7.3.1复数的三角表示式（教学设计) 数学人教A版必修第二册

7.3.1复数的三角表示式　 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第二册第七章“复数”中的7.3.1节“复数的三角表示式”。内容包括：基于复数的几何意义，理解复数的辐角与辐角主值的概念；掌握复数的三角表示式的定义及特征；熟练进行复数代数形式与三角形式的互化；了解复数三角形式乘除运算的基本法则及几何意义；通过实例与练习巩固知识应用。 内容解析 本节是复数知识体系的重要延伸，是在学生学习了复数的代数形式、四则运算及几何意义、平面向量和三角函数等知识后的关键内容。其核心是借助几何直观与三角函数工具，构建复数的另一种表示形式，为复数的乘方、开方等复杂运算提供简便方法，体现“数形结合”与“转化与化归”的数学思想。 从知识关联看，复数的三角表示式搭建了复数与三角函数、平面向量之间的桥梁，既丰富了复数的表示方法，又为后续学习复数三角形式的乘除法运算奠定基础，是提升数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养的重要载体。 从学习意义看，通过探究复数代数形式与三角形式的内在联系，学生能多角度认识复数的本质，掌握“几何意义分析—概念构建—形式转化—应用拓展”的知识形成过程，提升逻辑推理与数学运算能力，为解决更复杂的数学问题提供工具支持。 教学目标 1. 理解复数的辐角、辐角主值的定义，能准确判断复数辐角所在象限并求出辐角主值。 2. 掌握复数三角表示式的结构特征，能熟练进行复数代数形式与三角形式的互化。 3. 了解复数三角形式乘除运算的法则及几何意义，能解决简单的乘除运算问题。 4. 经历复数三角表示式的探究过程，体会数形结合、转化与化归的数学思想，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。 目标解析 1. 能准确阐述复数辐角的定义，明确非零复数辐角的无限性及辐角主值的取值范围（0≤arg z<2π），能根据复数对应的复平面内点的位置确定辐角主值。 2. 能辨析复数三角表示式（r(cosθ+isinθ)）的四个特征（模非负、加号连接、cos在前sin在后、角相同），熟练运用公式r=√(a²+b²)、a=rcosθ、b=rsinθ进行代数形式与三角形式的互化。 3. 能复述复数三角形式乘法（模相乘、辐角相加）与除法（模相除、辐角相减）的法则，能结合几何意义解释运算结果，解决简单的运算问题。 4. 能完整描述复数三角表示式的探究过程，在形式转化与运算中主动运用数形结合思想，提升分析问题、解决问题的能力。 达成上述目标的标志是： 5. 能准确求出给定复数的辐角主值，如arg1=0、argi=π/2等。 6. 能规范完成复数代数形式与三角形式的互化，且结果正确。 7. 能运用三角形式的乘除法则进行简单运算，并能画出对应的向量图形。 8. 能独立完成基础练习题，在变式训练中准确辨析易错点，如三角形式的判断、辐角象限的确定等。 本节内容是在学生已掌握复数代数形式、几何意义、三角函数基本概念及平面向量相关知识的基础上展开的。学生具备一定的数形结合思维和逻辑推理能力，对“用不同形式表示同一数学对象”有一定的认知基础，如实数的不同表示形式、函数的不同表达式等，因此对复数三角表示式的学习具有一定的接受能力。 但本节内容也存在一些学习难点：一是对辐角与辐角主值的概念区分和理解，学生容易混淆辐角的无限性与主值的唯一性；二是由代数形式转化为三角形式时，辐角主值的确定需要结合三角函数值和点所在象限，对学生的象限角知识和逻辑推理能力要求较高；三是复数三角形式的结构特征辨析，学生容易忽略“模非负” “加号连接”等关键条件。 本节内容所涉及的主要数学核心素养有：数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等。虽然本节为选学内容，不作考试要求，但对于学生完整掌握复数知识体系、提升数学素养具有重要意义，学生通过主动探究和练习能够较好地掌握相关内容。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：1. 复数的三角表示式的定义及特征；2. 复数代数形式与三角形式的互化。教学难点：1. 复数辐角与辐角主值的理解与确定；2. 三角形式转化中辐角主值的求解及三角形式的辨析。 知识点一　复数的三角形式 　(1)定义：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角.r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． (2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍． 知识点二　辐角的主值 (1)定义及表示：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg__z，即0≤arg__z<2π． (2)唯一性：每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定． (3)复数相等：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． [注意]　z＝0时，其辐角是任意的． 