【新教材】7.3.1　复数的三角表示式 学案-吉林省长春市第八中学高中数学人教A版（2019版）必修第二册

 

7.3.1　复数的三角表示式

【新知初探】

要点一 复数的三角形式

(1)定义：r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．即z＝r(cosθ＋isinθ)，其中|z|＝r，θ为复数z的辐角．

(2)非零复数z辐角θ的多值性：以x轴的非负半轴为始边，向量所在的射线(射线OZ)为        的角θ叫复数z＝a＋bi的         ．

因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z)．

要点二　辐角的主值

(1)定义及表示：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，即0≤argz<2π.

(2)唯一性：复数z的辐角的主值是确定唯一的．

特别注意：z＝0时，其辐角是任意的．

【基础自测】

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)－1＝cosπ＋isinπ.(　　)

(2)2i＝2.(　　)

(3)－3(cos200°＋isin200°)是复数的三角形式．(　　)

2．做一做

(1)将复数z1＝－1＋i表示成三角形式为________．

(2)已知|z|＝2，argz＝，求复数z＝________.

(3)若a<0，则a的三角形式是________．

【题型通关】

题型一  复数的代数形式化为三角形式

例1　把下列复数的代数形式化成三角形式：

(1)＋i；(2)1－i.

 

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练1 把下列复数表示成三角形式．

(1)－2＋2i；(2)2.

 

 

 

 

 

 

 

 

题型二  判断复数三角形式的条件

例2　判断下列各式是否是复数的三角形式，若不是，把它们表示成三角形式．

(1)；(2)－；(3)2；(4)sin＋icos.

 

 

 

 

 

 

跟踪训练2  求复数z＝3的辐角主值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

题型三  复数三角形式化为代数形式

例3　把下列复数表示成代数形式．

(1)4；(2)6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练3 将下列复数的三角形式化成代数形式．

(1)z1＝2；(2)z2＝6(cos60°＋isin60°)．