1.5　三角函数的应用 第1课时　方位角问题 仰角与俯角问题 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

5　三角函数的应用 　　第1课时　方位角问题 与方位角有关的两地间距离的计算 [例1] (2022安徽)如图所示,为了测量河对岸A,B两点间的距离,某数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东37°方向上,沿正东方向行走90 m至观测点D,测得A在D的正北方向,B在D的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离(参考数据:sin 37°≈ 0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75). 新知应用 B 2.如图所示,公路l上A,B两点之间的距离为20 m,点B在点C的南偏西30°方向上,点A在点C的南偏西60°方向上,则点C到公路l的距离为 　 　.  与方位角有关的航海问题的计算 [例2] (2023眉山)如图所示,一渔船在海上 A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向,渔船向正东方向航行12 n mile到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最短距离是　 　n mile.  新知应用 A 50 D 3.如图所示,某轮船在港口A处观测到在其北偏东50°方向有一灯塔P,轮船早上8:00从港口A出发沿北偏东70°方向航行,11:00到达 B处,此时观测到灯塔P在其正西方向,若港口A与灯塔P的距离为 40 n mile,求轮船的航行速度(结果精确到1 n mile/h.参考数据: sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36). 仰角与俯角问题 与仰角、俯角有关的高度计算 新知应用 B 1 200 与仰角、俯角有关的宽度计算 [例2] (2022广元)如图所示,计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF.在点E处测得山顶A的仰角为45°,在距E点80 m的C处测得山顶A的仰角为30°,从与F点相距10 m的D处测得山顶A的仰角为45°,点C,E,F,D在同一直线上,求隧道EF的长度. 新知应用 1.如图所示,从热气球C上测得两建筑物A,B底部的俯角分别为29.5° 和45°,这时气球的高度CD为100 m,且点A,D,B在同一条直线上,则建筑物A,B之间的距离为　 　(结果精确到1 m.参考数据: sin 29.5°≈0.49,cos 29.5°≈0.87,tan 29.5°≈0.57).  275 m 2.如图所示,一枚巡航导弹发射一段时间后,平行于地面飞行.当导弹到达点A处时,从位于地面C处的雷达站测得AC是400 m,仰角是45°, 1 s后导弹到达点B处,此时测得仰角是30°,则AB的长度是 　 　(结果保留根号).  D 2.如图所示,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6 m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.则该电线杆PQ的高度是　 　m(结果可保留根号).  3.如图所示,小石同学在A,B两点分别测得某建筑物上条幅两端C,D两点的仰角均为60°,若点O,A,B在同一条直线上,A,B两点间的距离为 3 m,则条幅的高CD为　 　m.  4.(2023凉山)超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内的C,E两处安装了测速仪,该段隧道的截面示意图如图所示,图中所有点都在同一平面内,且A,D,B,F在同一直线上.点C、点E到AB的距离分别为CD,EF,且CD=EF=7 m,CE=895 m,在C处测得A点的俯角为30°,在E处测得B点的俯角为45°,小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45 s. (1)求A,B两点之间的距离(结果精确到 1 m). 解:(2)小型汽车从点A行驶到点B没有超速.理由如下: 900÷45=20(m/s), 20 m/s=20×3.6=72(km/h). ∵72<80, ∴小型汽车从点A行驶到点B没有超速. 谢谢观赏！ 28 解:由题意,得∠ADC=90°,∠A=37°, ∴∠CBD=∠A+∠ADB=37°+53°=90°.∴∠ABD=90°. 在Rt△BCD中,∠BDC=90°-53°=37°,CD=90 m,cos∠BDC=, ∴BD=CD·cos 37°≈90×0.80=72(m). 在Rt△ABD中,tan A=, ∴AB=≈=96(m). 答:A,B两点间的距离约为96 m. 1.如图所示,一条东西向的大道上,A,B两景点相距20 km,C景点位于A景点北偏东60°方向上,位于B景点北偏西30°方向上,则A,C两景点的距离为( ) A.10 km B.10 km C.10 km D. km 10 m (6+6) 1.