．2 D． 5．随着消费者环保意识的增强和对新能源汽车认知度的提高，越来越多的家庭倾向于购买环保且高性能的新能源车型，今年我国第一季度新能源汽车销量约为209万辆，比去年一季度增长，求去年第一季度新能源汽车的销量．若将去年第一季度新能源汽车的销量设为x万辆，则符合题意的方程是（　　　） A． B． C． D． 6．若，则的平方根是（   ） A．7 B． C． D． 7．明代万历数学家程大位所著《算法统宗》一书列举各种应用题及解法，其中记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思为，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达，则此人第六天走的路程为（   ） A．3里 B．4里 C．6里 D．8里 8．若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 9．方程：． 10．解方程． (1)； (2)． 11．小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． 12．已知且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 14．国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费元．其中毛笔每支元，围棋每副元，共有多少种购买方案．（    ） A． B． C． D． 15．当实数，满足时，称点为和谐点，若以关于，的方程组的解为坐标的点为和谐点，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 16．水东蜜枣，宣城市特产，中国国家地理标志产品．嘉琪家去年种植蜜枣的利润为12000元，今年蜜枣的收入比去年增加了，支出比去年减少了，今年的利润比去年多11400元．嘉琪列出二元一次方程组，刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的，表示的未知量分别为（　　） A．今年种植蜜枣的收入是元，支出为元 B．今年种植蜜枣的收入是元，支出为元 C．去年种植蜜枣的收入是元，支出为元 D．去年种植蜜枣的收入是元，支出为元 17．为了促进经济内循环，某商场进行促销活动，有两种促销方案．方案一：若顾客购买两种不同价格的商品，高价格的商品按原价购买，低价格的商品可按原价的半价购买；方案二：顾客购买两件商品的总价的折购买．小明身上带有元到商场购买两件不同的物品，若按方案一买两件商品，则还差元；若按方案二买两件商品，则剩余元．那么这两件商品的原价分别是多少？ 18．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数是最小的正整数，且、满足． (1)求、、的值； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则数轴上折痕所表示的数为 ，点与数 表示的点重合； (3)动点、同时从原点出发，点向负半轴运动，点向正半轴运动，点的速度是点的速度的3倍，2秒钟后，点到达点并继续按原速度沿轴向左运动． ①求点的速度； ②点到达点后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，点改变方向后，当点与点相距3个单位长度时，直接写出点表示的数． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．若是关于的二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B．3 C．9 D．11 【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 把代入得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：把代入可得： ，解得：． 故选B． 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个一次方程组成，且含有两个未知数的整式方程叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：由二元一次方程组的定义可知，只有C选项中的方程组是二元一次方程组， 故选：C． 3．如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义、构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，根据二元一次方程要求两个未知项的指数均为，因此需使的指数，的指数，解方程组即可． 【详解】解： 方程是二元一次方程， 的指数，的指数， 解方程组， 可得：． 故选：A． 4．若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法和整体思想是解题的关键．将方程组的两式相加得，进而发现与的关系，从而获解． 【详解】解：将二元一次方程组的两式相加，得， 又∵， ∴， 解得， 故选：A． 5．随着消费者环保意识的增强和对新能源汽车认知度的提高，越来越多的家庭倾向于购买环保且高性能的新能源车型，今年我国第一季度新能源汽车销量约为209万辆，比去年一季度增长，求去年第一季度新能源汽车的销量．若将去年第一季度新能源汽车的销量设为x万辆，则符合题意的方程是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据去年的销量今年的销量，列方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得 故选：A． 6．若，则的平方根是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的平方根、代入消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，求平方根． 利用平方和绝对值的非负性，得到二元一次方程组，解方程组求出x和y，再计算，最后求平方根． 【详解】解：∵，，， ∴，， 即方程组：， 解得：， ∴， 7的平方根是． 故选：C． 7．明代万历数学家程大位所著《算法统宗》一书列举各种应用题及解法，其中记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思为，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达，则此人第六天走的路程为（   ） A．3里 B．4里 C．6里 D．8里 【答案】C 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用. 设第六天走了x里，则第五天走了里，第四天走了里，……，列方程计算即可. 【详解】解：设第六天走了x里， 依题意得：， 解得. 故选：C. 8．若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 【答案】B 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 由于两个方程组有相同的解，可先由两个不含参数的方程联立解出公共解和，再代入含参数的方程求出和，进而计算． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴可得方程组：， ， 解得：， 将，代入得：， 解得：， ∴， 故选：B． 9．方程：． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据代入消元法解答即可． 【详解】解：， 由得， 将代入得：， 解得， 将代入，解得， 这个方程的解为． 10．解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，涉及一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，熟练掌握一元一次方程解法步骤是解决问题的关键． （1）由一元一次方程解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； （2）由一元一次方程解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 11．小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． 【答案】(1)错误，错误 (2)，过程见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． （1）根据解分式方程的步骤进行判断即可； （2）根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误， 故答案为：错误，错误； （2）解： 经检验，当时，， ∴是分式方程的解． 12．