1.4 解直角三角形（教学课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”，系统梳理其概念及直角三角形中三边、锐角、边角间的关系。通过复习锐角三角函数定义及直角三角形元素标注，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以探究活动引导学生自主发现直角三角形元素关系，结合例题分类型讲解方法，渗透数学思维与模型意识。课堂小结系统归纳解直角三角形的关键与方法，助力学生形成结构化知识。学生能提升推理与应用能力，教师可依托此资料优化教学流程，提高课堂效率。

初中同步训练 数学 九年级下册 (BS版) 第一章 直角三角形的边角关系 4 解直角三角形 学习目标 1、了解解直角三角形的概念 2、能运用直角三角形的角与角(两锐角互余),边与边(勾股定理),边与角之间的关系解直角三角形 A C B ∠A的对边a ∠A的邻边b 斜边c 锐角A的正弦、余弦、正切 sinA= ∠A的对边 斜边 a c = cosA= ∠A的邻边 斜边 b c = tanA= ∠A的对边 ∠A的邻边 a b = cosA、tanA也是锐角A的函数. 对于锐角A的每一个确定的值， sinA有唯一确定的值与它对应， 所以sinA是锐角A的函数. 同理， 都叫做锐角A的三角函数. 复习导入 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，tanA= ，求AB的长. A C B 解： ∵ tanA= BC AC 9 = ， 3 4 且 BC=9 9 AC = 3 4 ∴ ∴ AC=12 ∴ AB= =13 规律总结： 根据正切的定义， 可以列出锐角正切 与对边、邻边的关系式， 将已知数据 可求得未知数据. 代入， 若已知正切与对边 可求得邻边； 已知正切与邻边也可 求得对边. 3 4 探 究 新 知 探究 之间有怎样的关系呢? 如图， Rt△ABC共有 个元素 六 ( )， ∠C=90°， 那么其余五个元素 ( ) 其中 (1) 三边之间的关系 (2) 锐角之间的关系 (3) 边角之间的关系 a2+b2=c2 ∠A+∠B=90° sinA= ， a c cosA= ， b c tanA= a b c a b B C A 三条边， 三个角 两锐角A，B 三边a，b，c， 对于锐角B，也由类似的边角关系吗？ sinB= ， b c cosB= ， a c tanB= b a 定义：     由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫 . 解直角三角形 小例题 例 1 在Rt△ABC中，∠C=90°，a= ，b=3，解这个直角三角形. 解： 由勾股定理，得 ∵ tanA= 已知两直角边解直角三角形的方法： c B C A a b = ∠A=30° ∴ c= a b ∠B= ∴ 90°- 30° =60° 通常先利用勾股定理求出斜边的长， 再利用两直角边的比 得到正切值 求出一个锐角， 最后利用两锐角互余关系求出另一个锐角. a= b=3 随堂练习 1、在下列直角三角形中不能求解的是（ ） A、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角 C、已知两边 D、已知两角 D 2、在△ABC中，∠A=30°，AC= ，BC=3，那么∠B为( ) A.60° B.60°或120° C.30° D.30°或150° A 3、 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=42°6'，c=287.4，解这个直角三角形. c B C A (精确到0.1，参考数据：sin42°6'≈0.670 4，cos42°6'≈0.742 0) 解： ∵ ∠C=90°，∠B=42°6' ∴ ∠A= 90°-42°6' =47°54' a b 由 cosB= ，得 a c a= c cosB ≈287.4×0.6704 ≈192.7 由 sinB= ，得 b c b= c sinB ≈287.4×0.7420 ≈213.3 已知一个锐角和斜边解直角三角形的方法： 通常先利用两锐角互余的关系求出另一个锐角， 再利用已知角的正弦和余弦， 求出两直角边， 也可以结合勾股定理求解. 42°6' c=287.4 c=30 b=20 4、如图，在△ABC中，∠A=55°，b=20cm，c=30cm，求三角形的面积S△ABC.( 精确到0.1cm2，sin55°≈0.8192) c B C A b 55° a 解： 过点C作CD⊥AB，垂足为D D ∵ 在Rt△ACD中， sinA= CD AC ∴ CD= AC·sinA =20sin55° ∴ S△ABC= AB·CD 1 2 = ×30×20sin55° 1 2 ≈ ×30×20×0.8192 1 2 ≈ 245.8(cm2) 课堂小结 在直角三角形中， 除直角外， 由已知元素 叫做解直角三角形. 的过程， 求出未知元素 拓展延伸： (1) 解直角三角形至少需要 个元素 这样就可以求出其余三个元素. 2 (除直角外)， 且这两个元素中至少有 一个元素是边， (2) 解直角三角形 不是只求单独的一个未知边 (3) 解直角三角形所用的关系式 ① 三边之间的关系 ② 锐角之间的关系 a2+b2=c2 ∠A+∠B=90° 就是利用已知元素 把剩余的未知元素 求出来的过程， 或一个未知角. ③ 边角之间的关系 sinA= ， a c cosA= ， b c tanA= a b (4) 解直角三角形的关键 未知和已知元素. 就是灵活地选择上面的关系式， 快捷地沟通 $