精品解析：浙江金华市永康市2025学年第一学期七年级期末考试数学试题卷

2025学年第一学期七年级期末考试数学试题卷 考生须知： 1.全卷共三大题，24小题，满分为120分，考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2.全卷分为卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在“答题纸”上作答.卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在“答题纸”相应的位置上． 3.请用黑色字迹钢笔或签字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号． 4.作图时，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑． 5.本次考试不得使用计算器． 卷I 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 立定跳远测试中以为标准，若小明跳出了，记作；小红跳出了，应记作（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算结果为正数的是（ ） A. B. C. D. 3. 据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“国庆·中秋”假期，国内游客出游8.88亿人次，国内出游总消费8090亿元，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 公元前五世纪，古希腊毕达哥拉斯学派成员希帕索斯发现新数无法表示为整数之比，打破了“万物皆数(有理数)”的学派信条，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在( ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 6. 下列三个生活、生产现象： ①用两个钉子可以把木条固定在墙上； ②跑步比赛时，标记冲刺终点线的拉绳，只需要两个支点； ③修建高速公路时，遇到山脉开凿隧道，缩短通行距离． 其中可用基本事实“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 7. 已知a＝b，下列等式不一定成立的是( )． A. a+c＝b+c B. c﹣a＝c﹣b C. ac＝bc D. 8. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 所有放射性物质都有半衰期，半衰期是放射性物质的原子核数目缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．现有原子核数目为的放射性物质，经历了4个半衰期后剩余的原子核数目为（ ） A. B. C. D. 10. 观察下列图形中的数字排列规律，在第10个图中，的值为（ ） A. 103 B. 109 C. 111 D. 132 卷II 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分，请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 请写一个比大，且比小的有理数：_____． 12. 如图，下午4：00的时针和分针所构成角的度数为_____度． 13. 如图是一面墙与篱笆围成的长方形园子，园子的宽为a米，篱笆的总长度为b米，门的宽度为1米，则园子的长是________米（用含a，b的代数式表示）． 14. 规定新运算“☆”：对于任意实数，都有，例如：，则可以化简为_____． 15. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺．则绳索的长为_______尺． 16. 如图，是线段上的一点，是的中点． （1）若，，则的长为_____． （2）若图中所有线段长度之和为，且线段，的长度均为整数，则线段的长为_____． 三、解答题（本题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. 小明与小红同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式 （第二步） （第三步） （第四步） （1）小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤． （2）请写出正确的解答过程． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. “中国结”寓意美满团圆，下列图案是由小正方形按一定规律组成，第1个图形有14个小正方形，第2个图形有19个小正方形，第3个图形有24个小正方形，…… （1）第5个图形共有_____个小正方形，第个图形共有_____个小正方形（用的代数式表示）． （2）循此规律，是否存在由2026个小正方形组成的图形？若存在，请求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 20. 如图，已知公路旁边有三个村庄，，，按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）作射线． （2）连接，并延长到点，使． （3）在公路上找一个路口，使得村庄，之间距离最短，并说明理由． 21. 