已知且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求不等式组的解集、加减消元法 【分析】本题考查了求解二元一次方程组中参数的取值范围，求不等式组的解集，通过观察，两式相减可得关于的等式，然后由，列出不等式组，然后解不等式组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 得， ∵， ∴， 解得：， 故选：． 13．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 【答案】C 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题、加减消元法 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，理解题中方程组的解的含义是解题的关键．将代入方程组可得，即可求出的值，再将代入方程可得，然后解方程组可得，的值，代入计算即可得． 【详解】解：将代入方程组， 得：， 解得：， 将代入方程， 得：， 联立， 解得：， ． 故选：C． 14．国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费元．其中毛笔每支元，围棋每副元，共有多少种购买方案．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费元”，列出二元一次方程是解题的关键． 设购买毛笔支，围棋副，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可得出购买方案的数量． 【详解】解：设购买毛笔支，围棋副，根据题意得， ，即， ． 又，均为正整数， ∴或或或或， ∴班长有5种购买方案． 故选：B 15．当实数，满足时，称点为和谐点，若以关于，的方程组的解为坐标的点为和谐点，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查解二元一次方程组、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值． 【详解】解：∵， 解得． ∴． 点为和谐点， ∴，． 又， ∴． ∴， 故答案选：C． 16．水东蜜枣，宣城市特产，中国国家地理标志产品．嘉琪家去年种植蜜枣的利润为12000元，今年蜜枣的收入比去年增加了，支出比去年减少了，今年的利润比去年多11400元．嘉琪列出二元一次方程组，刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的，表示的未知量分别为（　　） A．今年种植蜜枣的收入是元，支出为元 B．今年种植蜜枣的收入是元，支出为元 C．去年种植蜜枣的收入是元，支出为元 D．去年种植蜜枣的收入是元，支出为元 【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，正确分析题目中给出的方程组，从而找出方程组中的，表示的未知量． 分析方程组可得方程组中的，，表示的未知量分别为：去年的总收入为元、总支出为元． 【详解】解：第一个方程表示去年种植蜜枣的利润为12000元，即去年种植蜜枣的收入减去年种植蜜枣的支出为12000元； 第二个方程表示今年种植蜜枣的收入（是去年收入的1.2倍）减今年种植蜜枣的支出（是去年支出的0.9倍）等于今年利润元； 表示去年种植蜜枣的收入，表示去年种植蜜枣的支出． 故选：C． 17．为了促进经济内循环，某商场进行促销活动，有两种促销方案．方案一：若顾客购买两种不同价格的商品，高价格的商品按原价购买，低价格的商品可按原价的半价购买；方案二：顾客购买两件商品的总价的折购买．小明身上带有元到商场购买两件不同的物品，若按方案一买两件商品，则还差元；若按方案二买两件商品，则剩余元．那么这两件商品的原价分别是多少？ 【答案】高价格的商品原价是220元，低价格的商品原价是80元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元，根据按方案一买两件商品，则还差元，可列方程；根据按方案二买两件商品，则剩余元，可列方程，解方程组即可求出两种商品的原价． 【详解】解：设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元， 根据题意可得： 解方程组可得：， 答：高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元． 18．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数是最小的正整数，且、满足． (1)求、、的值； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则数轴上折痕所表示的数为 ，点与数 表示的点重合； (3)动点、同时从原点出发，点向负半轴运动，点向正半轴运动，点的速度是点的速度的3倍，2秒钟后，点到达点并继续按原速度沿轴向左运动． ①求点的速度； ②点到达点后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，点改变方向后，当点与点相距3个单位长度时，直接写出点表示的数． 【答案】(1)，， (2)， (3)①个单位长度每秒；②点Q表示的数或． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、非负数的性质、数轴上的动点问题等知识点． （1）根据题中已知条件及绝对值与平方的非负性，即可确定a，b，c； （2）根据折叠及轴对称的性质进行求解即可； （3）①根据题意，点P走过的路程为2，时间为2，由路程、速度、时间的关系即可求出； ②设再经过秒后二者相距3个单位长度，考虑两种情况，一是未追上前相距3个单位长度；二是追上后超出3个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴b为最小的正整数， ∴； 故答案为：，，； （2）解：折痕表示的数为：； 点B到折痕的距离为1个单位长度，则， 点B与表示数3的点重合； 故答案为：，； （3）解：①点P走过的路程为2，时间为2，， ∴速度为1个单位长度每秒， ∵点Q的速度是点P的速度的倍， ∴点Q的速度为个单位长度每秒； 故Q的速度为个单位长度每秒； ②点到达点时，时间为（秒）， 此时点表示的数为6，点表示的数是，相距：（个单位长度）， 设再经过秒后二者相距3个单位长度， 则根据题意可得：或者， 解得：或， 或， ∴点Q表示的数或． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $第一讲 一次方程(组)及其应用 教材知识 中考考点 课标要求 一次方程(组)及其解法 1.一元一次方程及其解法 掌握等式的基本性质; 能解一元一次方程. 2.二元一次方程组及其解法 掌握消元法,能解二元一次方程组; 能解简单的三元一次方程组. 3.一次方程(组)含参问题 一次方程(组)的实际应用 4.一次方程(组)的实际应用 能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程. 命题点1 一元一次方程及其解法 1、 方程:含有未知数的等式. 2、 方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值,只含有一个未知数(一元)方程的解又叫做它的根. 3、 等式的基本性质 类别 具体内容 表示 性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等 如果,那么 性质2 等式两边乘同一个数(或除以同一个不为0的数),结果仍相等 如果,那么,() 【要点解读】 ①对称性:如果,那么; ②传递性:如果,,那么. 4、 一元一次方程:等号两边都是整式,只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1的方程. 5、解一元一次方程的一般步骤 步骤 具体内容 变形依据 去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数 等式的性质2 去括号 括号前的数乘括号内的每一项 乘法分配律或去括号法则 移项 把含有未知数的项移到方程一边,常数项移到另一边 等式的性质1 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数化为1 方程两边同除以未知数的系数,得到方程的解 等式的性质2 【要点解读】 ①在一元一次方程中,未知数的系数不为0; ②去分母时,不要漏乘不含分母的项; ③去括号时,括号前是负号时,去括号后原括号内的每一项都要变号; ④移项要改变符号. 1.(2024 贵州)小红学习了等式的性质后,在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“ ”“ ”“ ”三种物体,如图所示,天平都保持平衡.