1.3 30°，45°，60°角的三角函数值 课件 -2025-2026学年北师大版数学九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系 第3课 30°，45°，60°角的三角函数值 　　知识点1 特殊角的三角函数值 　　1． 如图，设30°角所对的直角边长为a，则斜边长为2a，另一条直角边长为 ⁠． 　　根据三角板的数据填空： 　　 sin 30°＝ 　 　 ； sin 60°＝  　 　 ； 　　 cos 30°＝  　 　 ； cos 60°＝ 　 　 ； 　　tan 30°＝  　 　 ；tan 60°＝  　 　 a 　　2． 如图，在等腰直角三角形中，设两条直角边长为a，则斜边长 为 ⁠． 　　根据三角板的数据填空： 　　 sin 45°＝ ⁠； 　　 cos 45°＝ ⁠； 　　tan 45°＝ ⁠． a ​ ​ 1 　　3． 默写表格并熟记： 　　∠A 　　三角函数 　　30° 　　45° 　　60° 　　 sin A ⁠ ⁠ ⁠ 　　 cos A ⁠ ⁠ ⁠ 　　tan A ⁠ ⁠ ⁠ ​ ​ ​ 1 　　4． 填空： (1) sin 45°＝ ； (2)2 cos 60°＝ ⁠； (3)3tan 45°＝ ； (4) cos 45°＝ ⁠； (5) sin 230°＝ 　 　 ； (6)tan230°＝ 　 　 ； (7) sin 60°·tan 60°＝ ⁠． ​ 1 3 1 　　知识点2 运用特殊角的三角函数值进行计算 　　5． 【例1】(北师九下P8【例1】改编)计算： 　　(1)4 sin 60°＋tan 45°－8 cos 30°； 　　解：原式＝4× ＋1－8× 　　＝2 ＋1－4 ＝1－2 . 　　(2) tan230°＋ sin 230°－3 cos 260°. 　　解：原式＝ × ＋ －3× 　　＝( +) - ＝－ . 　　6． 计算： 　　(1)16 cos 245°－ tan260°； 　　解：原式＝16× － ×()2 　　＝16× - ＝ . 　　(2)(－1)0＋3 sin 45°－22. 　　解：原式＝1＋3 × －4＝1＋3－4＝0. 　　知识点3 由特殊角的三角函数值求角的度数 　　7． 【例2】已知∠A是锐角． 　　(1)若 sin A＝ ，则∠A＝ ⁠； 　　(2)若tan A＝1，则∠A＝ ⁠； 　　(3)若2 cos A＝1，则∠A＝ ⁠； 　　(4)若tan2A＝3，则∠A＝ ⁠． 30° 45° 60° 60° 　　8． 已知α是锐角． 　　(1)若2 sin α－ ＝0，则α＝ ⁠； 　　(2)若 cos α＋ sin 30°＝1，则α＝ ⁠； 　　(3)若 sin α＝ cos α，则α＝ ⁠． 60° 60° 45° 　　9． 【例3】(北师九下P10习题T3)如图，SO是等腰三角形SAB的高， 已知∠ASB＝120°，AB＝54，求SO的长． 　　解：∵SO是等腰三角形SAB的高，AB＝54， 　　∴∠A＝∠B＝ ＝30°，AO＝BO＝ AB＝27. 　　∴SO＝AO·tan 30°＝27× ＝9 . 　　10． 如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒 下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12米处，测得∠BAC＝ 30°，求树原来的高度．(结果保留根号) 　　解：∵BC⊥AC，∴∠BCA＝90°. 　　在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴tan ∠BAC＝ ＝ . 　　∴BC＝AC·tan ∠BAC＝12× ＝4 (米)． 　　∴AB＝2BC＝8 (米)． 　　∴AB＋BC＝12 (米)． 　　答：树原来的高度为12 米． 　　1． 已知∠A为锐角． 　　(1)若 sin A＝ ，则∠A＝ ⁠； 　　(2)若2 sin A＝1，则∠A＝ ⁠； 　　(3)若tan (∠A＋15°)＝1，则∠A＝ ⁠． 60° 30° 30° 　　2． (1)计算： tan 30°·tan 45°－2 cos 60°； 　　解：原式＝ × ×1－2× ＝0. 　　(2)(2024大庆)求值：| －2|－(2 024＋π)0＋tan 60°. 　　解：原式＝2－ －1＋ ＝1. 　　3． 数学文化《墨子·备城门》中记载一古代农用工具，名叫吊杆， 是一种利用杠杆原理的取水机械．如图，支撑杆OM垂直于地面，OM＝ 4米，OA＝3米，当点A位于最低点时，∠AOM＝60°，则此时点A到 地面的距离为 ⁠米． 　　4． 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝ 45°，OC＝ ，则点B的坐标为(　C　) A． (，1) B． (1， ) C． (＋1，1) D． (1， ＋1) C 　　5． 定义一种运算： 　　 sin (α＋β)＝ sin α cos β＋ cos α sin β， 　　 sin (α－β)＝ sin α cos β－ cos α sin β. 　　例如：当α＝45°，β＝30°时， sin (45°＋30°)＝ × + × ＝ ，则 sin 15°的值为  　 　 ． 　　6． (拓展题)在△ABC中，∠A，∠B是锐角，且|( sin A-) |＋|tan B － |＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 　　解：△ABC是直角三角形．理由如下： 　　∵| sin A- |＋|tan B－ |＝0，且∠A，∠B是锐角， 　　∴ sin A＝ ，tan B＝ . ∴∠A＝30°，∠B＝60°. 　　∴∠C＝180°－30°－60°＝90°. 　　∴△ABC是直角三角形． $$