26.3 第1课时 运用二次函数解决实际问题（教学课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（华东师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数解决实际问题，以拱桥实例导入，通过问题链引导学生建立坐标系、确定函数表达式，逐步延伸到运动抛物线和利润最大问题，构建从具体情境到数学模型的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过问题链发展数学思维，系统小结强化数学语言。如拱桥问题引导抽象函数模型，利润问题用表格分析数量关系，提升学生应用能力，助力教师高效开展实践教学。

第二十六章 26.3 实践与探索 第1课时 运用二次函数解决实际问题 第二十六章 二次函数 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 课后作业 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 课后作业 第二十六章 二次函数 问题引入 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？ 新知导入 第二十六章 二次函数 学习目标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．(重点) 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重、难点) 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策． 学习目标 第二十六章 二次函数 利用二次函数解决实物抛物线形问题 一 建立函数模型 这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数 你能想出办法来吗？ 合作探究 知识探究 第二十六章 二次函数 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图． 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为 知识探究 第二十六章 二次函数 x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A 如何确定a是多少？ 已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出 因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 解得 知识探究 第二十六章 二次函数 由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是： 水面宽3m时 从而 因此拱顶离水面高1.125m 现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？ 知识探究 第二十六章 二次函数 知识要点 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 知识探究 第二十六章 二次函数 例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？ 典例精析 知识探究 第二十六章 二次函数 解：建立如图所示的坐标系， 根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25). 数学化 ●B(1,2.25) (0,1.25) ● C ● D o A x y 知识探究 第二十六章 二次函数 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(-2.5,0) . 设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25. ●B(1,2.25) (0,1.25) ● D o A x y ● C 知识探究 第二十六章 二次函数 利用二次函数解决运动中抛物线型问题 二 例2：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ 知识探究 第二十六章 二次函数 解：如图，建立直角坐标系. 则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）. 以点C表示运动员投篮球的出手处. x y O 知识探究 第二十六章 二次函数 14 解得 a=－0.2， k=3.5， 设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ， 即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有 所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5. 当 x=－2.5时，y=2.25 . 故该运动员出手时的高度为2.25m. 2.25a+k=3.05， k=3.5， x y O 知识探究 第二十六章 二次函数 拱桥问题 三 问题1 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m时，水面宽 4m . 水面下降 1m，水面宽度增加多少？ 互动探究 知识探究 第二十六章 二次函数 （1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？ 想一想 知识探究 第二十六章 二次函数 　　问题2 如何建立直角坐标系？ l 　　问题3 解决本题的关键是什么？ y x o 解：如图建立直角坐标系. 解：建立合适的直角坐标系. 知识探究 第二十六章 二次函数 l y x o 解：如图建立直角坐标系.根据题意可设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2+2. ∵该抛物线过(2,0), ∴0=4a+2，a= ∵水面下降1m，即当y=-1时， ∴水面宽度增加了 米. 知识探究 第二十六章 二次函数 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式； O A C D B y x 20 m h 解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2. ∵该抛物线过(10,-4), ∴-4=100a，a=-0.04 ∴y=-0.04x2. 练一练 知识探究 第二十六章 二次函数 利润最大问题 四 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元. 探究交流 18000 6000 数量关系 （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价. 知识探究 第二十六章 二次函数 21 例3 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 涨价销售 ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x) 建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000. 6000 知识探究 第二十六章 二次函数 22 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6000， 当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250. 即定价65元时，最大利润是6250元. 知识探究 第二十六章 二次函数 23 降价销售 ①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 降价销售 20 300 20-x 300+18x y=(20-x)(300+18x) 建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)， 即：y=-18x2+60x+6000. 例3 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 6000 知识探究 第二十六章 二次函数 综合可知，应定价65元时，才能使利润最大。 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. ③涨价多少元时，利润最大，是多少？ 当 时, 即定价57.5元时，最大利润是6050元. 即：y=-18x2+60x+6000， 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗? 知识探究 第二十六章 二次函数 知识要点 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 知识探究 第二十六章 二次函数 26 y=(160+10x)(120-6x) 例4 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？ 解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会 减少6x间，则 当x=2时，y有最大值，且y最大=19440. 答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入 最高，最大收入为19440. =－60(x－2)2+19440. ∵x≥0，且120－6x＞0， ∴0≤x＜20. 这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元). 知识探究 第二十六章 二次函数 1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元. 25 2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 . 每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. y=2000-5(x-100) w=[2000-5(x-100)](x-80) 课堂检测 第二十六章 二次函数 28 3.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h= -4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地. 4 4.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米. x y O 2 课堂检测 第二十六章 二次函数 5.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A.50m B.100m C.160m D.200m C 课堂检测 第二十六章 二次函数 6. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ x y 5 16 O 7 课堂检测 第二十六章 二次函数 31 x y 5 16 O 7 解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75 ∵-1<0,对称轴x=10, ∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元； (2)由对称性知y=16时，x=7和13. 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元. 课堂检测 第二十六章 二次函数 32 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线问题 （实物中的抛物线形问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 实际问题 数学模型 转化的关键 课堂小结 第二十六章 二次函数 商品利润最大问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本. 确定自变量取值范围 涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. 课堂小结 第二十六章 二次函数 1.教材作业 2.课后习题作业 课后作业 第二十六章 二次函数 $