若设“ ”与“ ”的质量分别为x,y,则下列关系式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查等式的性质,设“ ”的质量为a,根据题意列出等式,,然后化简代入即可解题. 【详解】解:设“ ”的质量为a, 由甲图可得,即, 由乙图可得,即, ∴, 故选C. 2.(2025 贵州)已知是关于的方程的解,则的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【知识点】已知方程的解,求参数 【分析】本题考查一元一次方程的解,将已知解代入方程,解关于m的一元一次方程即可. 【详解】解:∵是关于的方程的解, ∴ ∴ 故选C. 3.(2025 四川成都)任意给一个数x,按下列程序进行计算.若输出的结果是15,则x的值为 . 【答案】3 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了程序框图的计算,一元一次方程的应用,正确理解题意是解题的关键. 根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可. 【详解】解:由题意得:, 解得:, 故答案为:3. 4.(2024 新疆)解方程:; 【答案】. 【知识点】解一元一次方程(一)——合并同类项与移项 【分析】按照解一元一次方程的步骤解答即可求解; 【详解】解:去括号得,, 移项得,, 合并同类项得,. 5.(2024 山东滨州)解方程:; 【答案】. 【知识点】解一元一次方程(一)——去分母、合并同类项与移项 【分析】按照解一元一次方程的步骤解答即可求解; 【详解】解:去分母得:2(2x-1)=3(x+1), 去括号得:4x-2=3x+3, 移项得:4x-3x=3+2, 合并同类项得:x=5. 命题点2 二元一次方程(组)及其解法 1、二元一次方程:含有两个未知数(元),并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. 2、二元一次方程组:方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程. 3、二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的公共解. 4、三元一次方程:含有三个未知数(元),并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. 5、三元一次方程组:方程组中有三个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程. 【要点解读】 ①在二(三)元一次方程中,未知数的系数都不能为0; ②在二(三)元一次方程组中,一共含有两(三)个未知数,并非每个方程都必须含有两个(三)未知数. 6、二元一次方程组的解法. (1) 解二元一次方程组的基本思路如下: (2) 解二元一次方程组的一般方法: 方法 具体内容 代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解 加减消元法 ①当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程 ②当系数既不互为相反数也不相同时,先将两个方程适当的变形(将一组未知数的系数化为绝对值相等)后,再通过相加或相减消除其中一个未知数 【要点解读】 ①书写方程组的解时,通常用“{”把各未知数的值合写在一起; ②检验一组数是否为方程的解时,只需将这组数代入方程组,检验方程组中各方程等号两边的结果是否相同; ③当方程组中有一个方程的未知数的系数为1或-1时,常用代入消元法; ④当方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时,常用加减消元法. 6.(2025 四川凉山)若,则的平方根是( ) A.8 B. C. D. 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、求一个数的平方根、利用二次根式的性质化简、加减消元法 【分析】本题考查非负性,解二元一次方程组,求一个数的平方根,利用二次根式的性质进行化简,先根据非负性,得到关于的二元一次方程组,两个方程相减后求出的值,再根据平方根的定义,进行求解即可.熟练掌握非负性,平方根的定义,是解题的关键. 【详解】解:∵, ∴, ,得:, ∴的平方根是; 故选:C. 7.(2025 山西)解方程组: 【答案】 【知识点】加减消元法解方程 【分析】解二元一次方程组等知识,正确进行运算是解题的关键;利用加减消元法,两式相加消去未知数y,求得未知数x的值,再求出y的值即可. 【详解】解:①+②,得, . 将代入②,得, . 所以原方程组的解是. 命题点3 一次方程(组)中含参问题 1、一次方程(组)中含参问题的解题步骤: 类型 步骤 已知方程(组)的解确定参数 ①将方程(组)的解代入原方程(组),得到关于参数的新的方程(组); ②解新的方程(组),求参数的值 根据方程(组)解的情况确定参数 方法一:用参数表示未知数: ①用含有参数的代数式表示一次方程(组)的解; ②根据一次方程(组)解的情况,得到关于参数的新的方程(或不等式); ③解新的方程(或不等式),求出参数的值(或取值范围). 方法二:运用整体思路求解二元一次方程组中含参问题: ①将两个方程直接(或通过变形后)相加(或相减)得出两个未知数之间的关系式; ②将所得的关系式整体代入题目中所给的方程(或不等式)中; ③解方程(或不等式),求出参数的值(或取值范围). 根据两个方程(组)有相同解确定参数 先解不含参数的方程或解将不含参数的方程联立后得到的方程组,再将求得的解代入含参的方程(组)中,求出参数的值 【要点解读】 ①把参数当作数字解方程组,即用含参的代数式表示,,或者整体思想表示出和需要满足的关系; ②根据解满足的关系求参数. 8.(2023 四川眉山)已知关于的二元一次方程组的解满足,则m的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】将方程组的两个方程相减,可得到,代入,即可解答. 【详解】解:, 得, , 代入,可得, 解得, 故选:B. 【点睛】本题考查了根据解的情况求参数,熟练利用加减法整理代入是解题的关键. 9.(2023 四川南充)关于x,y的方程组的解满足,则的值是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】法一:利用加减法解方程组,用表示出,再将求得的代数式代入,得到的关系,最后将变形,即可解答. 法二:中得到,再根据求出代入代数式进行求解即可. 【详解】解:法一:, 得, 解得, 将代入,解得, , , 得到, , 法二: 得:,即:, ∵, ∴, , 故选:D. 【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数,同底数幂除法,幂的乘方,熟练求出的关系是解题的关键. 10.(2023 安徽宣城 二模)若实数满足,,则下列结论正确的是( ) A. B.若,则 C. D.若,则 【答案】C 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、不等式的性质、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及一元一次不等式的性质,解题的关键是先用含的代数式表示出、的值.先联立已知的等式,通过解二元一次方程组用含的代数式表示出、的值,然后通过等式和不等式的性质逐项判断各选项即可. 【详解】解:联立, 由得,, 把代入得,,解得, 把代入得,, ,的值未定, 无法确定正负性,即无法确定,故A选项结论不符合题意; 若,则,故B选项结论不符合题意; ,故C选项结论符合题意; 若,则,故D选项结论不符合题意. 故选:C . 11.(2023 四川泸州)关于,的二元一次方程组的解满足,写出的一个整数值 . 【答案】7(答案不唯一) 【知识点】无理数的大小估算、已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集,再将代入,然后解关于a的不等式的解集即可得出答案. 【详解】将两个方程相减得, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴的一个整数值可以是7. 故答案为:7(答案不唯一). 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式,整体代入的思想方法是解答本题的亮点. 命题点4 一次方程(组)的实际应用 1、 常见的类型问题及数量关系 常见问题 数量关系 利润问题 ①利润=售价-进价(成本) ②售价=标价 折扣率 ③销售额=售价 数量 ④利润率= 工程问题 ①工作总量=工作效率 工作时间 ②总工作效率=各个单独做的效率的和 行程问题 ①路程=速度 时间 ②相遇问题:总路程=甲走的路程+乙走的路程 ③追及问题(乙追甲): 行船问题 ①顺水速度=静水速度+水流速度(考虑水流速度) ②逆水速度=静水速度-水流速度(考虑水流速度) 利息问题 利息=本金 利率 时间 2、 列方程(组)解应用题的一般步骤: (1) 审,即审清题意,分清题中的已知量和未知量; (2) 设,即设出关键未知数; (3) 列,即找出题干中的等量关系,列方程(组); (4) 解,即解方程(组); (5) 验,即检验结果是否正确或是是否符合实际意义; (6) 答,即回归题中,规范作答. 【要点解读】 ①一般来说,设几个未知数,就应列出几个方程,并联立得到方程组; ②列方程式,要注意等号左右两边的单位需统一. 角度1 购买、销售问题 12.(2025 山东烟台)某商场打折销售一款风扇,若按标价的六折出售,则每台风扇亏损10元;若按标价的九折出售,则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为( ) A.350元 B.320元 C.270元 D.220元 【答案】A 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用,设这款风扇每台的标价为元,根据按标价的六折出售,则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为元,根据按标价的九折出售,则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为元,据此建立方程求解即可. 【详解】解:设这款风扇每台的标价为元, 由题意得,, 解得, ∴这款风扇每台的标价为350元, 故选:A. 13.(2025 四川内江)学校准备添置一批课桌椅,原订购60套,每套100元.店方表示:如果多购,可以优惠.结果校方购了72套,每套减价3元,但商店获得同样多的利润.求每套课桌椅的成本.设每套课桌椅的成本为x元,则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用,根据利润相等建立方程.原计划利润为,实际利润为,两者相等即可求解. 【详解】解:设每套成本为元.原计划利润为元;实际购买时利润为元. 根据题意得:, 故选B. 14.(2025 甘肃兰州)《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一,“方程章”第11题大意是:两匹马一头牛总价超过1万,超过部分等于半匹马的价格;一匹马两头牛的总价不足1万,不足部分等于半头牛的价格,问一匹马、一头牛的价格分别是多少?若设一匹马价格为x,一头牛价格为y,则可列方程组为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用,解题的关键是正确分析题目中的等量关系.设每匹马的价格为x钱,每头牛的价格为y钱,根据题意列出方程即可. 【详解】解:设每匹马的价格为x,每头牛的价格为y,根据题意可得, . 故选A. 15.(2024 山东泰安)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题,其内容大致如下:用九百九十九文钱,可买甜果苦果共一千个,若…,…,试问买甜苦果各几个?若设买甜果x个,买苦果y个,列出符合题意的二元一次方程组:.根据已有信息,题中用“…,…”表示的缺失的条件应为( ) A.甜果七个用四文钱,苦果九个用十一文钱 B.甜果十一个用九文钱,苦果四个用七文钱 C.甜果四个用七文钱,苦果十一个用九文钱 D.甜果九个用十一文钱,苦果七个用四文钱 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据可得甜果苦果买一千,甜果九个十一文,苦果七个四文钱, 【详解】解:根据,可得甜果九个用十一文钱,苦果七个用四文钱, 故选:D 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是明确题意,根据方程组找出等量关系. 16.(2025 黑龙江)为促进学生德智体美劳全面发展,某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动,其中足球80元/个,篮球120元/个,共有多少种购买方案( ) A.6 B.7 C.4 D.5 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的二元一次方程,并求出方程的解,注意篮球和足球个数都是正整数.设购买足球x个,篮球y个,根据题意列出方程,找出满足x、y为非负整数的解的组数. 【详解】解:设购买足球x个,篮球y个, 根据题意得:,即, 则, ∵都是非负整数, 解得:(不符合题意,舍去)或或或或或(不符合题意,舍去), ∴共有4种购买方案, 故选:C. 17.(2025 吉林)吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的发展,某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售,甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙两种商品共10盒,花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数. 【答案】游客购买甲种商品6盒,购买乙种商品4盒 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用,正确理解题意是解题的关键. 设游客购买甲种商品x盒,购买乙种商品y盒,根据“游客购买了甲、乙两种商品共10盒,花费230元”建立方程组求解即可. 【详解】解:设游客购买甲种商品x盒,购买乙种商品y盒, 由题意得:, 解得:, 答:游客购买甲种商品6盒,购买乙种商品4盒. 角度2 分配问题 18.(2024 陕西)星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需;若爸爸单独完成,需.当天,小峰先单独打扫了一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务.小峰和爸爸这次一共打扫了,求这次小峰打扫了多长时间. 【答案】小峰打扫了. 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题是一道工程问题的应用题.设小峰打扫了,爸爸打扫了,根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程,然后求解即可. 【详解】解:设总工作量为1,小峰打扫了,爸爸打扫了,则小峰打扫任务的工作效率为,爸爸打扫任务的工作效率为, 由题意,得:, 解得:, 答:小峰打扫了. 角度3 行程问题 19.(2025 天津)《算学启蒙》是我国古代的数学著作,其中有一道题:“今有良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日,问良马几何日追及之.”意思是:跑得快的马每天走240里,跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天,快马几天可以追上慢马?设快马天可以追上慢马,则可以列出的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用,属于行程问题中的追及问题.解题的关键是找到两马路程相等的等量关系. 设快马用天追上慢马,快马的总路程为里,慢马的总路程为里,根据题意,列出方程即可. 【详解】解:设快马用天追上慢马,快马的总路程为里,慢马的总路程为里,根据题意得: . 故选:A 20.(2025 江苏连云港)《九章算术》中有一个问题:“今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今凫雁俱起,问何日相逢?”(凫:野鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞,经过多少天能够相遇?”)如果设经过天能够相遇,根据题意,得( ) A. B. C. D. 【答案】A 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用,属于相遇问题,需根据两者相向而行,相遇时路程之和为全程(即1),再建立方程即可. 【详解】解:设相遇时间为天,野鸭从南海到北海需7天,故其速度为(全程/天); 大雁从北海到南海需9天,故其速度为(全程/天), ∴方程为, 故选:A 角度4 其他问题 21.(2025 浙江)手工社团的同学制作两种手工艺品A和B,需要用到彩色纸和细木条,单个手工艺品材料用量如下表. 材料 类别 彩色纸(张) 细木条(捆) 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条,问他们制作的两种手工艺品各有多少个?设手工艺品A有x个,手工艺品B有y个,则x和y满足的方程组是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查根据实际问题,列二元一次方程,根据题意,建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组. 