精品解析：山西省晋中市2025-2026学年高三上学期2月适应性调研测试数学试题

晋中市2026年2月高三年级适应性调研测试 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用交集定义计算求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数运算法则和几何意义即可得出. 【详解】因为，所以. 则复数在复平面内的对应点为，在第三象限. 故选：C. 3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域及奇偶性与单调性直接判断. 【详解】A选项：，定义域为，且为奇函数，在上单调递增，A选项正确； 对选项B，令，定义域为，， 所以为偶函数，故B错误； C选项：定义域为，为非奇非偶函数，C选项错误； D选项：是定义域为，的奇函数，且在，上单调递增， 但其在区间上不单调递增，例如，取，，有，D选项错误； 故选：A. 4. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先余弦定理可得，再由同角三角函数关系式可得，从而可求三角形的面积. 【详解】由，，，由余弦定理得， 又因为，所以， 所以. 故选：A 5. 已知抛物线，过其焦点的直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求出的坐标，然后求出直线的斜率，最后利用点斜式求解即可. 【详解】由题意如图所示： 抛物线的焦点为，准线方程为：， 设到准线的距离为， 由抛物线的定义得：，又， 所以，解得：代入中得：， 所以，则直线的斜率为：, 所以直线的方程为：即， 故选：B. 6. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ） A. 若，，，则，是异面直线 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】结合长方体模型及线面平行，线面垂直关系判断可得. 【详解】对于A：如图：在长方体中，，，，但，故A错误； 对于B：如图：在长方体中，，，，但，故B错误； 对于C：因为，，所以，又因为，所以，故C正确； 对于D：如图：在长方体中，，，，但，所以D错误； 故选：C 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的余弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式求解. 【详解】由两边平方相加得， 整理得，所以. 故选：D 8. 已知函数若有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的每段函数的零点情况分析，再由参数分类讨论函数的零点情况即得. 【详解】由题意，当时，，由， （可知，否则此时函数无零点，而时，最多有2个零点，不合题意）， 可得，即，要使这个零点存在，需使，解得； 当时，由，可得和，因， 要使在上有2个零点，需使且. 由上分析可得： 当时，在上有2个零点和，在上有一个零点，共有3个零点，符合题意； 当时，在上没有零点，在上有2个零点和，不合题意； 当时，在上没有零点，在上只有1个零点，不合题意； 当时，在上有2个零点和，在时无零点，不合题意； 当时，在上有1个零点，在时无零点，不合题意. 综上，实数的取值范围是. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高一年级共有1000人，随机抽取200名学生作为样本，调查了每天体育运动时长（单位：分），将统计数据分成6组：，，，，，，绘制了如图所示频率分布直方图，则（） A. 频率分布直方图中 B. 样本数据的极差不大于60 C. 样本中位数为55 D. 高一年级运动时长低于60分钟的大约有600人 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用频率总和为1，可判断A；利用极差，中位数的计算方法可判断BC；用样本中的频率近似总体中的频率，可判断D. 【详解】由频率总和为1，得： ， 解得：，故选项A正确； 样本数据范围在30分钟到90分钟之间，最小值，最大值， 极差最大值为：， 因此极差不大于60，故选项B正确； ：频率0.1， ：频率0.2，的频率为：0.3， ：频率0.3，的频率为：0.6， 故中位数落在组， 中位数， 中位数约为56.67，不是55，故选项C错误； 样本中低于60分钟的频率为：， 用样本估计总体，得：高一年级运动时长低于60分钟的大约有： ，故选项D正确. 故选：ABD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象 C. 图象的对称中心都是函数图象的对称中心 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象过点，分析求解可得，，，即可判断A；对于B：根据图象变换运算求解即可；对于C：求图象的对称中心，代入函数函数检验即可；对于D：以为整体，结合正弦函数有界性运算求解. 【详解】由图可知：，则， 因为函数的图象过点，则，即， 且，则，可得， 设函数的最小正周期为，且，则， 由图可知：，即，解得， 又因为函数的图象过点，则，即， 且，则， 可得，解得，所以，故A正确； 对于选项B：将的图象向右平移个单位长度， 得到，故B错误； 对于选项C：令，解得， 可知函数图象的对称中心为， 因， 可知点为函数图象的对称中心， 所以图象的对称中心都是函数图象的对称中心，故C正确； 对于选项D：因为，则， 可得，则， 所以当时，，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，为坐标原点，则（ ） A. 曲线的方程为 B. C. 存在点使得 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A由内切和外切求出，结合椭圆的定义可求；对于B利用椭圆的定义化简；对于C设，利用数量积的坐标运算求出，最后结合一元二次函数求最值；对于D利用余弦定理以及基本不等式求的最小值即可. 