1.5 三角函数的应用（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该初中数学课件聚焦九年级下册“直角三角形的边角关系”中三角函数的应用，涵盖方向角、仰角俯角、坡度坡角等实际问题。通过轮船航行、测量高度等情境导入，衔接直角三角形边角关系基础，以例题解析、一题多解为支架构建知识脉络。 其亮点在于融合数学思维与现实应用，如一题多解（第2题两种解法）、跨学科情境（小车提物体问题），培养学生推理能力与模型意识。采用情境教学法，结合变式训练巩固知识，学生能提升问题解决能力，教师可直接使用丰富例题与解析优化教学。

初中数学 九年级下册·（BS版） 第一章　直角三角形的边角关系 5　三角函数的应用 目录 CONTENTS A 知识分点练 B 能力综合练 知识点1　解决与方向角有关的问题 1. 如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的 距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在的位 置B处与灯塔P之间的距离为 ⁠. 30 海里　 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 2. 【一题多解】如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东 航行，在点B处测得小岛A在北偏东60°方向上，轮船航行 12 n mile到达点C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上.小岛 A到航线BC的距离约为 n mile.（结果精确到 0.1 n mile，参考数据： ≈1.73） 10.4　 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 【解析】如图，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于点E. 由题意，得∠BAE＝60°，∠CAE＝30°，∠ABC＝30°， ∠ACE＝60°. 解法1：∵∠BAC＝∠ACE－∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC＝12 n mile. 在Rt△ACE中，sin∠ACE＝， ∴AE＝AC·sin∠ACE＝12×＝6≈10.4（n mile）， 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 ∴小岛A到航线BC的距离约为10.4 n mile. 解法2：设AE＝x n mile. ∵BE－CE＝BC，BE＝，CE＝， ∴－＝12，解得x＝6， ∴AE＝6≈10.4（n mile）， ∴小岛A到航线BC的距离约为10.4 n mile. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 知识点2　解决与仰角、俯角有关的问题 3. （2024·绥化）如图，用热气球上的探测器测一栋楼的高 度，在热气球上的点A处测得该楼顶部点C的仰角为60°， 测得该楼底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD ＝50 m，则这栋楼的高度为 m.（结果保 留根号） （50 ＋50）　 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 4. （2025·陕西）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的 高度.在征得家长同意后，他们带着工具前往测量.测量示意图 如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信 号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又 测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22 m.已知DE＝1.7 m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂 直.求信号杆的高度AB. （参考数据： sin 72.5°≈0.95， cos 72.5°≈0.30，tan 72.5°≈3.17） 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 解：如图，过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H. ∵AB，DE均与水平线FC垂直， ∴DE∥AC，∴∠DBH＝∠BDE＝72.5°. ∵DH⊥AC，∴∠DHB＝90°. 在Rt△DBH中，BD＝22 m， sin 72.5° ＝ ， cos 72.5°＝ ， ∴DH＝BD· sin 72.5°≈22×0.95＝20.9（m）， BH＝BD· cos 72.5°≈22×0.30＝6.6（m）. ∵EI⊥AC，DH⊥AC，DE∥AC， 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 ∴∠EDH＝∠DHI＝∠HIE＝90°， ∴四边形EDHI是矩形， ∴EI＝HD≈20.9 m，IH＝DE＝1.7 m. ∵∠AEI＝45°，∠AIE＝90°， ∴∠EAI＝45°，∴AI＝EI≈20.9 m， ∴AB＝AI＋IH－BH≈20.9＋1.7－6.6＝16（m）. 答：信号杆的高度AB约为16 m. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 知识点3　解决与坡度、坡角有关的问题 5. （教材P19做一做变式）如图，斜坡AB长100 m，坡角 ∠ABC＝30°，现因“改小坡度”工程的需要，需将斜坡AB 改造成坡度i＝1∶5的斜坡BD（A，D，C三点在地面的同一 条垂线上），则点A到点D下降了 m.（结 果保留根号） （50－10 ）　 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 [变式]（2024·眉山）如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡 上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角 为60°时，大树在斜坡上的影子BE的长为10米，则大树AB的 高为 米. （4 －2 ）　 变式题图 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 知识点4　解决其他实际问题 6. 【新情境·跨学科】（2024·辽宁）如图1，在水平地面上， 一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起.起始 位置的示意图如图2所示，此时测得点A到BC所在直线的距离 AC＝3 m，∠CAB＝60°；停止位置的示意图如图3所示，此 时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线 CD与地面平行），图3中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽 略不计，运动过程中绳子总长不变. （1）求AB的长； 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 解：（1）由题意，得∠BCA＝90°. ∵在Rt△ABC中，AC＝3 m，∠CAB＝60°， ∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝6 m. 答：AB的长为6 m. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 （2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1 m，参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， ≈1.73）. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 解：（2）在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC＝ ＝ ＝3 （m）. 在Rt△BCD中，∠CDB＝37°， sin ∠CDB＝ ， ∴ sin 37°＝ ≈0.60，∴BD＝5 m， ∴CE＝BD－BA＝5 －6≈2.7（m）. 答：物体上升的高度CE约为2.7 m. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 7. （2025·沈阳浑南区模拟）小明准备利用无人机测量建筑物 MN的高度.如图，小明先将观测点选在建筑物MN对面的楼房 AH的楼上一点A，利用无人机先测得建筑物MN的顶端M的俯 角为24°，又遥控无人机沿与地面HN保持平行的方向，由点 A飞行36米到达点B处，此时测得该建筑物MN底端N的俯角为 66°，又测得点H的俯角为56.3°，已知MN与AH均垂直于地 面HN，垂足分别为N，H（点A，B，M，N，H在同一平面 内）.求： （1）AH的长； 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 解：（1）在Rt△ABH中， ∵∠HAB＝90°，∠ABH＝56.3°，AB＝36米， ∴tan∠ABH＝tan 56.3°＝ ， ∴AH＝AB·tan 56.3°≈36×1.50＝54（米）. 答：AH的长约为54米. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 （2）建筑物MN的高度.（结果精确到1米，参考数据： sin 24°≈0.41， cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45， sin 56.3°≈0.83， cos 56.3°≈0.55，tan 56.3°≈1.50， sin 66°≈0.91， cos 66°≈0.41，tan 66°≈2.25） 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 解：（2）如图，过点B作BE⊥HN于点E，则四边形ABEH是 矩形，∴HE＝AB＝36米，BE＝AH≈54米. 延长NM交AB的延长线于点F， 则四边形BENF是矩形， ∴FN＝BE≈54米，BF＝EN. 在Rt△BEN中，∠BEN＝90°，∠BNE＝66°， ∴EN＝ ≈ ＝24（米）， ∴AF＝AB＋BF≈36＋24＝60（米）. 在Rt△AFM中，∠AFM＝90°，∠FAM＝24°， 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 ∴FM＝AF·tan 24°≈60×0.45＝27（米）， ∴MN＝FN－FM≈54－27＝27（米）. 答：建筑物MN的高度约为27米. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 上一页 下一页 谢谢观看 $