【详解】解:每个手工艺品A用5张,每个B用2张,总用量为17张.因此可列方程为:; 每个手工艺品A用3捆,每个B用1捆,总用量为10捆.因此可列方程为:; 故方程组为:; 故选C. 22.(2025 山东)明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题,大意是:有3个头6只手的哪吒若干,有1个头8只手的夜叉若干,两方交战,共有36个头,108只手.问哪吒、夜叉各有多少?设哪吒有个,夜叉有个,则根据条件所列方程组为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用,审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键. 设哪吒有个,夜叉有个,然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答. 【详解】解:设哪吒有个,夜叉有个, 然后根据题意可得:. 故选D. 23.(2025 黑龙江齐齐哈尔)神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣,学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观,计划租用45座和60座两种客车(两种客车都要租),若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位,则租车方案有( ) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解,设租用45座客车x辆,60座客车y辆,根据题意列出方程并求解正整数解,确定符合条件的方案种数,即可. 【详解】解:设租用45座客车x辆,60座客车y辆, 由题意得:, ∴, ∵x、y均为正整数, ∴当时,; 当时,; 当时,; 当时,. ∴共4种满足条件的正整数解,对应4种租车方案. 故选B. 24.(2025 陕西)草莓熟了,学校组织同学们参加劳动实践,帮助果农采摘草莓.小康和小悦采摘的时长相同,采摘结束后,小康采摘的草莓比小悦多.已知小康平均每小时采摘,小悦平均每小时采摘,小康采摘的时长是 小时. 【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用,根据采摘的质量得出等式是解题关键.利用小康采摘的草莓比小悦多得出等式求出答案. 【详解】解:设两小组采摘了小时, 依题意:, 解得:, 因此,两小组采摘了小时. 故答案为:. 25.(2025 广西)自2025年5月9日起至2025年12月31日,周末自驾游广西的外省籍小客车,可享受高速公路车辆通行费(以下简称高速费)优惠.小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩,此次全程所产生的高速费享受的优惠如下: 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市,所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元.求此行程的高速费实付多少元? (2)周日他们从A市到K市(全程在广西境内),高速费实付27.55元;周一从K市原路返回到A市,高速费实付95.95元.求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元. 【答案】(1) (2)特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 【知识点】列代数式、行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了代数式、二元一次方程组: (1)根据题意列出代数式即可; (2)根据题意列出方程组求解即可. 【详解】(1)此次行程高速费原价总共为:元 实际支付高速费用:元 (2)解:设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 解得: 故此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元. 1.(2023 青海)根据等式的性质,下列各式变形正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的性质,根据等式的性质,对所给选项依次进行判断即可. 【详解】解:A、由可得出或,所以A选项不符合题意. B、当时恒成立,而不一定成立,所以B选项不符合题意. C、由可得出,故C选项符合题意. D、由可得出,所以D选项不符合题意. 故选:C. 2.(2023 湖南永州)关于x的一元一次方程的解为,则m的值为( ) A.3 B. C.7 D. 【答案】A 【知识点】方程的解、解一元一次方程(一)——合并同类项与移项 【分析】把代入再进行求解即可. 【详解】解:把代入得:, 解得:. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解,以及解一元一次方程,解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解,以及解一元一次方程的方法和步骤. 3.(2023 浙江)下列各组数满足方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】代入的值,逐一判断即可解答. 【详解】解:当时,方程左边,方程左边方程右边,故A符合题意; 当时,方程左边,方程左边方程右边,故B不符合题意; 当时,方程左边,方程左边方程右边,故C不符合题意; 当时,方程左边,方程左边方程右边,故D不符合题意; 故选:A. 【点睛】本题考查了二元一次方程的解,熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解,是解题的关键. 4.(2023 青海)已知,是等腰三角形的两边长,且,满足,则此等腰三角形的周长为( ). A.8 B.6或8 C.7 D.7或8 【答案】D 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、加减消元法、等腰三角形的定义 【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值,再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解. 【详解】解:∵, ∴ 解得, ①2是腰长时,三角形的三边分别为2、2、3,能组成三角形,周长=2+2+3=7; ②2是底边时,三角形的三边分别为2、3、3,能组成三角形,周长=2+3+3=8, 所以该等腰三角形的周长为7或8. 故选:D. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,绝对值与算术平方根的非负性,根据几个非负数的和等于0,则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键,难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断. 5.(2023 湖北十堰)我国古代数学名著《张丘建算经》中记载:“今有清酒一斗直粟十斗,醑酒一斗直粟三斗,今持粟三斛,得酒五斗,问清、醑酒各几何.”其大意是:现在一斗清酒价值:10斗谷子,一斗醑酒价值3斗谷子,现在拿30斗谷子,共换了5斗酒,问清、醑酒各几斗.设清酒有斗,根据题意可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用.设清酒x斗,则醑酒斗,根据题意正确列方程即可. 【详解】解:设清酒x斗,则醑酒斗, 由题意可得:, 故选:D. 6.(2025 四川)《九章算术》是我国古代数学著作,其中记载了这样一道题:今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两.问牛、羊各直金几何?意思是:假设5头牛、2只羊,共值金10两;2头牛、5只羊,共值金8两.那么每头牛、每只羊分别值金多少两?设每头牛值金x两,每只羊值金y两,则可列方程组( ) A. B. C. D. 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,根据“设5头牛、2只羊,共值金10两;2头牛、5只羊,共值金8两”,即可列出关于x、y的二元一次方程组,此题得解. 【详解】解:∵5头牛、2只羊,共值金10两, ∴; ∵2头牛、5只羊,共值金8两, ∴. ∴根据题意可列出方程组. 故选:D. 7.(2024 四川宜宾)某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售,其中每个大箱装4千克荔枝,每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘有32千克荔枝,根据市场销售需求,大小箱都要装满,则所装的箱数最多为( ) A.8箱 B.9箱 C.10箱 D.11箱 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题,设用个大箱,个小箱,利用每个大箱装4千克荔枝,每个小箱装3千克荔枝,建立方程,求出方程的正整数解可得答案. 【详解】解:设用个大箱,个小箱, ∴, ∴, ∴方程的正整数解为: 或, ∴所装的箱数最多为箱; 故选C. 8.(2023 四川遂宁)已知关于x,y的二元一次方程组满足,则a的取值范围是 . 【答案】. 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】根据题目中方程组的特点,将两个方程作差,即可用含a的代数式表示出,再根据,即可求得的取值范围,本题得以解决. 【详解】解: ①-②,得 ∵ ∴, 解得, 故答案为:. 【点睛】本题考查解一元一次不等式,二元一次方程组的解,熟悉相关性质是解答本题的关键. 9.(2024 江苏扬州)《九章算术》是中国古代的数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题,可理解为:速度快的人每分钟走米,速度慢的人每分钟走米,现在速度慢的人先走米,速度快的人去追他.问速度快的人追上他需要 分钟. 【答案】 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的运用,理解数量关系,列出方程是解题的关键. 根据题意,设需要分钟追上,则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程,由此列式求解即可. 【详解】解:根据题意,设分钟追上, ∴, 解得,, ∴速度快的人追上速度慢的人需要分钟, 故答案为: . 10.(2023 四川广元)解方程:. 【答案】 【知识点】解一元一次方程(一)——合并同类项与移项、解一元一次方程(二)——去括号、解一元一次方程(三)——去分母 【分析】根据整式方程的计算过程,去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,就可以得到结果. 【详解】解:去分母得:, 去括号得:, 移项并合并同类项得:, 系数化为1得:, 故答案为:. 【点睛】本题考查整式方程的计算,注意每个步骤的要求是解题的关键. 11.(2025 山东淄博)解方程组: 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组,直接利用加减消元法解方程组即可. 【详解】解: 得:, 解得, 把代入②得:, ∴方程的解为. 12.(2023 浙江衢州)小红在解方程时,第一步出现了错误: 解:, …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处. (2)写出你的解答过程. 【答案】(1)见解析; (2). 【知识点】解一元一次方程(三)——去分母 【分析】此题考查了解一元一次方程,其步骤为:去分母,去括号,移项合并,把未知数系数化为1,求出解 (1)根据等式的性质,解一元一次方程的步骤即可判断; (2)首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解. 【详解】(1) (2)解:, 去分母,得,, 移项,得:, 合并同类页,得:, 解得:. 13.(2024 江苏淮安)《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著,其中有这样一个问题:“今有客不知其数.两人共盘,少两盘:三人共盘,长三盘.问客及盘各几何?”意思为:“现有若干名客人.若2个人共用1个盘子,则少2个盘子;若3个人共用1个盘子,则多出来3个盘子,问客人和盘子各有多少?”请你解答这个问题. 【答案】客人共有30位,盘子共有13个. 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用,设共有x位客人,根据盘子的数量为定值,列出方程进行求解即可. 【详解】解:设共有x位客人. 依题意,得,解得, 所以. 答:客人共有30位,盘子共有13个. 14.(2024 海南)端午节是中国传统节日,人们有吃粽子的习俗.某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽.请依据以下对话,求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价. 【答案】促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元,则促销活动前每个五花肉粽的售价10元. 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用.设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元,则促销活动前每个五花肉粽的售价元,根据题意列方程求解即可. 【详解】解:设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元,则促销活动前每个五花肉粽的售价元, 依题意得, 解得, , 答:促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元,则促销活动前每个五花肉粽的售价10元. 15.(2024 江苏连云港)我市将5月21日设立为连云港市“人才日”,以最大诚意礼遇人才,让人才与城市“双向奔赴”.活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品.折扇单价为8元,其中邮费和优惠方式如下表所示: 邮购数量 100以上(含100) 邮寄费用 总价的 免费邮寄 折扇价格 不优惠 打九折 若两次邮购折扇共花费1504元,求两次邮购的折扇各多少把? 【答案】两次邮购的折扇分别是40把和160把 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用,首先判断出两次购买数量的范围,再设一次邮购折扇把,则另一次邮购折扇把,根据“两次邮购折扇共花费1504元”列出一元一次方程,求解即可 【详解】解:若每次购买都是100把,则. 一次购买少于100把,另一次购买多于100把. 设一次邮购折扇把,则另一次邮购折扇把. 由题意得:, 解得. . 答:两次邮购的折扇分别是40把和160把. 16.(2025 四川泸州)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作,在“方程”章中记载了求不定方程(组)解的问题.例如方程恰有一个正整数解.类似地,方程的正整数解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解,根据题意写出的正整数解,即可求解. 【详解】解:∵ ∴ 正整数解为:,;,;,共3个, 故选:C. 17.(2025 四川自贡)某小区人行道地砖铺设图案如图所示.用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形.若大平行四边形短边长.则小地砖短边长( ) A.7cm B.8 C.9 D. 【答案】B 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.设每块小平行四边形地砖的长为,宽为,由图示可得等量关系:①2个长个长4个宽,②一个长一个宽,列出方程组,解方程组即可. 【详解】解:设每块小平行四边形地砖的长为,宽为, 由题意得:, 解得:, 则每块小平行四边形地砖的短边长为, 故选:B. 18.(2025 四川资阳)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有这样一个题目:“今有人持金出五关,前关二而税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一,并五关所税,适重一斤.问本持金几何.”大意是:今有人持金出五关,第1关收税金为所持金的,第2关收税金为此时所持金的,第3关收税金为此时所持金的,第4关收税金为此时所持金的,第5关收税金为此时所持金的五关税金之和恰好重1斤,问原本持金多少?( ) A.斤 B.斤 C.斤 D.斤 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用,理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键.设原本持金为斤,逐关计算税金并求和,根据已知列方程,然后解方程求得即可. 【详解】解:由题意,第1关收税:,剩余, 第2关收税:,剩余, 第3关收税:,剩余, 第4关收税:,剩余, 第5关收税:, 则五关税金之和为, 根据题意,总税金为1斤,得, 解得 故原本持金为斤, 故选:A. 19.(2025 河北)甲、乙两张等宽的长方形纸条,长分别为,.