1.5 三角函数的应用（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

5三角E A知识分点练 夯基础 知识点1解决与方向角有关的问题 1.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向， 与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正 南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南 偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在的位 置B处与灯塔P之间的距离为 北 60° P 30 东 B 第1题图 第2题图 2【一题多解】如图，海中有一个小岛A,一艘轮 船由西向东航行，在点B处测得小岛A在北偏 东60°方向上，轮船航行l2 n mile到达点C 处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上.小岛 A到航线BC的距离约为 n mile.(结果 精确到0.1 n mile,参考数据：w√3≈l.73) 知识点2解决与仰角、俯角有关的问题 3.(2024·绥化)如图，用热气球上的探 测器测一栋楼的高度，在热气球上 的点A处测得该楼顶部点C的仰 角为60°，测得该楼底部点B的俯 角为45°，点A与楼BC的水平距 离AD=50m,则这栋楼的高度为 m.(结果保留根号) 4.(2025·陕西)小涵和小宇想测量公园山坡上一 个信号杆的高度在征得家长同意后，他们带着 工具前往测量.测量示意图如图所示，他们在坡 面FB上的点D处安装测角仪DE,测得信号 杆顶端A的仰角a为45°，DE与坡面的夹角3 为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的 距离DB为22m.已知DE=1.7m,点A,B,C 在同一条直线上，AB,DE均与水平线FC垂 14一本·初中数学9年级下册BS版 函数的应用 直.求信号杆的高度AB.(参考数据：sin72.5°≈ 0.95,cos72.5°≈0.30，tan72.5≈3.17) EE F<D 知识点3解决与坡度、坡角有关的问题 5.(教材P19做一做变式)如图，斜坡AB长100m, 坡角∠ABC=30°，现因“改小坡度”工程的需 要，需将斜坡AB改造成坡度i=1：5的斜坡 BD(A,D,C三点在地面的同一条垂线上)，则 点A到点D下降了 m.(结果保留根号) 4609 D 第5题图 变式题图 [变式](2024·眉山)如图，斜坡CD的坡度i= 1：2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树 AB,当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在 斜坡上的影子BE的长为10米，则大树AB的 高为 米 知识点4解决其他实际问题 6.【新情境·跨学科】(2024·辽宁)如图1，在水平 地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将 物体竖直向上提起.起始位置的示意图如图2 所示，此时测得点A到BC所在直线的距离 AC=3m,∠CAB=60°；停止位置的示意图如 图3所示，此时测得∠CDB=37°（点C,A,D 在同一直线上，且直线CD与地面平行)，图3 中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计， 运动过程中绳子总长不变： (1)求AB的长； (2)求物体上升的高度CE(结果精确到0.1m, 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ 0.75,3≈1.73) 图1 图2 B E C `、A D 图3 B能力综合练 练思维 7.(2025·沈阳浑南区模拟)小明准备利用无人机测 量建筑物MN的高度.如图，小明先将观测点 选在建筑物MN对面的楼房AH的楼上一点 A,利用无人机先测得建筑物MN的顶端M的 俯角为24°，又遥控无人机沿与地面HN保持 平行的方向，由点A飞行36米到达点B处，此 时测得该建筑物MN底端N的俯角为66°，又 测得点H的俯角为56.3°，已知MN与AH均 垂直于地面HN,垂足分别为N,H(点A,B, M,N,H在同一平面内).求： (1)AH的长； (2)建筑物MN的高度.（结果精确到1米，参 考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈ 0.45,sin56.3°≈0.83，cos56.3°≈0.55，tan56.3°≈ 1.50,sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈ 2.25) y B 00 00 2456.39yY66 00 00 M 00 0 工 n 第一章直角三角形的边角关系153三角函数的计算 1.B2.c 3.解：(1)原式≈0.3746. (2)原式≈0.8541. (3)原式≈0.8029. (4)原式≈7.3373. 4.A 5.解：(1)0≈1931'28 (2)0≈3314'37". (3)0≈46°45'52" (4)0≈7417'30" 6.B7.该建筑的高度BC约为262m8.A 9.(1)遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190cm (2)遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm 10.解：(1)====== 1 (2)证明：”SaAc=2AB·sin2a·AC,S△Ac= 2 2 ABsin a·ACcos a, 1 2AB·sin2a·AC=2X2 ABsin a·ACcos a 即sin2a=2 sin acos a. 4解直角三角形 1.c 2.(1)b=5,∠A=∠B=45° (2)c=4J3,∠A=30°，∠B=60° 3.B4.35.3+十43 6.(1)∠B=30°，a=3,b=√3 (2)∠A=54°，c≈4.9，b≈2.9 7.AB=√6，BC=√3+1 8.43+3或4√3-39.C10.A11.2.7 12.(1)BC=14 (2)sin/DAE=37 37 1 13.SAnD2absin a 5三角函数的应用 1.303海里 2.10.4【解析】如图，过，点A作AE⊥BC,交BC的延长 于点E. B E东 由题意，得∠BAE=60°，∠CAE=30°，∠ABC=30 /ACE=60°. 解法1：.∠BAC=∠ACE-∠ABC=30°， ∴.∠BAC=∠ABC,∴.AC=BC=12 n mile. 在Rt△ACE中，sim∠ACE=AE AC' AE=AC·sin∠ACE=12XB 2 =65≈10.4(n mile), ∴.小岛A到航线BC的距离约为10.4 n mile.. 解法2：设AE=n mile. ·BE-CE=BC,BE=x tan 305,CE= tan60°y `tan30°一tan60=12,解得x=63, .∴.AE=63≈10.4(n mile), .小岛A到航线BC的距离约为10.4 n mile. 3.(50√/3+50) 4.信号杆的高度AB约为16m 5.(50-10/3)【变式】(415-2√/5) 6.(1)AB的长为6m (2)物体上升的高度CE约为2.7m 7.(1)AH的长约为54米 (2)建筑物MN的高度约为27米 6利用三角函数测高 1.A 2.教学楼BC的高度约为24m 3.51 4.这座山AB的高度约为112m 5.该通信塔的塔杆PD的高度约为56.3m 6.(1)DE=3m (2)塔AB的高度约为11m 章末复习 【高频考点精练】 1 1.c2.2 1 3.(1)2 (2)44.A5.C6.B 7【解折】在R△ABC中，mB-侣， AC 4 ∴.可设AC=4k,AB=3k, .由勾股定理，得BC=5k。 CD 1 :CD=2BC,…心BD=3 解法1（内部构造直角三角形，直接求）： 如图，过，点C作CH⊥AC,交AD于点H,.∠ACH=90° A H 0 .∠BAC=90°，.AB∥CH, ∴∠HCD=∠B,∴.△HCD∽△ABD, 答案2·