24.2 第2课时 垂径分弦（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（沪科版）安徽专版

该初中数学课件聚焦九年级下册“圆的基本性质——垂径定理”，通过教材例题变式、折叠实验导入，从圆的轴对称性切入，逐步延伸到弦心距、半径、弓高的计算，构建“性质理解-变式训练-实际应用”的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于分层设计（A知识分点练、B能力综合练、C拓展探究练），融入《九章算术》圆材问题等数学文化及中考真题，通过折叠求半径、弦心距等变式训练，培养学生的几何直观与推理能力，帮助学生提升解题与应用意识，为教师提供系统教学资源。

初中数学 九年级下册·（HK版）·安徽专版 第24章　圆 24.2　圆的基本性质 第2课时　垂径分弦 目录 CONTENTS A 知识分点练 B 能力综合练 C 拓展探究练 知识点1　垂径定理 1. （链接教材）（1）圆是 图形，对称轴是圆所在 平面内任意一条经过 的直线. （2）如图，AB是☉O的直径，沿着AB将☉O折叠，圆上点C 与点D是对应点，连接CD，交AB于点E，则AB⊥CD，下列 结论不一定正确的是（　D　） 轴对称　 圆心　 D A. CE＝DE B. ＝ C. ＝ D. OE＝BE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 上一页 下一页 2. （教材P17练习T3变式）下列说法正确的是（　D　） A. 过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧 B. 弦的垂线平分弦所对的两条弧 C. 过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧 D. 平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的两条弧 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 上一页 下一页 3. （教材P16例2变式）如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB 于点E. 若AB＝10，CD＝6，则OE的长为（　B　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 上一页 下一页 [变式1] 求弦心距→求弓高 在第3题中，若将“AB＝10，CD＝6”改为“OE＝CE＝2”，则BE的长为 ⁠. 2 －2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 上一页 下一页 [变式2] 求弦心距→求半径 在第3题中，若将“AB＝10，CD＝6”改为“AE＝CD＝8”，则☉O的半径为 ⁠. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 上一页 下一页 4. 如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过 圆心O. 第4题图 （1）折痕AB＝ cm； （2）若连接OA，OB，则∠AOB的度数为 ⁠. 2 　 120°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 上一页 下一页 [变式] （2025·合肥一六八中模拟）如图，将☉O沿弦AB折 叠，OC⊥AB于点D，与折叠的弧交于点E，已知E是CD的 中点，CD＝4，则☉O的半径为 ，弦AB的长为 ⁠. 变式题图 3　 4 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 上一页 下一页 5. （教材P17练习T2变式）如图，在以点O为圆心的两个同 心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.已知CD＝10， AB＝18，小圆的半径为13，求大圆的半径. 解：如图，过点O作OH⊥AB于点H，连接OC， 则CH＝DH＝ CD＝5，AH＝BH＝ AB＝9. 在Rt△OCH中，OH＝ ＝ ＝12. 在Rt△OAH中，OA＝ ＝ ＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 上一页 下一页 知识点2　垂径定理的应用 6. （2025·六安金安区期末）如图，一个烧瓶底部呈球形，该 球的半径为5 cm，瓶内截面圆中弦AB的长为8 cm，则液体的 最大深度CD为（　C　） A. 4 cm B. 3 cm C. 2 cm D. 1 cm C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 上一页 下一页 7. （2024·合肥庐阳区期末）唐代李皋发明了桨轮船，这 种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB的长为6 m，轮子的吃水深度 CD为1.5 m，求该桨轮船的轮子的直径. 解：如图，连接OB. 设轮子的直径为d m，则其半径为 m. 依题意，得OC⊥AB，AD＝BD＝3 m， OD＝（ －1.5）m. 在Rt△OBD中，OD2＋BD2＝OB2， ∴（ －1.5）2＋32＝（ ）2，解得d＝7.5. 答：该桨轮船的轮子的直径为7.5 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 上一页 下一页 8. 【新情境·数学文化】《九章算术》被尊为古代数学算经之 首，其卷九记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯 之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其大意：如图，今有 一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用 锯去锯这根木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB 长1尺（尺、寸为古代长度单位，1尺＝10寸）， 则圆形木材的直径是 寸. 26　 第8题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 上一页 下一页 9. （2024·合肥包河区期末）如图，已知AB是☉O的直径，弦 CD交AB于点E，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的 长为 ⁠. 第9题图 4 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 上一页 下一页 10. （教材P26习题T8变式）在直径为50的圆中，弦AB∥弦CD，AB＝40，CD＝48，则AB与CD之间的距离是 ⁠ ⁠. 8或22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 上一页 下一页 11. 如图，☉O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长，交 ☉O于点E，连接CE，BE. （1）求证：OC∥BE； 解：（1）证明：∵☉O的半径OD⊥弦AB于点C， ∴C为AB的中点. 又∵O为AE的中点， ∴OC为△ABE的中位线， ∴OC∥BE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 上一页 下一页 解：（2）由题意可知，AC＝CB＝ AB＝ ×8＝4. 设☉O的半径为r，则OC＝OD－CD＝r－2. 在Rt△OAC中，由勾股定理，得r2＝（r－2）2＋42， 解得r＝5，∴OC＝3. ∵OC为△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝6. ∵OC∥BE，∴BE⊥AB，即∠CBE＝90°. 在Rt△BCE中，EC＝ ＝ ＝2 . 11. 如图，☉O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延 长，交☉O于点E，连接CE，BE. （2）若AB＝8，CD＝2，求☉O的半径及EC的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 上一页 下一页 12. 在☉O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在 BC上，点Q在☉O上，且OP⊥PQ. （1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长； 解：（1）如图1，连接OQ. ∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB. 在Rt△OBP中，∵tan∠ABC＝ ，∠ABC＝30°， ∴OP＝OB·tan 30°＝3× ＝ . 在Rt△OPQ中，∵OP＝ ，OQ＝3， ∴PQ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 上一页 下一页 12. 在☉O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°， 点P在BC上，点Q在☉O上，且OP⊥PQ. （2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长度的最大值. 解：（2）如图2，连接OQ. 在Rt△OPQ中，PQ＝ ＝ . 当OP的长度最小时，PQ的长度最大， 此时OP⊥BC，则OP＝OB· sin 30°＝3× ＝ ， ∴PQ长度的最大值为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 上一页 下一页 谢谢观看 $