一轮船以16 n mile/h的速度从港口A出发向北偏东63°方向航行,另一轮船以8 n mile/h的速度同时从港口A出发向南偏东57°方向航行.离开港口1 h后,则两船相距( ) A.8 n mile B.8 n mile C.16 n mile D.24 n mile 2.(2022巴中)如图所示,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔30 n mile的A处,它沿北偏东30°方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处,此时与灯塔P的距离约为 　 　n mile(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈).  1.如图所示,一渔船以32 n mile/h的速度向正北航行,在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°方向,半小时后航行到B处看到灯塔S在船的北偏东60°方向,若渔船继续向正北航行到C处时,渔船在灯塔S的正西方向,此时灯塔S与渔船的距离为( ) A.16 n mile B.18 n mile C.8 n mile D.8 n mile 2.(2022荆门)如图所示,一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向,距离灯塔100 n mile的 A处,它沿正南方向以50 n mile/h的速度航行t h后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处,则t的值为　 　.  1+ 解:如图所示,延长BP交AC于点C,过点P作PH⊥AB于点H,则 ∠ACB=90°. ∵∠CAP=50°,∴∠APC=90°-50°=40°.∵∠CAB=70°, ∴∠PAB=∠CAB-∠CAP=20°.∵∠APC=∠PAB+∠B, ∴∠B=∠APC-∠PAB=40°-20°=20°.∴AP=PB.∴AH=BH. ∵AP=40 n mile,∴AH=AP·cos 20°≈40×0.94=37.6(n mile). ∴AB=2AH=75.2(n mile).∴轮船的航行速度为≈25(n mile/h). [例1] (2022眉山)数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD.如图所示,在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30°,沿AD方向前进60 m到达B处,测得楼顶C处的仰角为45°,求此建筑物的高(结果保留整数.参考数据:≈1.41,≈1.73). 解:在Rt△BCD中,∠CBD=45°, 设CD=x m,则BD=CD=x m, ∴AD=BD+AB=(60+x)m. 在Rt△ACD中,∠CAD=30°, tan∠CAD=tan 30°=,即=, 解得x=30+30≈82. 答:此建筑物的高约为82 m. 1.如图所示,在离铁塔100 m的A处,用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪高AD为1.4 m,则铁塔的高BC为( ) A.(1.4+)m B.(1.4+100tan α)m C.(1.4+)m D.(1.4+100sin α)m 2.如图所示,一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α,tan α=,水平飞行900 m后,到达点B处,又测得标志物P的俯角为β,tan β=,飞机离地面的高度为　 　m.  解:如图所示,过点A作AH⊥DE于点H.在Rt△AEH中,∠AEH=45°, 设EH=x m,则AH=EH=x m.∵CE=80 m,∴CH=CE+EH=(80+x)m. 在Rt△ACH中,∠ACH=30°,∴tan∠ACH=tan 30°=, 即=,解得x=40+40.∴AH=EH=(40+40)m. 在Rt△AHD中,∠ADH=45°,DF=10 m,∴DH=AH=(40+40)m. ∴EF=EH+DH-DF=40+40+40+40-10=(80+70)m. ∴隧道EF的长度为(80+70)m. (200-200)m 1.如图所示,电线杆AB的中点C处有一标志物,在地面点D处测得标志物的仰角为32°,若点D到电线杆底部点B的距离为a m,则电线杆AB的长为( ) A. m B. m C.2acos 32° m D.2atan 32° m (6+2) 3 解:(1)根据题意,知四边形CDFE是矩形,∠CAD=30°, ∠EBF=45°,CD=EF=7 m,∴DF=CE=895 m. 在Rt△EBF中,BF=EF=7 m,∴DB=DF-BF=895-7=888(m). 在Rt△ACD中,AD===7≈12(m), ∴AB=AD+BD=12+888=900(m). ∴A,B两点之间的距离约为900 m. (2)若该隧道限速80 km/h,判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速?并通过计算说明理由(参考数据:≈1.4,≈1.7). $$