1.1 第2课时 正弦与余弦（教学课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该初中数学课件聚焦九年级下册锐角正弦、余弦的定义及计算，通过复习正切定义导入，引导学生探究直角三角形中锐角确定时边比的确定性，以相似三角形为支架构建新旧知识联系。 其亮点在于以探究活动培养数学眼光，通过相似三角形抽象边比关系，结合梯子倾斜、坐标系点等实例发展推理能力与模型意识。课堂小结系统梳理定义及互余角关系，助力学生理解本质，教师可高效开展概念教学与能力训练。

初中同步训练 数学 九年级下册 (BS版) 第一章 直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 第2课时 正弦和余弦 学习目标 1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计算； 2.在直角三角形中求正弦值、余弦值. 复习导入 在直角三角形中，如果一个锐角确定，则它的对边与邻边的比值便随之确定：在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A, 即 tan A= A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ┌ 斜边 探 究 新 知 探究 如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其他边之间的比也确定吗? 【结论】在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比, ∠A的邻边与斜边的比也随之确定. B ┌ 斜边 A C ∠A的对边 ∠A的邻边 锐角A的对边 与邻边之比 BC AC B1C1 AC1 B2C2 AC2 = = 锐角A的对边 与斜边之比 BC AB B1C1 AB1 B2C2 AB2 = = 锐角A的邻边 与斜边之比 AC AB A1C1 AB1 A2C2 AB2 = = 在上图中， 这些直角三角形都是相似的， 当锐角A的大小确定后， 对边与 邻边的比 邻边与斜边的比 而且∠A的对边与斜边 的比、 由此你得出什么结论? 随之确定， 分别 思考：当锐角A确定时，∠A的对边与邻边的比就随之确定.想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ 不仅∠A的 也是确定的. A B B1 B2 C C1 C2 如图，在Rt△ABC中， 我们把锐角A的 对边 与斜边的比 叫做 ∠A的正弦 (sine)， 记作： sinA， A C B ∠A的对边a ∠A的邻边b 斜边c 即 sinA= ∠A的对边 斜边 BC AB = a c = 即 同理，在Rt△ABC中， 我们把锐角A的 邻边 与斜边的比 叫做 ∠A的余弦 (cosine)， 记作： cosA， cosA= ∠A的邻边 斜边 AC AB = b c = 知识归纳 正弦，余弦的定义 ① sinA，cosA中常省去角的符号“∠”； ② sinA、cosA是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角. ④ 若两锐角相等， 则正弦值和余弦值相等； 若正弦值和余弦值 则这两个锐角相等. 相等, 在初中阶段的sinA， cosA中， (注意数形结合，构造直角三角形). ③ sinA 和 cosA 都是一个比值， 而且是正数， 没有单位， 其 而与其所在的直角三角形的大小无关. 只与锐角的大小有关， 大小 拓展 思考：梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关？ cos A的值越小，梯子越陡. sin A的值越大，梯子越陡； 如图,梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关吗? A C B ∠A的对边a ∠A的邻边b 斜边c 锐角A的正弦、余弦、正切 sinA= ∠A的对边 斜边 BC AB = a c = cosA= ∠A的邻边 斜边 BC AB = a c = tanA= ∠A的对边 ∠A的邻边 AC AB = b c = cosA、tanA也是锐角A的函数. 对于锐角A的每一个确定的值， sinA有唯一确定的值与它对应， 所以sinA是锐角A的函数. 同理， 都叫做锐角A的三角函数. 三角函数值 小例题 1、如图，在Rt△ABC中，两直角边 AC=12，BC=5，求∠A的各个三角函数. A C B 5 12 ∴ AB= =13 ∴ sinA= BC AB 5 13 = 13 cosA= AC AB 12 13 = tanA= BC AC 12 13 = 解： ∵ 在Rt△ABC中，AC=12，BC=5，∠C=90° 【方法总结】 再利用锐角三角函数的定义 解决这类问题的关键 是利用勾股定理 求出直角三角形 的其他边的长， 求三角函数的值. 随堂练习 1、如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，sinA的值（ ） 2、已知∠A，∠B为锐角 (1)若∠A=∠B，则sinA sinB； (2)若sinA=sinB，则∠A ∠B. A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 A C B C = = 3、若α是锐角，sin α＝3m－2，则m的取值范围是(　　) A. ＜m＜1 B．2＜m＜3 C．0＜m＜1 D．m＞ A 4、如图，在平面直角坐标系内有一点P(3,4)，连接OP，求OP与 x 轴正方向所夹锐角α的各个三角函数. Q (3,4) 3 4 5 解： 过点P作x轴的垂线，垂足为Q. ∵ 在Rt△ABC中，OQ=3，QP=4，得 ∴ OP= =5 ∴ sinα= QP OP 4 5 = cosα= OQ OP 3 5 = tanα= QP OQ 4 3 = 5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，已知BC=3，sinA= ，求 AC 和 AB. 5 13 A C B 3 解： ∵ 在Rt△ABC中，sinA= BC AB = ， 5 13 且 BC=3 ∴ = 3 AB 5 13 ∴ AB= 39 5 ∴ AC= = 36 5 课堂小结 1.锐角三角函数定义: A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ┌ 斜边 sin A= cos A= 即在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦. 2.在Rt△ABC中,sin A=cos B. tan A= ∠A的对边 ∠A的邻边 $