1.1 第1课时 正切（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该初中数学课件聚焦九年级下册“直角三角形的边角关系”中锐角三角函数的正切，涵盖定义、与梯子倾斜程度的关系及坡度等核心知识点。课堂从梯子倾斜、堤坝坡度等实际情境导入，衔接直角三角形知识，通过例题与变式题搭建学习支架，帮助学生逐步理解。 其亮点在于采用一题多解（如扶梯高度计算结合勾股定理方程与比例法）、联系生活实际（水库堤坝坡度问题），培养学生数学思维（推理意识）与数学语言（模型意识）。通过易错点辨析（边长扩大正切值不变）强化严谨性，学生能提升应用能力，教师可分层教学提高效率。

初中数学 九年级下册·（BS版） 第一章　直角三角形的边角关系 1　锐角三角函数　第1课时　正切 目录 CONTENTS A 知识分点练 B 能力综合练 C 拓展探究练 知识点1　正切 1. （2024·云南）如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝ 3，BC＝4，则tan A＝（　C　） A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 [变式] 如图，在△ABC中，若∠C＝90°，BC＝3AC，则 ∠B的正切值为 ⁠. 变式题图 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 2. （2024·鞍山岫岩月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝ 5，BC＝3，则tan A的值是（　D　） A. B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 3. 如图，点A（4，t）在第一象限，OA 与x轴所夹的锐角为 α.若tan α＝ ，则t的值为 ⁠. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD＝CD， AD⊥BC. ∵BC＝10，∴DC＝5.在Rt△ADC中，AD＝ ＝ ＝12， ∴tan C＝ ＝ . 4. （教材P4随堂练习T1变式）如图，在△ABC中，AB＝ AC，AD是∠BAC的平分线.若BC＝10，AC＝13，求tan C的 值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 知识点2　正切与梯子的倾斜程度的关系 5. 如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为α，关于α的正 切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（　C　） A. tan α的值越大，梯子越缓 B. tan α的值越小，梯子越陡 C. tan α的值越大，梯子越陡 D. 梯子的倾斜程度与α的正切值无关 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 6. （教材P3例1变式）如图，甲、乙是两个自动扶梯， 则 自动扶梯比较陡.（填“甲”或“乙”） 甲　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 知识点3　坡度 7. （2025·绥化）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡 度i＝1∶ （斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度 AC的比），堤坝高BC＝15 m，则迎水坡面AB的长度 是 ⁠. 15 m　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 8. 【一题多解】某地铁站扶梯的示意图如图所示，扶梯AB的 坡度i＝5∶12（i为铅直高度与水平宽度的比）.小明乘扶梯从 扶梯底端A以0.5 m/s 的速度用时52 s到达扶梯顶端B，则小明 上升的铅直高度BC为 m. 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 【解析】解法1（结合勾股定理列方程）： 由题意，知AB＝0.5×52＝26（m），i＝＝5∶12， ∴设BC＝5x m，AC＝12x m. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2＋AC2＝AB2， ∴（5x）2＋（12x）2＝262， 解得x＝2（负值已舍去），∴BC＝10 m. 解法2（结合勾股定理用线段关系）： 在Rt△ABC中，i＝＝5∶12， ∴BC∶AC∶AB＝5∶12∶13. ∵AB＝26 m，∴BC＝10 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 易错点　对正切的概念理解不清 9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.若将各边的长度都扩大为原来 的2倍，则∠A的正切值（　C　） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高， 则下列线段的比值不等于tan B的是（　B　） A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 11. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan A的值为　　　 （　C　） A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 12. 【一题多解】（2024·内江）如图，在矩形ABCD中，AB ＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰 好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC＝ ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 【解析】∵四边形ABCD为矩形， ∴BC＝AD＝5，CD＝AB＝3，∠B＝∠C＝90°. ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处， ∴AF＝AD＝5，EF＝DE， ∴在Rt△ABF中，BF＝＝4， ∴CF＝BC－BF＝5－4＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 解法1（直接计算）： 设CE＝x，则EF＝DE＝CD－CE＝3－x. ∵在Rt△ECF中，CE2＋FC2＝EF2， ∴x2＋12＝（3－x）2，解得x＝， ∴CE＝，∴tan∠EFC＝＝. 解法2（转化思想）： ∵∠B＝∠C＝∠AFE＝90°， ∴∠BAF＋∠AFB＝∠EFC＋∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝∠EFC，∴tan∠EFC＝tan∠BAF＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 13. 如图，点A在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，点B在 反比例函数y＝－ （x＜0）的图象上，连接OA，OB，AB. 若AO⊥BO，则tan∠BAO＝ ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 解：如图，过点A作AH⊥BC于点H. ∵S△ABC＝ BC·AH＝27 cm2，BC＝9 cm， ∴ ×9·AH＝27，∴AH＝6 cm. ∵AB＝10 cm，∴BH＝ ＝ ＝8（cm）， ∴tan B＝ ＝ ＝ . 14. 如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10 cm，BC＝9 cm， △ABC的面积为27 cm2，求tan B的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 15. （2025·威海）[问题提出] 已知∠α，∠β都是锐角，tan α＝ ，tan β＝ ，求∠α＋∠β 的度数. [问题解决] （1）如图，小亮同学在由边长为1的小正方形组成的网格中画 出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α＋∠β的度数； （点A，B，C，D都在格点上） 备用图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 解：（1）连接BC（图略）. 由题意，得∠BAD＝∠α，∠CAD＝∠β. ∵AB＝BC＝ ，AC＝ ，∴AB2＋BC2＝AC2， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝45°，∴∠α＋∠β＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 （2）已知∠α，∠β都是锐角，tan α＝ ，tan β＝ ，则∠α＋ ∠β＝ °； 解：（2）如图，∠BAD＝∠α，∠DAC＝∠β，连接BC. ∵AB＝AC＝ ，BC＝ ，∴AB2＋AC2＝BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴∠α＋∠β＝90°.故答案为90. 90　 15. （2025·威海）[问题提出] 已知∠α，∠β都是锐角，tan α＝ ，tan β＝ ，求∠α＋∠β 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 （3）已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tan α＝ ，tan β＝ ，∠α ＋∠β＝∠θ，求tan θ的值. （提示：在由边长为1的小正方形组成的网格中画出求解过程 的图形，并写出答案） 15. （2025·威海）[问题提出] 已知∠α，∠β都是锐角，tan α＝ ，tan β＝ ，求∠α＋∠β 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 解：（3）如图，∠GDH＝∠α，∠HDF＝∠β，连接GF. ∵DG＝2 ，GF＝ ，DF＝5 ，∴DG2＋GF2＝ DF2， ∴△DGF是直角三角形，∠DGF＝90°. 在Rt△DGF中，tan θ＝tan（α＋β）＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 上一页 下一页 谢谢观看 $