教材第82页的合作学习，探究发现了无理数（每一方格的边长为1个单位长度）． （1）如图1，求方格中阴影正方形的面积和它的边长． （2）请类比（1）的方法，在图2中画出实数在数轴上表示的点（保留作图痕迹）． 22. 有以下8张卡片，第一组卡片上标有数字，第二组卡片上标有多项式，请你根据要求完成以下问题． （1）请在第一组卡片中选择3张卡片，使所标数字的积最大．请列出算式并计算结果． （2）请在第一组中选择1张卡片，并把这张卡片上所标的数字与第二组中的第2张卡片上的多项式相乘．请列出算式并化简． （3）请在第一组中选择1张卡片，在第二组中选择2张卡片，使这3张卡片上所标的数字与多项式相加，化简后结果为单项式．请列出算式并化简． 23. 【提出问题】 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”．根据以下素材，探索小明家水费与用水量情况． 下表是“阶梯收费”标准，其中水费=自来水费+污水处理费，每月水费以整数立方米水量计费． 收费标准 年用水量 水费（元） 自来水费（元） 污水处理费（元） 第一阶梯 不超过 2.6 1.65 0.95 第二阶梯 超过但不超过的部分 3.95 3.0 第三阶梯 超过的部分 7.8 6.85 【理解问题】 若1月至11月累计用水量为，12月用水量为，则12月水费为（元）． 【解决问题】 任务1：已知2025年11月用水量在第一阶梯，且水费为65元，求11月污水处理费多少元? 任务2：2025年12月用水量，若第一阶梯用水量比第二阶梯少，用的代数式表示12月水费． 任务3：2025年12月水费70.9元，用水量，求小明家2025年全年水费多少元? 24. 数学活动课上，小明将一块直角三角形纸板的直角顶点按如图1放在直线上，三角形纸板绕点在直线上方旋转，射线平分． （1）当三角形纸板绕点旋转到图1的位置时，，求的度数． （2）当三角形纸板绕点旋转过程中，猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，当平分时，找出三角形纸板在旋转过程中以为顶点的所有角中度数不变的角（除和平角外），并求出这个角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期七年级期末考试数学试题卷 考生须知： 1.全卷共三大题，24小题，满分为120分，考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2.全卷分为卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在“答题纸”上作答.卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在“答题纸”相应的位置上． 3.请用黑色字迹钢笔或签字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号． 4.作图时，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑． 5.本次考试不得使用计算器． 卷I 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 立定跳远测试中以为标准，若小明跳出了，记作；小红跳出了，应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数在实际生活中的应用，有理数的减法，通过计算实际成绩与标准成绩的差值来确定正负记录． 【详解】解：∵以为标准，小红跳出了 故选：B． 2. 下列各式计算结果为正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减、乘方运算法则．根据有理数的加减、乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：选项A：，不是正数． 选项B：，是负数． 选项C：，是负数． 选项D：，是正数． 故选：D． 3. 据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“国庆·中秋”假期，国内游客出游8.88亿人次，国内出游总消费8090亿元，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，需根据科学记数法的定义（形如，其中，为整数）来确定和的值． 根据科学记数法表示即可． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列计算结果错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、平方根与立方根的定义，需根据相关定义逐一判断选项正误． 【详解】解：∵算术平方根的定义为非负数的正的平方根，即表示的算术平方根，结果为非负 ∴是64的算术平方根，结果为8，而非，故B选项错误 ∵，符合算术平方根的相反数的计算，A选项正确 ∵表示64的平方根，结果为，C选项正确 ∵，∴，D选项正确 故选：B． 5. 公元前五世纪，古希腊毕达哥拉斯学派成员希帕索斯发现新数无法表示为整数之比，打破了“万物皆数(有理数)”的学派信条，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在( ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用算术平方根的性质，通过计算选项中各小数的平方，与2比较大小，从而确定的取值范围． 