导入新知1：导航软件中的“方向与距离”——复数的另一种表达 同学们，平时出行用导航软件时，会不会注意到这样的提示：“前方500米，向东偏北30°行驶”？这里的“500米”是距离，“东偏北30°”是方向，两个信息结合就能精准确定行驶路径。其实在数学世界里，复数也有类似的“双重属性”——我们已经知道复数z=a+bi可以用复平面内的点(a,b)表示，这就像导航里的“坐标定位”；而向量除了坐标，还能通过“模（距离）”和“方向角”来描述。那复数能不能像导航定位一样，用“模”和“方向角”来表示呢？比如复数1+√3i，它对应的点在第一象限，模长是2，方向角是60°，如果用这两个数据来表示它，会不会比代数形式更直观？而且用这种“模+方向”的形式进行复数乘法时，会不会像导航调整路线一样简单，不用再展开繁琐的多项式运算？今天我们就来探索这种新的表示方法——复数的三角表示式，看看它如何让复数运算“导航”更高效，掌握复数三角表示的核心方法及其运算优势。 1. 导航中“距离+方向”能精准定位路径，结合复数的双重属性，复数为什么能用“模（距离）”和“方向角”来表示？ 2. 复数1+√3i对应的点在第一象限，其模长为2、方向角为60°，模长和方向角分别该如何计算得出？ 3. 相较于复数z=a+bi的代数形式，“模+方向”的三角表示式，在描述复平面内的复数时，优势体现在哪里？ 4. 用复数的三角表示式进行乘法运算，为什么能简化多项式展开的繁琐步骤，让运算更高效？ 设计意图 1. 贴近生活实际：以学生熟悉的导航软件为切入点，将抽象的复数概念与“距离+方向”的生活场景关联，降低概念理解门槛，让学生感受到数学与生活的紧密联系。 1. 串联核心知识：通过“导航的距离与方向”类比复数的“模与辐角”，自然引出辐角、三角表示式的核心概念，同时暗示三角形式在运算中的优势，为后续乘除运算的几何意义铺垫。 1. 激发求知欲：通过连续提问“能不能用模和方向表示复数” “运算会不会更简单”，引发学生对新表示形式的好奇，驱动学生主动探究复数代数形式与三角形式的转化关系。 导入新知2：钟表指针的“旋转与缩放”——复数运算的几何密码 大家每天都会看钟表，钟表的指针不仅能告诉我们时间，还藏着数学规律呢！比如时针从12点转到3点，是绕着表盘中心逆时针旋转了90°；如果把指针长度拉长到原来的2倍，再旋转60°，指针指向的位置就完全变了。其实，复数在复平面内对应的向量，就像钟表的指针——有长度（模），有方向（辐角）。我们已经学过复数的代数形式z=a+bi，计算(2+2i)(√3+i)时，需要展开计算：(2√3 - 2) + (2 + 2√3)i，步骤很繁琐。但如果把这两个复数看成“指针”：第一个复数的模是2√2，方向角45°；第二个复数的模是2，方向角30°。那把两个“指针”结合起来，是不是可以先把模长相乘（2√2×2=4√2），再把方向角相加（45°+30°=75°），就能直接得到结果的模和方向？这种“模相乘、辐角相加”的运算方式，是不是比代数形式简便得多？而这种运算的前提，是需要用“模+辐角”来表示复数——这就是我们今天要学习的复数的三角表示式。它就像解锁复数运算的“几何密码”，让我们从图形角度理解复数运算的本质，掌握复数三角表示的方法及其运算优势。 1. 钟表指针的“旋转”和“缩放”，分别对应复数在复平面内向量的什么特征？为什么说复数对应向量和钟表指针很相似？ 2. 复数(2+2i)的模是2√2、方向角45°，复数(√3+i)的模是2、方向角30°，它们的模和方向角分别是如何计算得出的？ 3. 计算(2+2i)(√3+i)时，“模相乘、辐角相加”的方式为什么比代数形式展开计算更简便？ 4. 复数的三角表示式作为解锁复数运算的“几何密码”，其核心优势的是能让我们从什么角度理解复数运算的本质？ 设计意图 1. 生活化具象化：以钟表指针的旋转、缩放为载体，将复数的模对应指针长度，辐角对应指针旋转角度，把抽象的复数几何意义转化为可感知的生活现象，帮助学生建立直观认知。 1. 统领整节课核心：既引出了“模” “辐角”的概念，又提前暗示了三角形式乘除运算的核心法则（模乘除、辐角加减），同时通过对比代数形式运算的繁琐，凸显三角表示式的实用价值，贯穿“概念构建—形式转化—应用拓展”的整节课逻辑。 1. 激发探究兴趣：通过“指针结合运算”的猜想，让学生产生“这种方法是否可行”的疑问，进而主动参与到三角表示式的推导、互化及运算探究中，培养学生的逻辑推理与数学运算素养。 1.旧知导入 问题1：你还记得复数的几何意义吗？ 【设计意图】设置问题情境，回顾旧知，激发学生学习兴趣，并引出本节新课 前面我们研究了复数及其四则运算，本节研究复数的另一种重要表示——复数的三角表示.它可以帮助我们进一步认识复数，同时能给复数的运算带来便利。 问题2：我们知道，向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？ 我们知道，复数可以用的形式来表示，复数与复平面内的点是一一对应的，与平面向量也是一一对应的。借助复数的几何意义，复数能不能用其他形式来表示呢？ 【设计意图】弄清向量的大小与方向的表示，为得出复数的三角表示式做铺垫 探究 如图7.3-1，复数与向量一一对应，复数z由向量的坐标唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？ 向量的大小可以用模来刻画，那么向量的方向如何刻画呢？由图7.3-1容易想到，可以借助以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角θ来刻画的方向. 思考 问题3：你能用向量的模和角θ来表示复数z吗？ 记向量的模，由图7.3-1可以得到 其中 【设计意图】找出复数实部、虚部与向量的模、角的联系 问题4：当在实轴上时，这个结论成立吗？在虚轴上呢？ 由此可得，在实轴上这个结论成立，同理可证得，在虚轴上也成立。 【设计意图】引导学生思考问题要全面，培养学生全面思考的能力以及严谨的逻辑思维能力。 这样，我们就用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ表示了复数z 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式。其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ)为终边的角，叫做复数的辐角(argumentofacomplexnumber).叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开，叫做复数的代数形式，简称代数形式. 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．例如，复数i的辐角是，其中k可以取任何整数.对于复数0,因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在范围内的辐角θ的值为辐角的主值(principalvalueofanargument).通常记作argz:即.例如，arg1=0，， 复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化. 例1画出向量复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： （1）（2）. 分析:只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式. 解:(1)复数对应的向量如图7.3-2所示，则 因为与对应的点在第一象限，所以 于是 （2）复数1-i对应的向量如图7.3-3所示， 则 因为与对应的点在第四象限，所以 当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角θ不一定取主值，例如也是的三角形式. 【变式】复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示、复数的三角形式 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【详解】， 故选：C. 例2分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式: （1）（2） 解:(1)复数的模r=1,一个辐角，对应的向量如图7.3-4所示.所以 (2)复数的模r=6，一个辐角，对应的向量如图7.3-5所示.所以 【变式】设(其中为虚数单位)，则的共轭复数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算 【分析】首先利用诱导公式将复数化简，再根据复数代数形式的乘法运算，以及二倍角公式化简复数，即可求出其共轭复数； 【详解】解：因为 所以 所以的共轭复数是， 故选：C 1.（2025高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的三角表示 【分析】根据欧拉公式写出复数的代数形式，进而确定对应点，即可得答案. 【详解】由题可得， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B 2.（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【详解】， 所以辐角的主值为. 故选：A 3.（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【知识点】复数的三角形式、复数的三角表示、复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【详解】， 故选：C. 4.（24-25高二上·云南昭通·期中）棣莫佛定理：若复数，则，计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】变形得出，再由棣莫佛定理可求得的值. 【详解】因为， 所以，. 故选：A. 5.（23-24高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的三角表示、求复数的实部与虚部 【分析】根据题意化简即可得解. 【详解】根据题意，由， 可得 . 故虚部为. 故选：C 6.（23-24高一下·福建泉州·月考）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据复数的辐角主值的定义进行求解. 【详解】因为， 所以的辐角主值为. 故选：C 7.（2024高一下·全国·专题练习）计算的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据题意，结合复数三角形式的运算，即可求解. 【详解】由复数的运算性质，可得 . 故选：A. 8.（2024高一下·全国·专题练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的三角表示、复数的乘方 【分析】根据复数的四则运算求解即可. 【详解】， 由于， 所以， . 故选：A. 9.（2024高一下·全国·专题练习）复数的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式、复数的三角表示 【分析】根据辐角主值的定义求解. 【详解】 . ∵，∴，， ∴. ∵辐角的主值的取值范围为， ∴复数z的辐角的主值为. 故选：C. 10.（2023高一下·上海·专题练习）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据给定条件，利用复数三角形式的意义求解即得. 【详解】，故B正确； 经检验，ACD都错误. 故选：B 1.（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的三角表示、复数的坐标表示 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转后对应的复数为. 【详解】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A. 2.（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【知识点】复数的三角表示 【分析】把代入欧拉公式即可。 【详解】. 故选：B 3.（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、判断复数对应的点所在的象限 【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案. 【详解】， 在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故选：B. 4.（多选题）（24-25高一下·江西·月考）任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】复数的三角表示 【详解】根据棣莫弗定理可得的一般形式，求出、可得答案. 【分析】设，其中，则， 所以，而，则， 故即，故， 故B，D正确，A，C错误. 故选：BD. · 知识清单： (1) 核心概念：辐角、辐角主值（0≤arg z<2π）、复数的三角表示式（r(cosθ+isinθ)）； (2) 关键技能：代数形式与三角形式的互化（求模、定象限、找辐角）、三角形式的乘除运算（模乘除、辐角加减）； (3) 几何意义：三角形式与向量的模、方向对应，乘除运算对应向量的旋转与伸缩。 · 方法归纳： (1) 数形结合：借助复平面、向量图形理解辐角和三角形式； (2) 转化与化归：将三角形式与代数形式相互转化，将复杂运算转化为简单的模和辐角运算； (3) 分步求解：互化时遵循“求模—定象限—找辐角—写形式”的步骤，确保结果准确。 · 常见误区： (1) 三角形式辨析错误，忽略“模非负、加号连接、角相同”等特征； (2) 辐角主值确定错误，未结合点所在象限判断三角函数值对应的角； (3) 运算时辐角未正确进行加减或范围调整。 【设计意图】梳理本节课核心知识与方法，帮助学生构建知识体系，明确易错点，提升归纳总结能力。 1.教材第89页习题7.3第1.2题.通过分层作业使布置作业题). 2.教材第89页习题7.3第5题(选做学生独立完成. 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。练习(第86页) 1.把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量： （1）4；（2）-i；（3）（4） 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 分别对应向量，如图所示. 2.下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）（2） （3）（4） （5） 【解析】（1）中间是“-“号，不是三角形式. ； （2）括号前面是负数，不是三角形式， （3）括号内前面是正弦，后面是余弦，不是三角形式，； （4）是三角形式． （5）括号内前后两个角不相等，不是三角形式， 3.把下列复数表示成代数形式： （1）（2） 【解析】解：（1）； （2）. 【点睛】本题考查复数的代数形式，由三角形式化为代数形式，只要计算出三角函数值，化为形式． 1. 注重几何直观：充分利用复平面图形、向量模型，帮助学生理解辐角、三角形式的几何意义，突破抽象概念的理解难点。 2. 强化概念辨析：通过对比练习，让学生准确区分辐角与辐角主值、三角形式与代数形式，明确三角形式的结构特征。 3. 规范解题步骤：在互化和运算教学中，强调分步求解的过程，培养学生严谨的逻辑思维和规范的解题习惯。 4. 关注个体差异：对于辐角主值确定困难的学生，可通过特殊角实例反复练习，结合三角函数象限符号帮助理解；对于能力较强的学生，可适当拓展棣莫弗公式和开方运算，提升知识深度。 学科网（北京）股份有限公司 $