【详解】对于A，由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为动圆与圆外切，与圆内切于点， 所以， 得， 故点的轨迹是以为焦点的椭圆的一部分， 其中，则，故椭圆方程为， 联立，得， 故曲线的方程为，故A错误； 对于B，因为，所以， 故B正确； 对于C， 设，且，则， 则， 则不存在点使得，故C错误； 对于D，设，则， 则在中利用余弦定理得 ， 由，得，等号成立时，此时点， 则， 因为，所以， 故的最大值为，故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量垂直可得其数量积为零，利用数量积运算的分配律可得，再利用数量积求向量的模可得结果. 【详解】由题可知，，即 所以. 故答案为：2. 13. 已知函数的图象在处的切线也是函数的图象的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，设切点，求出函数在处的切线方程，对照两切线方程列式求解即得. 【详解】由可得，，则切线斜率，故切线方程为，即， 设直线与函数的图象相切于点， 因，则，解得，且，代入解得. 故答案为：. 14. 已知正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧，，两个三棱锥的体积之比为，若点，，，，都在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到为球的直径，由两个三棱锥的体积之比为得到， 从而得到，在中，利用勾股定理建立的等式，解出，利用球的表面积公式求解. 【详解】正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧， 点，，，，都在球的球面上， 为球的直径， 设球的半径为，则， 设为的中心，则平面，平面， 两个三棱锥的体积之比为，， ， 在中，连接并延长交于点，，则， 为的中心，为的重心，， 在中，， ，，， . 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，. （1）设，证明数列是等差数列，并求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）应用等差数列定义证明，再结合等差数列通项公式计算求解； （2）应用分组求和结合裂项相消及等比数列求和公式计算求解. 【小问1详解】 由题得，即. 由，得， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列. 所以，可得. 【小问2详解】 由（1）可得，. 所以 . 16. 如图，在四棱锥中，平面，为正三角形，，，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用面面平行的判定定理证明平面平面，再利用面面平行性质定理可得答案； （2）建系，利用面面角的空间向量计算公式可得答案. 【小问1详解】 设为的中点，连接，. 因为为棱的中点，所以， 又平面，故平面. 因为为正三角形，所以， 又，平面，所以， 又平面，故平面. 因为，所以平面平面. 又平面，所以平面. 【小问2详解】 连接，设与交于点， 由题意，，，， 所以，，故以为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 从而有，，， 则，，，，，. 由平面，得，又，， 所以平面，即为平面的一个法向量，. ，， 设平面的法向量为， 则即 取，得. 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若存在正实数，使得成立当且仅当，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合一元二次函数的性质讨论的正负性即可； （2）利用（1）中函数的单调性以及即可求出. 【小问1详解】 由题可得. 令，则， 当时，，此时，，故在上单调递减； 当时，，记两根为，， 此时，，则两根均为负，得， 故在上单调递减； 当时，，此时，，则两根均为正，且， 故或时，，在、上单调递减， 时，，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在，上单调递减， 在上单调递增. 【小问2详解】 注意到. 若，则在上单调递减， 当时，，当时，， 所以成立当且仅当，结论成立； 若，，，在上单调递增，从而有，， 时，，由零点存在定理，知，使得， 当时，，当时，，当时，， 故不存在满足条件的区间. 综上，的取值范围为. 18. 已知双曲线的离心率，右焦点为. （1）求的方程. （2）过轴上一点（不与的顶点重合）作斜率为的直线与交于，两点，过原点作直线与交于，两点，已知. （i）求的取值范围； （ii）若，求点的坐标. 【答案】（1） （2）（i）（ii）或 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得，再结合右焦点代入可得的方程. （2）(i)由， 方法一：利用几何法，作图分析直线绕原点旋转寻找有交点时直线的斜率； 方法二：联立直线与双曲线的方程，求有两个交点时的取值范围. (ii)设点，表示出直线方程，将直线双曲线联立，分别表示出与，利用二者相等即可求出. 【详解】（1）由右焦点为，知， 因为离心率，所以，从而， 故的方程为. （2）（i）与平行，分析其中一条即可，过原点且与有两个交点，，则，关于原点对称. 【方法一】（作图分析）考虑从斜率为0开始，绕原点逆时针旋转，当其不超过渐近线时，与有两个交点，符合题意，此时， 当时，与渐近线重合，与没有交点，当时，与也没有交点，即不符合题意， 由对称性可知，也符合题意， 故的取值范围为. 【方法二】（联立）设点，由题意知，直线， 与联立，消去，得， 此方程有两个实根，则，得， 故的取值范围为. （ii）设点，直线， 与联立，消去，得， 设，，则， ，同理， 由（i）知，所以， 与联立，消去，得，设，， 则，，， 由，得，解得，， 故点的坐标为或. 