【详解】解：∵， 又∵ ∴ 故的值在和之间， 故选：C． 6. 下列三个生活、生产现象： ①用两个钉子可以把木条固定在墙上； ②跑步比赛时，标记冲刺终点线的拉绳，只需要两个支点； ③修建高速公路时，遇到山脉开凿隧道，缩短通行距离． 其中可用基本事实“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了两点确定一条直线，两点之间线段最短．本题需区分“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”这两个基本事实，判断每个现象对应的数学原理． 【详解】解：∵现象①用两个钉子固定木条，依据的是两点确定一条直线； 现象②拉绳的两个支点确定终点线，依据的是两点确定一条直线； 现象③开凿隧道缩短距离，依据的是两点之间线段最短； ∴可用“两点确定一条直线”解释的是①②， 故选：A． 7. 已知a＝b，下列等式不一定成立的是( )． A. a+c＝b+c B. c﹣a＝c﹣b C. ac＝bc D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式的基本性质逐一判断可得． 【详解】A、由a＝b知a+c＝b+c，此选项一定成立； B、由a＝b知c﹣a＝c﹣b，此选项一定成立； C、由a＝b知ac＝bc，此选项一定成立； D、由a＝b知当c＝0 时无意义，此选项不一定成立； 故选D． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 8. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了数轴，根据数轴确定出a与b的正负及绝对值大小是解本题的关键．观察数轴可得，，再验证选项是否正确即可． 【详解】解：观察数轴可得，， ，故A选项错误，不符合题意， ，故B选项正确，符合题意， ，故C选项错误，不符合题意， ，故D选项错误，不符合题意， 故选：B． 9. 所有放射性物质都有半衰期，半衰期是放射性物质的原子核数目缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．现有原子核数目为的放射性物质，经历了4个半衰期后剩余的原子核数目为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数乘方的应用．根据半衰期的定义，每经历一个半衰期，原子核数目变为原来的，经历4个半衰期后，原子核数目为，计算即可得出结果． 【详解】解：∵每经历一个半衰期，原子核数目变为原来的 ∴经历4个半衰期后剩余的原子核数目为 故选：D． 10. 观察下列图形中的数字排列规律，在第10个图中，的值为（ ） A. 103 B. 109 C. 111 D. 132 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据数字规律可得，右边的数减去下边的数等于左边的数，而左边的数的绝对值为从1开始的连续的整数，右边的数为从2开始的连续的数的平方，据此即可求解． 【详解】解：第1个图，，； 第2个图中，， 第3个图中，， ， 在第10个图中，，， ∴ 故选：C． 卷II 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分，请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 请写一个比大，且比小的有理数：_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较．选择一个介于和之间的有理数，满足条件即可求解． 【详解】解：因为，所以是比大且比小的有理数， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，下午4：00的时针和分针所构成角的度数为_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查钟面角的计算，关键是掌握钟面大格与角度的对应关系．钟表表盘是周角，被平均分为个大格，因此每个大格对应角度为；下午4：00时，时针指向4、分针指向，两者间隔4个大格，用大格数乘以每个大格的角度即可求出夹角． 【详解】解：∵钟表表盘一圈为，且被平均分成个大格， ∴每个大格对应的角度为， 下午4：00时，时针与分针之间间隔4个大格， ∴时针和分针所构成角的度数为； 故答案为：． 13. 如图是一面墙与篱笆围成的长方形园子，园子的宽为a米，篱笆的总长度为b米，门的宽度为1米，则园子的长是________米（用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，用篱笆门的长度和减去园子的2个宽即可． 【详解】解：由题意，得 园子的长是米． 故答案为：． 14. 规定新运算“☆”：对于任意实数，都有，例如：，则可以化简为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减．根据新定义可得，再根据整式的加减进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 15. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺．则绳索的长为_______尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设绳索长为尺，则竿长为尺，根据对半折后量竿比竿短尺，列出方程求解． 【详解】解：设绳索长为尺，则竿长为尺． 由题意，得． 整理得． 移项得． 解得． 故绳索长为尺． 故答案为：． 16. 如图，是线段上的一点，是的中点． （1）若，，则的长为_____． （2）若图中所有线段长度之和为，且线段，的长度均为整数，则线段的长为_____． 【答案】 ①. 2 ②. 5 【解析】 【分析】本题考查线段中点的性质、线段长度的和差计算以及方程的整数解应用． （1）先利用线段的和差关系求出的长度，再根据中点定义，即中点分线段为相等的两部分，求出的长度； （2）先设出和的长度，根据中点性质表示出其他相关线段的长度，再列出所有线段长度之和的方程，结合、为正整数的条件，求解不定方程得到的长度． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴； 故答案为：． （2）解：设，，，均为正整数， ∵是的中点， ∴，， ∴，， 图中所有线段为、、、、、， 则所有线段长度之和为：， ∴，整理得， ∵、为正整数， ∴当时，，符合正整数条件； 验证其他正整数的值，均无法使为正整数， 故的长为； 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. 小明与小红同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式 （第二步） （第三步） （第四步） （1）小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤． （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）小明：第一步，小红：第二步 （2） 解： 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）小明：第一步将错误地计算为，小红：第二步应该按照从左到右的顺序计算 （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：小明：第一步开始出错，小红：第二步开始出错 【小问2详解】 略 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的求解； （1）通过移项、合并同类项、系数化为1即可求解， （2）先去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作求解． 【小问1详解】 解： 移项得 合并同类项得 系数化为1得； 【小问2详解】 解： 去分母，两边同时乘6得 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得． 19. “中国结”寓意美满团圆，下列图案是由小正方形按一定规律组成，第1个图形有14个小正方形，第2个图形有19个小正方形，第3个图形有24个小正方形，…… （1）第5个图形共有_____个小正方形，第个图形共有_____个小正方形（用的代数式表示）． （2）循此规律，是否存在由2026个小正方形组成的图形？若存在，请求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：不存在，理由如下， 依题意， 解得：，不是整数， ∴不存在由2026个小正方形组成的图形 【解析】 【分析】本题考查图形规律探究； （1）根据所给图形，依次求出小正方形的个数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）的结论，列出方程解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由所给图形可知， 第1个图形中小正方形的总个数为：； 第2个图形中小正方形的总个数为：； 第3个图形中小正方形的总个数为：； 第4个图形中小正方形的总个数为：； 第5个图形共有个小正方形， 所以第n个图形中小正方形的总个数为个， 故答案为：；． 【小问2详解】 略 20. 如图，已知公路旁边有三个村庄，，，按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）作射线． （2）连接，并延长到点，使． （3）在公路上找一个路口，使得村庄，之间距离最短，并说明理由． 【答案】（1） 解：如图，射线即为所求； （2） 解：如图，即为所求； （3） 解：如图，点即为所求； 理由：两点之间线段最短 【解析】 【分析】本题考查了作射线，作线段，两点之间线段最短； （1）作射线即可； （2）连接，并延长到点，作 （3）根据两点之间线段最短，连接交于点，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 教材第82页的合作学习，探究发现了无理数（每一方格的边长为1个单位长度）． （1）如图1，求方格中阴影正方形的面积和它的边长． （2）请类比（1）的方法，在图2中画出实数在数轴上表示的点（保留作图痕迹）． 【答案】（1）阴影正方形的面积为，它的边长为 （2） 如图，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴； （1）根据大正方形的面积减去4个小三角形的面积，即可求得阴影正方形的面积，根据算术平方根求得它的边长； （2）先得出边长为的小正方形的对角线长为，再在数轴上构造边长为的正方形，即可求解． 【小问1详解】 解：阴影正方形的面积为 它的边长为； 【小问2详解】 解：如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形． ∴大正方形的面积为，则小正方形的对角线长为， 如图，画边长为的正方形，则边长为的小正方形的对角线长为， ∴点即为所求． 22. 有以下8张卡片，第一组卡片上标有数字，第二组卡片上标有多项式，请你根据要求完成以下问题． （1）请在第一组卡片中选择3张卡片，使所标数字的积最大．请列出算式并计算结果． （2）请在第一组中选择1张卡片，并把这张卡片上所标的数字与第二组中的第2张卡片上的多项式相乘．请列出算式并化简． （3）请在第一组中选择1张卡片，在第二组中选择2张卡片，使这3张卡片上所标的数字与多项式相加，化简后结果为单项式．请列出算式并化简． 【答案】（1） （2） 第一组中选，化简结果为， 第一组中选，化简结果为， 第一组中选，化简结果为， 第一组中选，化简结果为； （3） 第一组中选择1张卡片：，第二组中选择2张卡片，， 化简结果为． 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，整式加减运算，解题的关键是理解题意，找出符合题意的卡片． （1）根据选择3张卡片，使所标数字的积最大，得出必须选择一个正数，两个负数，得出必须选择，，再根据积最大必须选择，列式计算即可； （2）根据题意，第一组中选择1张卡片，并把这张卡片上所标的数字与第二组中的第2张卡片上的多项式相乘，即可求解； （3）根据3张卡片上所标的数字与多项式相加，化简后结果为单项式，列式计算，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：第一组中选，， 第一组中选，， 第一组中选，， 第一组中选，； 【小问3详解】 解：第一组中选择1张卡片：， 第二组中选择2张卡片，， ∴． 23. 【提出问题】 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”．根据以下素材，探索小明家水费与用水量情况． 下表是“阶梯收费”标准，其中水费=自来水费+污水处理费，每月水费以整数立方米水量计费． 收费标准 年用水量 水费（元） 自来水费（元） 污水处理费（元） 第一阶梯 不超过 2.6 1.65 0.95 第二阶梯 超过但不超过的部分 3.95 3.0 第三阶梯 超过的部分 7.8 6.85 【理解问题】 若1月至11月累计用水量为，12月用水量为，则12月水费为（元）． 【解决问题】 任务1：已知2025年11月用水量在第一阶梯，且水费为65元，求11月污水处理费多少元? 任务2：2025年12月用水量，若第一阶梯用水量比第二阶梯少，用的代数式表示12月水费． 任务3：2025年12月水费70.9元，用水量，求小明家2025年全年水费多少元? 【答案】任务1：23.75元 任务2：当时，水费为元；当时，水费为元 任务3：679.3元 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用． 任务1：利用第一阶梯水费单价求出11月用水量，再结合污水处理费单价计算污水处理费． 任务2：根据“第一阶梯用水量比第二阶梯少”的条件，分12月用水量仅跨第一、第二阶梯和跨三个阶梯两种情况，分别推导水费的代数式． 任务3：通过设未知数列方程求出12月中第一阶梯用水量，进而得到前11个月累计用水量，再计算全年水费． 【详解】任务1：解：已知11月用水量在第一阶梯，水费单价为2.6元．11月用水量为． 11月污水处理费为（元）． 答：11月污水处理费为23.75元． 任务2：解：设12月用水量中第一阶梯部分为，第二阶梯部分为．由题意得． 情况一：12月用水量仅跨越第一、第二阶梯，即且． 将代入，得，． 由得， 由得， 解得． 此时12月水费为元，其中 ． 情况二：12月用水量跨越第一、第二、第三阶梯，即． 则， 第三阶梯部分为（）． 此时12月水费为 元，其中． 任务3：解：设12月用水量中第一阶梯部分为，则第二阶梯部分为． 根据题意列方程． 去括号得． 移项合并同类项得． 解得．前11个月累计年用水量为． 前11个月水费为（元）． 全年水费为（元）． 答：小明家2025年全年水费为元． 24. 数学活动课上，小明将一块直角三角形纸板的直角顶点按如图1放在直线上，三角形纸板绕点在直线上方旋转，射线平分． （1）当三角形纸板绕点旋转到图1的位置时，，求的度数． （2）当三角形纸板绕点旋转过程中，猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，当平分时，找出三角形纸板在旋转过程中以为顶点的所有角中度数不变的角（除和平角外），并求出这个角的度数． 【答案】（1） （2） （3）度数不变，为． 【解析】 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，求一个角的余角． （1）根据余角的定义得到，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数； （2）根据余角的定义得到，，根据角平分线的定义得到，进而得到，可知，即； （3）先列出除和平角外所有以为顶点的角，再根据已知条件及角平分线的定义逐一判断即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴ 即， ∴； 【小问3详解】 解：以为顶点的所有角（除和平角外）有，，，，， ∵、移动， ∴，，，度数改变， ∴的角平分线移动， ∴，，度数改变， ∵移动， ∴，度数改变， ∵， ∴度数改变， ∵， ∴度数改变， ∵平分时， ∴， ∴， 即度数改变， ∵ ∴ ∴， 即度数不变，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $