1.2 30 °，45 °，60 °角的三角函数值（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该初中数学课件聚焦九年级下册“30°，45°，60°角的三角函数值”，从基础计算入手，通过直接求值、已知值求角度到实际应用的梯度设计，搭建从知识理解到综合运用的学习支架，帮助学生逐步掌握特殊角三角函数的核心内容。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过实际情境题（如图书馆位置、树高测量）培养用数学观察现实的能力，一题多解（如树折断问题的三角函数与勾股定理解法）发展逻辑推理思维，综合题（菱形坐标、函数夹角）提升数学表达。学生能巩固基础并增强应用意识，教师可利用分层练习优化教学效果。

初中数学 九年级下册·（BS版） 第一章　直角三角形的边角关系 2　30 °，45 °，60 °角的三角函数值 目录 CONTENTS A 知识分点练 B 能力综合练 知识点1　30°，45°，60°角的三角函数值 1. （2024·沈阳康平期末） sin 45°的值为（　B　） A. B. C. D. 1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 2. 计算：3tan 30°＋1的值等于（　A　） A. ＋1 B. ＋1 C. 2 D. 1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 3. 计算： sin 60°＋tan 60°＝ ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 4. 计算： （1）2 sin 30°＋ cos 60°＋tan 45°； 解：原式＝2× ＋ ＋1 ＝1＋ ＋1＝ . （2）2 sin 45°＋2 sin 60°－3tan 30°·tan 45°； 解：原式＝2× ＋2× －3× ×1 ＝ ＋ － ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 （3） ＋tan 260°. 解：原式＝ ＋ ＝ ＋3 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 知识点2　已知特殊角的三角函数值求角的度数 5. 如果锐角A满足 cos A＝ ，那么∠A的度数是（　A　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° [变式] 已知α为锐角，且 sin （α－10°）＝ ，则α等于 （　A　） A. 70° B. 60° C. 50° D. 30° A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 6. 在△ABC中，已知∠A，∠B是锐角，若｜tan A－ ｜＋ （2 sin B－ ）2＝0，则∠C的度数为 ⁠. 75°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 7. 如图，小明在一条南北走向的公路的O处，测得图书馆A在 他的北偏东60°方向，且与他相距200 m，那么图书馆A到公 路的距离AB为（　C　） A. 100 m B. 100 m C. 100 m D. m C 知识点3　特殊角的三角函数值的实际应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 8. 【一题多解】（教材P10习题T4变式）如图，一棵大树被台 风刮断，若树顶端落在离树底部9米处，并与地面成30°夹 角，则树折断之前的高度是 米.（结果保留根号） 9 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 【解析】解法1（利用三角函数求解）： 如图，在Rt△ABC中，BC＝9米，∠C＝30°， ∴AB＝BC·tan 30°＝9×＝3（米）， ∴AC＝2AB＝6 米， ∴AB＋AC＝9 米. 故树折断之前的高度是9 米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 解法2（利用勾股定理求解）： 如图，在Rt△ABC中，BC＝9米，∠C＝30°， ∴AC＝2AB. 设AB＝x 米，则AC＝2x 米. 由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2， 则x2＋92＝（2x）2，解得x＝3（负值已舍去）， ∴AB＝3 米，AC＝6 米， ∴AB＋AC＝9 米. 故树折断之前的高度是9 米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 9. 如图，某飞船从地面O处发射，当飞船到达A处时，从位于 地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，AC与地面所成的夹 角∠ACO为30°，10 s后飞船到达B处，此时测得BC与地面所 成的夹角∠OCB为45°.求飞船从A处到B处的平均速度.（结 果保留一位小数，参考数据： ≈1.73） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 解：∵在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝ 8 km， ∴OA＝ AC＝4 km，OC＝AC· cos 30°＝8× ＝4 （km）. ∵在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，∠BCO＝45°， ∴OB＝OC·tan 45°＝4 ×1＝4 （km）， ∴AB＝OB－OA＝（4 －4）km. ∵ ≈ ≈0.3（km/s）， ∴飞船从A处到B处的平均速度约为0.3 km/s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 10. 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.若OA＝ 2，∠AOC＝45°，则点B的坐标是　　（　D　） A. （2＋ ， ） B. （2－ ， ） C. （－2＋ ， ） D. （－2－ ， ） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 11. 若正比例函数y＝ x的图象与x轴正半轴的夹角为α，则α ＝ ⁠. 30°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 12. 如图，A，B，D在同一直线上，阴影部分是一片湖，从B 处到D处要先绕行至C处，为节省通行时间，决定沿AB方向架 桥修路.为加快施工进度，在B处和D处同时施工，已知 ∠ABC＝150°，BC＝1 600 m，∠BCD＝105°，则C，D两 点间的距离是 m. 800 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 13. 【新情境·生活情境】一个地铁站入口的双翼闸机如图1所 示.如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距 离为12 cm，双翼的边缘AC＝BD＝64 cm，且与闸机侧立面的 夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的 物体的最大宽度为 cm. 76　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 14. 计算： （1） sin 45°－2 cos 30°＋ ； 解：原式＝ × －2× ＋ ＝1－ ＋（ －1）＝0. （2）（2 －π）0－｜1－ ｜＋3tan 30°＋（－ ）－2. 解：原式＝1－（ －1）＋3× ＋4 ＝1－ ＋1＋ ＋4 ＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 15. （教材P11习题T5变式）如图，水库大坝的横截面为四边 形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10 m，坝高20 m，斜坡 AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°. （1）求坝底AD的长度；（结果精确到1 m） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 解：（1）如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作 CF⊥AD 于点F. ∵AD∥BC，∴∠CBE＝∠BEF＝∠CFE＝90°， ∴四边形BEFC是矩形，∴EF＝BC＝10 m. ∵BE＝20 m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5， ∴AE＝50 m. ∵CF＝20 m，斜坡CD的坡角为30°， ∴DF＝ ＝20 m≈35 m， ∴AD＝AE＋EF＋FD≈95 m. 答：坝底AD的长度约为95 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 （2）若坝长100 m，求建造这个大坝大约需要多少土石料. （参考数据： ≈1.414， ≈1.732） 15. （教材P11习题T5变式）如图，水库大坝的横截面为四边 形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10 m，坝高20 m，斜坡 AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°. 解：（2） ×（10＋95）×20×100＝105 000（m3）. 答：建造这个大坝大约需要的土石料为105 000 m3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 谢谢观看 $