19. 甲、乙两人进行一局羽毛球比赛，约定比赛规则如下：比赛中两人轮流发球（每次只发一球），由甲先发球，每赢一球得1分，输球不得分，达到15分且至少领先2分者获胜（当打成后，先多得2分的一方获胜）.甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，已知比赛目前激战至. （1）若已知比赛结果为，求这局比赛是乙获胜的概率； （2）求这局比赛甲获胜的概率； （3）记为这局比赛结束时甲的总发球个数，求的数学期望. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析比赛结果为的所有情况及其概率，利用条件概率公式求得这局比赛是乙获胜的概率； （2）分析之后的3种情况（甲连赢两球、乙连赢两球，甲乙各赢一球战成平局后再比）的概率，由全概率公式列出递推公式，从而求得这局比赛甲获胜的概率；或由分类分步，归纳可得若打个球后甲获胜，则需前个球每两个球都打平，此时，由极限思想求无穷等比数列的和可得这局比赛甲获胜的概率. （3）分结束比赛，和比分为平，继续比赛两种情况进行分行，可列得甲继续发球数的期望所对应的方程，从而求得的数学期望. 【小问1详解】 由题意知，再打两球这局比赛结束，所以只有可能是甲连赢两球或乙连赢两球， 记事件：甲发球甲赢，事件：乙发球乙赢，事件：比赛结果为16：14，事件：乙这局比赛获胜. 所求为， ， ， 所以. 所以在已知比赛结果为的条件下，这局比赛是乙获胜的概率为. 【小问2详解】 方法一（全概率公式）：由（1）知，之后，有3种情况： ①甲连赢两球，甲胜，比赛结束，记作事件，则； ②乙连赢两球，乙胜，比赛结束，记作事件，则； ③甲与乙各赢一球，再次打平，比分为15：15，记作事件，则. 设事件：这局比赛甲获胜. 由全概率公式有， 由于比分为与比分为比赛的状态完全相同，所以， 所以，解得， 故这局比赛甲获胜的概率为. 方法二（分类分步与极限思想）：由（1）知再打2球甲获胜的概率，打平的概率为， 则再打4球后甲获胜的概率为，打平的概率为， 再打6球甲获胜的概率为，打平的概率为. 依此类推，打个球后甲获胜，则需前个球每两个球都打平，此时. 故甲获胜的概率为， 当时，，，故这局比赛甲获胜的概率为. 【小问3详解】 比分为平时甲已经发球14个，设之后甲继续发球个数的期望为，由（1）可得： ①若结束比赛，此时甲继续发球数为1，概率为； ②若比赛没有结束，比分为平，概率为，甲继续发球数的期望为. 从而，解得. 所以甲的总发球个数的期望为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋中市2026年2月高三年级适应性调研测试 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A B. C. D. 4. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8 5. 已知抛物线，过其焦点直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为（ ） A B. C. D. 6. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ） A. 若，，，则，是异面直线 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若有3个零点，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高一年级共有1000人，随机抽取200名学生作为样本，调查了每天体育运动时长（单位：分），将统计数据分成6组：，，，，，，绘制了如图所示的频率分布直方图，则（） A. 频率分布直方图中 B. 样本数据的极差不大于60 C. 样本中位数为55 D. 高一年级运动时长低于60分钟的大约有600人 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象 C. 图象的对称中心都是函数图象的对称中心 D. 当时， 11. 已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，为坐标原点，则（ ） A. 曲线的方程为 B. C. 存在点使得 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则__________. 13. 已知函数的图象在处的切线也是函数的图象的切线，则__________. 14. 已知正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧，，两个三棱锥的体积之比为，若点，，，，都在球的球面上，则球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，. （1）设，证明数列是等差数列，并求的通项公式； （2）求数列前项和. 16. 如图，在四棱锥中，平面，为正三角形，，，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若存在正实数，使得成立当且仅当，求的取值范围. 18. 已知双曲线的离心率，右焦点为. （1）求的方程. （2）过轴上一点（不与的顶点重合）作斜率为的直线与交于，两点，过原点作直线与交于，两点，已知. （i）求的取值范围； （ii）若，求点的坐标. 19. 甲、乙两人进行一局羽毛球比赛，约定比赛规则如下：比赛中两人轮流发球（每次只发一球），由甲先发球，每赢一球得1分，输球不得分，达到15分且至少领先2分者获胜（当打成后，先多得2分的一方获胜）.甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，已知比赛目前激战至. （1）若已知比赛结果为，求这局比赛是乙获胜的概率； （2）求这局比赛甲获胜的概率； （3）记为这局比赛结束时甲的总发球个数，求的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $