7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（教学设计) 数学人教A版必修第二册

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第二册第七章“复数”中的7.3.2节内容。核心内容包括：复数三角形式的乘法运算公式推导与文字表述；复数乘法运算的几何意义探究与应用；复数三角形式的除法运算公式推导与文字表述；复数除法运算的几何意义探究与应用；运用复数乘、除运算的三角表示及几何意义解决相关数学问题，归纳运算规律与解题策略。 内容解析 本节是复数知识体系的重要延伸，是复数代数形式运算与三角函数、平面向量知识的有机融合。其核心价值在于建立复数运算与几何变换（旋转、伸缩）之间的关联，为复数的深入研究提供了数形结合的新视角。 从知识关联看，本节内容承接了复数的代数形式四则运算和复数的三角表示，进一步完善了复数的运算体系，同时搭建了复数与三角函数、平面向量之间的桥梁，使学生体会不同数学分支之间的内在联系。 从学习意义看，通过探究复数乘、除运算的三角表示及几何意义，学生能掌握新的复数运算方法，提升数学运算素养；通过将复数运算转化为几何变换，培养直观想象素养；在公式推导过程中，体会类比、化归与转化的数学思想，增强逻辑推理能力，为后续学习复数的更多应用奠定基础。 教学目标 1. 理解复数乘、除运算的三角表示公式，能准确表述公式的文字含义，并掌握公式的推导过程。 2. 掌握复数乘、除运算的几何意义，能结合图形解释复数乘、除运算对应的向量变换（旋转、伸缩）。 3. 能熟练运用复数三角形式的乘、除运算法则解决相关计算问题，并能作出几何解释。 4. 体验复数运算从代数形式到三角形式的拓展过程，感受数形结合、类比、化归与转化等数学思想，提升直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养。 目标解析 1. 能准确写出两个复数三角形式相乘、相除的公式，并用“模相乘，辐角相加” “模相除，辐角相减”概括文字意义；能复述公式推导过程中用到的复数代数乘法法则、两角和差的三角函数公式等知识。 2. 能结合具体复数，描述其乘、除运算对应的向量旋转方向（逆时针或顺时针）、旋转角度及模的伸缩倍数；能根据几何意义画出运算对应的向量图形。 3. 给定复数的代数形式或非标准三角形式，能先转化为标准三角形式，再进行乘、除运算，结果可根据要求化为代数形式或保留三角形式；能对运算结果作出合理的几何解释。 4. 在探究过程中，能类比复数代数形式运算、三角函数公式推导等已有知识，主动探索三角形式的运算规律；能通过图形分析复数运算与向量变换的关系，体会数形结合思想的应用价值。 达成上述目标的标志是： 1. 能独立完成复数三角形式乘、除运算的公式推导，并准确表述公式及文字含义。 2. 能正确求解复数乘、除运算问题，包括代数形式与三角形式的转化、运算计算及几何意义解释。 3. 能运用复数乘、除运算的几何意义解决向量旋转、伸缩相关问题，如已知向量变换求对应的复数。 4. 能总结复数代数形式与三角形式在运算上的优势与适用场景，形成系统的复数运算知识体系。 本节内容的学习对象是高一学生，学生已具备以下知识基础： 1. 掌握复数的代数形式及四则运算法则，能进行复数代数形式的乘、除运算。 2. 理解复数的几何意义，知道复数与复平面内向量的一一对应关系。 3. 学习了复数的三角表示，能将复数的代数形式转化为三角形式，反之亦然。 4. 掌握两角和、差的正弦、余弦公式，具备一定的三角函数运算能力。 学生的认知特点：高一学生已具备初步的逻辑推理和自主探究能力，对数形结合思想有一定体会，但将复数运算与几何变换（旋转、伸缩）紧密结合起来理解仍存在困难；在公式推导过程中，对“复数三角形式与代数形式的联系” “三角函数公式的应用”等综合知识的运用可能不够熟练；对辐角的取值范围、旋转方向的判断等细节问题容易出错。 基于以上分析，确定本节课的 教学重点：1. 复数乘、除运算的三角表示公式及推导；2. 复数乘、除运算的几何意义；3. 运用三角形式进行复数乘、除运算及几何解释。 教学难点：1. 复数乘、除运算三角表示公式的推导过程；2. 对复数乘、除运算几何意义的理解，尤其是旋转方向与角度的判断；3. 非标准三角形式与代数形式的转化及运算。 知识点一　复数三角形式的乘法 设z1，z2的三角形式分别是： z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)， 则z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]， 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 几何意义：两个复数z1，z2相乘，可以先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. 特征：旋转＋伸缩变换． [注意]　(1)z1z2z3…zn＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)·…·rn(cosθn＋isinθn)＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]． (2)棣莫弗定理：[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)(n∈N*)． 知识点二　复数三角形式的除法 设z1，z2的三角形式分别是： z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z2≠0，则＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]，这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 几何意义：两个复数z1，z2相除，可以先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(若θ2<0，则按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商. 特征：旋转＋伸缩变换． 导入新知1：无人机飞行路径规划 同学们，周末很多同学喜欢玩无人机航拍。假设你操控的无人机初始位置在复平面的点A，对应的复数为z=2(cos30°+isin30°)，现在需要让无人机完成两个动作：第一步，绕起飞点逆时针旋转60°，同时飞行距离变为原来的1.5倍；第二步，再绕当前位置顺时针旋转45°，飞行距离变为当前的2/3倍。大家思考一下：这两个动作对应的复数运算应该是什么？如何通过复数计算得出无人机最终的位置对应的复数？如果用复数代数形式计算，需要先转化为代数形式再运算，步骤繁琐且无法直观体现旋转和伸缩的过程。有没有更简洁的方式，能直接通过复数的某种表示形式，把旋转、伸缩与运算对应起来？今天我们就来探究复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，解开无人机飞行路径背后的数学奥秘。 1. 无人机初始位置对应的复数为z=2(cos30°+isin30°)，这种表示形式中，数字2和30°分别对应复数的什么特征？ 2. 第一步“逆时针旋转60°、距离变为原来的1.5倍”，这个动作对应的复数运算应该是什么？为什么？ 3. 第二步“顺时针旋转45°、距离变为当前的2/3倍”，与第一步运算相比，有什么不同？该如何表示对应的复数运算？ 4. 为什么用复数代数形式计算无人机飞行路径步骤繁琐，而复数的三角表示能更简洁地解决这类旋转、伸缩问题？ 设计意图 1. 贴近生活实际：无人机飞行是当下学生熟悉且感兴趣的场景，旋转、伸缩的动作与复数乘除运算的几何意义高度契合，能让抽象的数学知识具象化。 2. 紧扣核心内容：引入中明确涉及复数的旋转、伸缩变换，直接指向本节课的核心——复数乘除运算的三角表示及几何意义，实现对整节课内容的统领。 3. 激发求知欲：通过提出“如何简洁计算无人机最终位置”的问题，暴露复数代数形式运算在处理旋转、伸缩问题时的局限性，引发学生对新运算形式的需求，从而主动探究复数三角形式的乘除运算。 导入新知2：时钟指针的旋转与复数对应 我们每天都会用到时钟，假设把时钟的表盘看作复平面，原点在表盘中心，12点方向为实轴正方向，时钟的指针长度为复数的模，指针与12点方向的夹角为复数的辐角。已知时针当前指向3点，对应的复数为z1=1(cos90°+isin90°)（指针长度设为1）；分针当前指向6点，对应的复数为z2=1.5(cos180°+isin180°)（指针长度设为1.5）。现在有两个问题：① 如果让时针绕中心逆时针旋转60°（即前进2小时），同时指针长度变为原来的2倍，新的指针对应的复数是什么？② 如果想让分针的指针方向调整为与时针旋转后的方向一致，且长度变为时针旋转后长度的1/2，需要对分针对应的复数进行怎样的运算？这些指针的旋转、长度变化，其实都可以通过复数的运算来实现。之前我们学习的复数代数形式运算很难直接体现这种旋转和伸缩关系，而复数的三角表示恰好能解决这个问题。今天我们就一起来学习复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，揭开时钟指针与复数运算之间的联系。 1. 时针对应复数z1=1(cos90°+isin90°)，其中数字1和90°分别对应复数的什么特征？结合时钟场景说明理由。 2. 时针绕中心逆时针旋转60°、长度变为原来的2倍，这个动作对应的复数运算是什么？为什么这样运算能实现旋转和伸缩效果？ 3. 要让分针方向与时针旋转后一致、长度变为其1/2，需对z2=1.5(cos180°+isin180°)进行怎样的复数运算？请说明依据。 4. 为什么复数代数形式难以体现指针的旋转和伸缩关系，而复数的三角表示能精准对应这类运算？ 设计意图 1. 贴近生活实际：时钟是学生日常生活中不可或缺的物品，指针的旋转、长度变化（可类比模的伸缩）是学生直观可感的现象，容易引发学生的共鸣。 1. 统领课程内容：引入中的两个问题分别对应复数乘法（旋转+伸长）和除法（旋转+缩短）的几何意义，精准覆盖本节课的核心知识点，让学生明确本节课的学习目标。 1. 勾起求知欲：通过时钟指针的具体问题，让学生发现现有知识（复数代数形式运算）的不足，激发学生探究新的复数运算形式（三角形式乘除）的兴趣，同时让学生体会数学在生活中的应用价值，增强学习的主动性。 探究点1：复数乘法运算的三角表示及其几何意义 引言:在7.2节中,我们研究了复数代数形式的四则运算,上节课又学习了复数的另一种重要的表示形式—三角形式，很自然地，我们想知道复数的四则运算是否能用三角形式表示?下面我们就一起来研究这个问题. 前面，我们研究了复数代数形式的乘、除运算，下面我们利用复数的三角表示研究复数的乘、除运算及其几何意义. (1) 知识回顾 问题1:我们知道,复数可以进行加、减、乘、除运算，请回忆一下，复数的代数形式的加法和乘法运算的法则是什么? 活动：学生回忆后回答： 设则 【设计意图】复数加法、乘法运算的法则是研究复数加法、乘法运算三角表示的出发点，提出这个问题，激活学生已有的认知基础，为本节课研究复数乘法运算的三角表示进行铺垫. 探究点2：复数除法运算的三角表示及其几何意义 问题2:上节课，我们学习了复数的一种新的表示法—三角形式，那么复数加法、乘法运算是否能用三角形式来表示呢? 追问（1）：如果把复数分别写成三角形式你能计算和并将结果分别表示成三角形式吗? 思考 如果把复数z1，z2分别写成三角形式, ,你能计算并将结果表示成三角形式吗? 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 = = 即 师生活动：师生充分自主探究讨论后得出：一般来说复数的加法不便表示成三角形式；复数乘法能表示成三角形式，其三角表示公式为 教师板书复数乘法三角形式公式. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 追问（2）：复数的减法运算是加法运算的逆运算，复数的减法运算能否用三角形式来表示? 师生活动：教师引导学生加减运算的关系得出：复数的减法是加法的逆运算，类比加法运算可知：复数减法不便表示成三角形式. 【设计意图】引导学生独立思考，自主探究，侧重经历复数乘法的三角表示公式的得出的过程，从中进一步体会复数与三角之间的紧密联系. 问题3:你能用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式吗? 师生活动：学生回答，教师补充完善，得出：两个复数相乘积，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，可以简述为：“模相乘，辐角相加”. 【设计意图】培养学生的语言表达能力，帮助学生进一步加深对复数乘法运算三角表示的理解. 问题4:我们知道复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法很可能也具有几何意义，请用复数乘法运算的三角表示进行探索、尝试. 探究 由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？ 两个复数相乘时，可以像图7.3-6那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量，然后把向量绕点О按逆时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点О按顺时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这是复数乘法的几何意义。 师生活动：学生用纸笔画出草图，分组讨论交流.教师借助信息工具画出图像，师生一起归纳出复数乘法运算三角表示的几何意义. 【设计意图】让学生借助图形进行分析，探究得出复数乘法运算三角表示的几何意义，体会数形结合思想，同时培养学生自主学习能力和合作意识. 例3 已知求请把结果化为代数形式，并作出几何解释. 解： 首先作与对应的向量，，然后把向量绕点О按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量(图7.3-7). 即为积所对应的向量. 【变式】 . 【答案】 【知识点】复数的三角表示 【解析】先将代数形式的复数，以及非标准三角形式的复数，都化为标准三角形式，再用除法法则计算. 【详解】 = 故答案为： . 【点睛】本题考查复数三角形式的除法法则，属基础题，本题中需要将代数形式的复数，以及非标准三角形式的复数化为标准三角形式. 探究点3：复数乘、除运算几何意义的综合应用 例4如图7.3-8，向量对应的复数为，把绕点О按逆时针方向旋转120°，得到.求向量对应的复数（用代数形式表示). 分析:根据复数乘法的几何意义，向量对应的复数是复数与的积，其中复数的模是1，辐角的主值是120°. 解:向量对应的复数为 设，，且，因为 所以根据复数除法的定义，有 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角所得的差. 【变式】把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式和它的辐角分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】复数的坐标表示、复数的三角表示 【分析】由题意可知，，求出，再求出所对应的坐标，可得辐角. 【详解】由题意可知， 又， 则 ， 可知对应的坐标为，则它的辐角主值为， 故可以作为复数的辐角的是，， 当时，. 故选：BD. 问题5：你能解释和的几何意义吗？ 师生活动：学生思考并陈述结论，教师归纳总结：可以写成，其几何意义是“将对应的向量绕点按照逆时针方向旋转，得到对应的向量”；可以写成，其几何意义是“将对应的向量绕点按照逆时针方向旋转，得到对应的向量”. 【设计意图】让学生利用复数乘法运算的几何意义，进一步理解熟悉的乘法运算的基本结论. (2) 复数除法运算的三角表示及其几何意义的探究及其应用 问题6:除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗?你能用文字语言加以表述吗? 师生活动：师生充分自主探究讨论后得出：复数除法能表示成三角形式，其三角表示公式为 教师板书复数除法三角形式公式，文字表述为：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数辐角所得的差. 【设计意图】在复数乘法的基础上，引导学生借助已有的知识和运算技巧推导复数除法的三角表示，体会转化与化归和类比的数学思想，提升数学运算素养. 问题7:类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的几何意义吗? 师生活动：教师引导进而由学生自己画图并观察图形，得出复数除法运算的几何意义，教师借助信息技术演示. 【设计意图】通过除法三角表示的几何意义的自主探究，让学生进一步感受乘法和除法相互转化的关系，感受向量与复数之间的联系，同时感受数形结合、化归与转化思想在研究数学问题中的作用. 问题8:如果复数对应的向量，绕点按照逆时针方向旋转，模不变，所对应的新复数是什么? 师生活动：学生思考、讨论后回答：对应的新复数是 追问（1）：若按顺时针方向旋转呢? 师生活动：学生思考口答：新复数是 追问（2）：若模伸长或者缩短倍呢? 师生活动：学生思考回答，教师借助信息技术演示，帮助学生理解.教师总结：利用复数的乘法和除法运算的几何意义，可以把平面向量的旋转和伸缩问题转化为复数的乘、除运算问题；反之亦然. 【设计意图】让学生思考复数乘、除运算几何意义的反向应用，培养逆向思维能力，进一步感受平面向量与复数之间可以相互转化的关系. 例5 计算并把结果化为代数形式. 解：原式= 【变式】计算下列各式，并作出几何解释： (1) (2). 【答案】(1)，几何解释见解析 (2)，几何解释见解析 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、复数的三角形式 【分析】根据复数乘除法运算法则，即可求值，应用三角形式的几何意义，即可解释运算结果. 【详解】（1）原式 . 几何解释：设，作与对应的向量， 然后把向量绕原点按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的， 得到一个长度为，辐角为的向量， 则即为所对应的向量. （2）原式 . 几何解释：设， 作与对应的向量，然后把向量 绕原点按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的， 得到一个长度为，辐角为的向量， 则即为所对应的向量. 1.（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】求复数的模、三角表示下复数的乘方与开方、复数范围内方程的根 【分析】由题设新定义得，再应用乘方运算得，且，即可得. 【详解】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D 2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】根据题设的表达式求出的表达式，再代入选项逐一检验即得. 【详解】因，则， 对于A，，故A项正确； 对于B， ，故B项错误； 对于C，，故C项错误； 对于D，由B项知，，故D项错误. 故选：A. 3.（2025高三·全国·专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算 ． 【答案】 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】根据，即可根据棣莫弗定理求解. 【详解】因为， 所以 ， 故答案为：． 4.（2024高一下·全国·专题练习）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是 ． 【答案】 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】根据棣莫弗公式直接计算即可. 【详解】因为，由棣莫弗公式可得： . 故答案为：. 5.（多选题）（25-26高三上·湖南长沙·月考）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．若或，则 C． D．当，且为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AB 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算 【分析】根据棣莫弗定理，结合三角函数知识，及共轭复数，纯虚数的概念逐项验证可得答案. 【详解】选项A：当时，由棣莫弗定理得，， 所以，所以选项A正确； 选项B显然有，由棣莫弗定理得，，所以选项B正确； 选项C ，所以选项C错误； 选项D：当时，由棣莫弗定理得，， 当时，，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数，所以选项D错误． 故选：AB 6.（多选题）（24-25高三上·黑龙江·月考）设复数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则或 D．若，则 【答案】ABC 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数的基本概念、复数乘、除运算的三角表示 【分析】A选项，方法一：计算出，进而得到，再计算出，得到；方法二：设，计算出；B选项，分别计算出； C选项，方法一：计算出，从而得到，，所以或或；方法二：设，由得到或，故C正确；D选项，举出反例即可. 【详解】A选项，方法一： ， ， 又 ， 方法二：设， 则， 故， 又，故，故A正确； B选项，， ， ， ∴，故B正确； C选项，方法一：， ，， 将①式两边乘以得，代入②式得或， 或或； 方法二：设， 且不恒等于0， ，即或，故C正确； D选项，当时，，但虚数与不能比较大小，故D不正确. 故选：ABC 7.（23-24高一下·福建莆田·期中）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为 ． 【答案】 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】结合复数定义，借助所给公式计算即可得. 【详解】， 故其虚部为. 故答案为：. 8.（25-26高三上·浙江温州·期末）已知复数，，其中为虚数单位，则 ． 【答案】 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据已知条件，运用复数三角形式乘法法则即可求解． 【详解】由复数三角形式乘法法则得到:. 故答案为：. 9.（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转 得到（填最小正角）． 【答案】/90° 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的坐标表示 【分析】利用复数的三角形式的几何意义，设旋转角为，根据复数相等列出方程，求解即得. 【详解】因，则， 设将向量按逆时针方向旋转角，可得到复数对应的向量， 则由，化简得：， 故有，解得，故得， 依题意求最小正角，则. 故答案为：. 10.（2025高一·全国·专题练习）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式是 ，辐角的主值是 ． 【答案】 / 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的三角形式 【分析】利用复数旋转的乘法公式，根据与旋转后的结果相等及的代数形式列等式，即可求得的代数形式，再求其辐射角主值即可. 【详解】由题意可知， 又， 则 ， 可知对应的坐标为，则它的辐角主值为. 故答案为：；. 1.（2023·广东·模拟预测）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、复数的乘方 【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】依题意知，， 由棣莫弗公式，得， 所以. 故选：C. 2.（24-25高一下·福建泉州·月考）在复平面的上半平面内有一个菱形，，点所对应的复数是，则点所对应的复数为 . 【答案】 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的坐标表示 【分析】分析可知，设点、对应的复数分别为、，利用复数三角形式乘法的几何意义得出，结合复数的乘法可得结果. 【详解】因为菱形在复平面的上半平面，且， 由复数的几何意义可得，故菱形位置只能如图，且，， 记点、对应的复数分别为、， 由复数三角形式乘法的几何意义 . 故点所对应的复数是. 故答案为：. 3.（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4096 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、复数的三角表示 【分析】（1）利用复数三角形式的乘方运算法则计算即得； （2）将幂的底数化成三角形式，再利用复数三角形式的乘方运算法则计算即得. 【详解】（1）． （2）． 4.（2024高一下·全国·专题练习）计算下列各式，并用三角形式表示： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据复数三角形式的乘法公式和乘方公式计算即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式. 1.知识清单： (1) 复数三角形式的乘法公式：z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，文字表述“模相乘，辐角相加”。 (2) 复数三角形式的除法公式：z1z2=r1r2[cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)]（z2≠0），文字表述“模相除，辐角相减”。 (3) 复数乘法的几何意义：向量的旋转（逆时针或顺时针）与模的伸长（或缩短）。 (4) 复数除法的几何意义：向量的旋转（顺时针或逆时针）与模的缩短（或伸长）。 (5) 棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)（n∈N∗）。 2.方法归纳： (1) 复数三角形式运算的核心是“模与辐角分别运算”，运算前需将复数化为标准三角形式。 (2) 复数与复平面内向量一一对应，复数乘、除运算可转化为向量的旋转与伸缩变换，体现数形结合思想。 (3) 推导公式时，类比复数代数形式运算、三角函数公式，运用化归与转化思想。 3.常见误区： (1) 混淆辐角的旋转方向，逆时针旋转对应辐角相加，顺时针旋转对应辐角相减。 (2) 未将复数化为标准三角形式就进行运算，导致结果错误。 (3) 忽略辐角的取值范围，未取主值或取值错误。 (4) 运算结果未根据要求化为代数形式，或几何解释不完整。 4.知识拓展： 复数的代数形式适合加法、减法运算，三角形式适合乘法、除法、乘方运算，解题时可根据运算类型灵活选择复数的表示形式。 教科书习题7.3第3，4，5，6，8题. 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 练习：（第89页） 1. 计算： （1） （2） （3） （4） 【解析】【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 【小问4详解】 . 2.计算： （1） （2） （3） （4） 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 另解 第（3）题还可以这样解： 原式 . 第（4）题还可以这样解： 原式 . 3.在复平面内，把与复数对应的向量绕原点О按顺时针方向旋转60°，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）. 【解析】， 对应向量绕原点O按顺时针方向旋转， 所对应的复数为. 习题7.3（第8990页） 复习巩固 1. 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： （1）6； （2） (3) (4) 解:(1)6对应的向量如答图(1)中 ∵ (2)1+i对应的向量如答图(2)中 , 又 (3)对应的向量如答图(3)中， 又 (4) 对应的向量如答图(4)中， ∵r =1, , 又θ∈[0,2π), 2.把下列复数表示成代数形式： （1） （2） （3） （4） 解:(1)原式= ；(2)原式= ； (3)原式=； (4)原式=6 3.计算： （1）（2） （3）（4） 解:(1)原式= (2)原式= (3)原式 (4)原式 4.计算下列各式，并作出几何解释： （1） （2） （3） （4） 解:(1)原式= 几何解释:设 , 作与对应的向量, 然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转, 再将其长度伸长为原来的倍 , 得到一个长度为4 , 辐角为π的向量， 则即为积所对应的向量 . (2)原式 几何解释:设 , 作与 对应的向量,然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转315°,再将其长度缩短为原来的得到一个长度为辐角为30°的向量, 则即为积 所对应的向量 . (3)原式 几何解释: ， 作与对应的向量，然后把向量绕原点O按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的 , 得到一个长度为, 辐角为的向量,则 即为所对应的向量 . (4)原式 几何解释:设 作与对应的向量然后把向量绕原点O按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为的向量，则即为所对应的向量 . 综合运用 5.（1）求证： （2）写出下列复数的倒数的模与辐角： (1)证法1:左边=右边 . 证法 2 : =1, ， ∴原等式成立。 (2)解:时, , 的模为，辐角为. 时, ∴的模为 1 , 辐角为 时 , ， ∴的模为1,辐角为 ， 6.求证： （1） （2） 证明:(1)左边==右边 ∴原等式成立 . (2)左边=== ∴原等式成立 . 7.化简： （1） （2） 解:(1)原式= (2)原式 8.设对应的向量为,将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）. 解:将绕点O按逆时针方向旋转 45°所得向量对应的复数为 将 绕点O按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为 拓广探索 9.如下页图，复平面内的△ABC是等边三角形，它的两个顶点A,B的坐标分别是（1,0）,(2,1),求点C的坐标. 解:将原点O平移至A点,建立平面直角坐标系xAy ′,则∴ 将绕点A顺时针方向旋转 得 = ∴在原平面直角坐标系xOy中,点C坐标为，即 10.如下页图，已知平面内并列的三个全等的正方形，利用复数证明： 证明：如图∠1=∠DOC,∠2=∠FOE，∠3=∠HOG 设正方形边长为1,则|, ∴对应的复数为 对应的复数为 , 对应的复数为， 则 ∴ 又∵， ∴ .即. 1. 本节课公式推导和几何意义探究难度较大，教学中应充分发挥学生的主体作用，通过问题链引导学生自主思考、合作探究，教师适时点拨，帮助学生突破难点。 1. 注重数形结合思想的渗透，多借助图形、多媒体课件等直观手段，展示复数运算与向量变换的关系，帮助学生理解几何意义。 1. 加强题型训练，通过不同形式的练习题，让学生熟练掌握运算方法和几何意义的应用，同时注意总结解题规律和易错点。 1. 引导学生对比复数代数形式与三角形式的运算优势，形成系统的知识体系，为后续学习奠定基础。 学科网（北京）股份有限公司 $