1.5 三角函数的应用（教学课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该初中数学课件聚焦九年级下册“三角函数的应用”，核心内容包括方位角、仰角、俯角、坡度与坡角的概念及解直角三角形的实际应用。通过“探究”环节先明确概念（如方位角以正北正南为起始方向，仰角俯角巧记“上仰下俯”），再结合轮船航行、测量树高等例题，搭建从概念到应用的学习支架，衔接直角三角形边角关系的已有知识。 其亮点在于以生活化实例（如轮船避险、测量树高、大坝坡度计算）引导学生用数学眼光观察现实世界，通过构造直角三角形、运用三角函数推理计算培养数学思维，课堂小结归纳“实际问题→数学模型→求解→回归实际”的步骤强化模型意识。学生能提升知识应用能力，教师可借助结构化例题与练习提高教学效率。

数学 九年级下册 (BS版) 初中同步训练 第一章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念； 2.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角 的问题. 学习目标 探 究 新 知 探究1 什么是方位角？ 东 西 北 南 A O 30° 北偏东30° 45° B 南偏西45° (也称西南方向) 方向角： 旋转到 一般以观测者的位置 将 正北 或 正南方向 作为起始方向 目标方向线 所成的角 (一般指锐角). 如图， 西南方向. 点A在 点B在 北偏东30°方向， 南偏西45°方向， 也称 为原点， 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向. 那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？ 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？ 65° 34° P B C A 小例题 解：如图 ，在Rt△APC中， PC＝PA·cos（90°－65°） ＝80×cos25° ≈80×0.91 =72.8 在Rt△BPC中，∠B＝34° 当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.19海里． 65° 34° P B C A 探究2 什么是仰角和俯角？ 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 水平线 视线 视线 铅垂线 仰角 俯角 可巧记为”上仰下俯”. ① 仰角和俯角 是视线相对于水平线 而言的， 不同位置的仰角和俯角是不同 的， ② 实际问题中遇到仰角和俯角时， 要放在直角三角形 或转化到直角三角形 中 运用， 注意确定水平线. 45° 30° O B A 200米 答案: 米 P 小例题 1. 如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO . 2. 如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度. 他站在距离水杉树8m的E处，测得树顶的 ∠ACD=52°，已知测角器的架高CE=1.6m，问树高AB为多少米？(精确到0.1m，tan52°≈1.2799) 仰角 8 1.6 解： ∵ 在Rt△ACD中， ∴ 由 tan∠ACD= ，得 AD CD AD= =8·tan52° ≈8×1.2799 ≈10.2(m) 又∵ DB=CE=1.6(m) ∴ AB= AD+DB =10.2+1.6 =11.8(m) 答：树高AB为11.8m. 1.6 8 ∠ACD=52°， CD= EB=8m CD·tan∠ACD 探究3 坡度和坡角问题 1、坡角 记作 ， 即 坡面的铅直高度 和水平长度 的比 坡度 (坡度通常写成 的形式) (或坡比)， 如图所示， 叫做 坡面的 3、坡度与坡角的关系 坡度 即 =tan 坡面 水平面 记作 . 坡面与水平面的夹角 叫做坡角 倾斜角)， 2、坡度 (或坡比) (或称 等于 坡角的正切值. 显然， 坡度 越大， 坡角 越大， 坡面就越陡. 小例题 1. 斜坡的坡度是 ，则坡角α = 度. 2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 . 3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是 . 1 : 1 坡面 4.如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6 cm(如箭头所示)， 则木桩上升了(　　) A．6sin 15° cm B．6cos 15° cm C．6tan 15° cm D． cm 30° 水平面 C 1.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米. 2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米. 100 图1 图2 B C B C 随堂练习 3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°， 已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于 （根 号保留）． 4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，∠CAB=45°， 则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）． 图3 图4 5.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为________. 解析：如图，过点A作AD⊥OB于D． 在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km， ∴AD= OA=2km． 在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°， ∴BD=AD=2km， ∴AB= AD= km． 即该船航行的距离为 km． 6.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度为1∶3，斜坡CD的坡度为1∶2.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）; （2）斜坡CD的坡角α（精确到 1°）. E F A D B C 1:2.5 23 6 α 解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、 F,由题意可知 BE=CF=23m ， EF=BC=6m. E F A D B C 1:2.5 23 6 α 在Rt△ABE中 在Rt△DCF中，同理可得 =69+6+57.5=132.5m 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 (2) 斜坡CD的坡度为tanα=1：2.5=0.4， 由计算器可算得 答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡CD的坡角α约为22°. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 课堂小结 $