如图,将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起,形成长为81的纸条,则 . 【答案】99 【知识点】已知式子的值,求代数式的值、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值,一元一次方程的应用,由题意可知:重叠部分为: ,设叠部分的长度为k,则,,根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程,求解即可得出答案. 【详解】解:由题意可知:重叠部分为: , 设重叠部分的长度为k,则,, 重叠后的总长度为:,即, 代入,得:, 解得:, ∴,, ∴, 故答案为:99. 20.(2025 四川广元)幻方的历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中.把洛书用今天的数学符号翻译出来,就是一个三阶幻方(如图①),将9个数填在(三行三列)的方格中,如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等,就得到一个广义的三阶幻方.图②的方格中填写了一些数字和字母,若能构成一个广义的三阶幻方,则 . 【答案】1 【知识点】零指数幂、数字问题(一元一次方程的应用)、图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质(每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等,即幻和相等)以及有理数的乘方运算.解题的关键是通过设定幻和为S,用字母表示未知格子的数字,再利用幻和相等的性质建立方程,进而求解出字母x、y的值. 【详解】解:设三阶幻方的幻和为(即每行、每列、每条对角线的数字之和均为. 设三阶幻方的9个数字分别为: y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等,和均为S”,可得: 解①得,解②得:,则 再代入①得: . 故答案为:1. 21.(2025 重庆)若实数x,y同时满足,,则的值为 . 【答案】 【知识点】绝对值非负性、绝对值方程、负整数指数幂 【分析】本题考查绝对值的非负性,解一元一次方程,负整数指数幂,根据绝对值的非负性,得到,,进而得到,进而得到关于的一元一次方程,求出的值,进而求出的值,再根据负整数指数幂的法则,进行计算即可. 【详解】解:∵,, ∴,, ∴, ∴, 当时,方程无解, 当时,, ∴, ∴, ∴; 故答案为:. 22.(2025 河北)一般固体都具有热胀冷缩的性质,固体受热后其长度的增加称为线膨胀.在(本题涉及的温度均在此范围内),原长为的铜棒、铁棒受热后,伸长量与温度的增加量之间的关系均为,其中为常数,称为该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数(单位:);原长为的铁棒从加热到伸长了. (1)原长为的铜棒受热后升高,求该铜棒的伸长量(用科学记数法表示). (2)求铁的线膨胀系数;若原长为的铁棒受热后伸长,求该铁棒温度的增加量. (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热,当它们的伸长量相同时,若铁棒的温度比铜棒的高,求该铁棒温度的增加量. 【答案】(1) (2), (3) 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了科学记数法,一元一次方程的应用,根据题意列出方程是解题的关键; (1)根据,代入数据进行计算即可求解; (2)根据定义求得铁的线膨胀系数,进而设该铁棒温度的增加量为,根据题意列出一元一次方程,解方程,即可求解; (3)设该铁棒温度的增加量为,根据题意列出一元一次方程,解方程,即可求解. 【详解】(1)解:, 答:该铜棒的伸长量. (2)解:, 解得:, 设该铁棒温度的增加量为,根据题意得, , 解得:, 答:铁的线膨胀系数,该铁棒温度的增加. (3)解:设该铁棒温度的增加量为,根据题意得, , 解得: , 答:该铁棒温度的增加量为. 第1页,共2页 第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $ 第一讲 一次方程（组）及其应用 教材知识 中考考点 课标要求 一次方程（组）及其解法 1.一元一次方程及其解法 掌握等式的基本性质； 能解一元一次方程. 2.二元一次方程组及其解法 掌握消元法，能解二元一次方程组； 能解简单的三元一次方程组. 3.一次方程（组）含参问题 一次方程（组）的实际应用 4.一次方程（组）的实际应用 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程. 命题点1 一元一次方程及其解法 1、 方程：含有未知数的等式. 2、 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，只含有一个未知数（一元）方程的解又叫做它的根. 3、 等式的基本性质 类别 具体内容 表示 性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果，那么 性质2 等式两边乘同一个数（或除以同一个不为0的数），结果仍相等 如果，那么，() 【要点解读】 ①对称性：如果，那么； ②传递性：如果，，那么. 4、 一元一次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程. 5、解一元一次方程的一般步骤 步骤 具体内容 变形依据 去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数 等式的性质2 去括号 括号前的数乘括号内的每一项 乘法分配律或去括号法则 移项 把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边 等式的性质1 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数化为1 方程两边同除以未知数的系数，得到方程的解 等式的性质2 【要点解读】 ①在一元一次方程中，未知数的系数不为0； ②去分母时，不要漏乘不含分母的项； ③去括号时，括号前是负号时，去括号后原括号内的每一项都要变号； ④移项要改变符号. 1．（2024·贵州）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·四川成都）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ． 4．（2024·新疆）解方程：； 5．（2024·山东滨州）解方程：； 命题点2 二元一次方程（组）及其解法 1、二元一次方程：含有两个未知数（元），并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. 2、二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程. 3、二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解. 4、三元一次方程：含有三个未知数（元），并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. 5、三元一次方程组：方程组中有三个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程. 【要点解读】 ①在二（三）元一次方程中，未知数的系数都不能为0； ②在二（三）元一次方程组中，一共含有两（三）个未知数，并非每个方程都必须含有两个（三）未知数. 6、二元一次方程组的解法. （1） 解二元一次方程组的基本思路如下： （2） 解二元一次方程组的一般方法： 方法 具体内容 代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解 加减消元法 ①当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程 ②当系数既不互为相反数也不相同时，先将两个方程适当的变形（将一组未知数的系数化为绝对值相等）后，再通过相加或相减消除其中一个未知数 【要点解读】 ①书写方程组的解时，通常用“{”把各未知数的值合写在一起； ②检验一组数是否为方程的解时，只需将这组数代入方程组，检验方程组中各方程等号两边的结果是否相同； ③当方程组中有一个方程的未知数的系数为1或-1时，常用代入消元法； ④当方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，常用加减消元法. 6．（2025·四川凉山）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 7．（2025·山西）解方程组： 命题点3 一次方程（组）中含参问题 1、一次方程（组）中含参问题的解题步骤： 类型 步骤 已知方程（组）的解确定参数 ①将方程（组）的解代入原方程（组），得到关于参数的新的方程（组）； ②解新的方程（组），求参数的值 根据方程（组）解的情况确定参数 方法一：用参数表示未知数： ①用含有参数的代数式表示一次方程（组）的解； ②根据一次方程（组）解的情况，得到关于参数的新的方程（或不等式）； ③解新的方程（或不等式），求出参数的值（或取值范围）. 方法二：运用整体思路求解二元一次方程组中含参问题： ①将两个方程直接（或通过变形后）相加（或相减）得出两个未知数之间的关系式； ②将所得的关系式整体代入题目中所给的方程（或不等式）中； ③解方程（或不等式），求出参数的值（或取值范围）. 根据两个方程（组）有相同解确定参数 先解不含参数的方程或解将不含参数的方程联立后得到的方程组，再将求得的解代入含参的方程（组）中，求出参数的值 【要点解读】 ①把参数当作数字解方程组，即用含参的代数式表示,,或者整体思想表示出和需要满足的关系； ②根据解满足的关系求参数. 8．（2023·四川眉山）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2023·四川南充）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 10．（2023·安徽宣城·二模）若实数满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 11．（2023·四川泸州）关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值 ． 命题点4 一次方程（组）的实际应用 1、常见的类型问题及数量关系 常见问题 数量关系 利润问题 ①利润=售价－进价（成本） ②售价=标价×折扣率 ③销售额=售价×数量 ④利润率= 工程问题 ①工作总量=工作效率×工作时间 ②总工作效率=各个单独做的效率的和 行程问题 ①路程=速度×时间 ②相遇问题：总路程=甲走的路程+乙走的路程 ③追及问题（乙追甲）： 行船问题 ①顺水速度=静水速度+水流速度（考虑水流速度） ②逆水速度=静水速度－水流速度（考虑水流速度） 利息问题 利息=本金×利率×时间 2、列方程（组）解应用题的一般步骤： （1） 审，即审清题意，分清题中的已知量和未知量； （2） 设，即设出关键未知数； （3） 列，即找出题干中的等量关系，列方程（组）； （4） 解，即解方程（组）； （5） 验，即检验结果是否正确或是是否符合实际意义； （6） 答，即回归题中，规范作答. 【要点解读】 ①一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程，并联立得到方程组； ②列方程式，要注意等号左右两边的单位需统一. 角度1 购买、销售问题 12．（2025·山东烟台）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 13．（2025·四川内江）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·甘肃兰州）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·山东泰安）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 16．（2025·黑龙江）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．6 B．7 C．4 D．5 17．（2025·吉林）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 角度2 分配问题 18．（2024·陕西）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 角度3 行程问题 19．（2025·天津）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 20．（2025·江苏连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 角度4 其他问题 21．（2025·浙江）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．           材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·山东）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·黑龙江齐齐哈尔）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 24．（2025·陕西）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，小康采摘的时长是 小时． 25．（2025·广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 1．（2023·青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2023·湖南永州）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（    ） A．3 B． C．7 D． 3．（2023·浙江）下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·青海）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（    ）． A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 5．（2023·湖北十堰）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何．”其大意是：现在一斗清酒价值：10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设清酒有斗，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川宜宾）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（    ） A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 8．（2023·四川遂宁）已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是 ． 9．（2024·江苏扬州）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟． 10．（2023·四川广元）解方程：． 11．（2025·山东淄博）解方程组： 12．（2023·浙江衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． (2)写出你的解答过程． 13．（2024·江苏淮安）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 14．（2024·海南）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 15．（2024·江苏连云港）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示： 邮购数量 100以上（含100） 邮寄费用 总价的 免费邮寄 折扇价格 不优惠 打九折 若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？ 16．（2025·四川泸州）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2025·四川自贡）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（    ） A．7cm B．8 C．9 D． 18．（2025·四川资阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（   ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 19．（2025·河北）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    20．（2025·四川广元）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 21．（2025·重庆）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 22．（2025·河北）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $