7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义 （教学课件） 数学人教A版必修第二册

第7章 复数 7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义 人教A版·必修第二册· 学习目标 1.掌握复数代数形式的加、减运算法则，理解并能运用加法交换律、结合律。 2.理解复数加、减法运算的几何意义，能结合复平面内的向量运算解释复数运算。 3.能运用复数加、减运算法则解决简单的运算问题，利用几何意义求复平面内两点距离、复数模的最值等。 4.体验类比实数、向量运算探究复数运算的过程，感受数形结合思想的应用价值，提升数学核心素养。 目录 CATALOG 01.复数代数形式的加、减运算法则 03.题型强化训练 02.复数加、减法的几何意义 04.小结及随堂练习 7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义 01 复数代数形式的加、减运算法则 导入新知1：导航软件中的“路线叠加”问题 同学们，周末我们常常会规划出行路线。假设你从学校出发，先骑共享单车向东北方向行驶，对应复平面内的复数 z1=3+2i（3 代表向东 3 个单位，2 代表向北 2 个单位）；接着换乘地铁，继续向东北方向行驶，对应复数 z2=1+3i。 1. 从学校出发，先行驶复数 z1=3+2i，再行驶复数 z2=1+3i，最终到达位置的复数表示该如何计算？ 2. 结合复平面内复数的几何意义（实部向东、虚部向北），推测复数加法运算的规则可能是什么？ 3. 若终点对应的复数已知，图书馆对应复数 z0=2−1i，如何计算从终点到图书馆需要移动的“复数距离”？ 4. 复数的加、减法运算，在几何上对应复平面内点或向量的什么运动？背后蕴含着怎样的几何奥秘？ 导入新知2：音乐合成中的“声波叠加”问题 大家都喜欢听音乐，其实音乐的本质是不同频率的声波叠加。我们可以将两种简单声波的振动规律用复数表示：低音声波对应复数 z1=2+i（实部代表时间维度，虚部代表振动幅度），高音声波对应复数 z2=1+3i。 1. 低音声波 z1=2+i 与高音声波 z2=1+3i 同时播放，合成后的声波对应的复数该如何计算？ 2. 结合声波的振动规律（实部代表时间、虚部代表幅度），推测复数加法运算与声波叠加的关联是什么？ 3. 从合成声波中分离出低音声波 z1=2+i，相当于复数运算中的什么操作？该如何计算？ 4. 分离后剩余声波对应的复数，其“振动强度”可通过复数模表示，复数的模该如何计算？ 复习旧知 数系扩充的基本规则 复数的基本概念 两个复数相等的含义 复数的分类 形如 (a,b∈R)的数叫做复数，其中 叫做虚数单位. 其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部. = ， 复数 z= 学习新知 在上一节，我们把实数集扩充到了复数集. 引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算.下面就来讨论复数集中的运算问题. 我们规定，复数的加法法则如下∶ 设z1=a + bi，z2= c + di (a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的和为 很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数，特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和. 可以看出，两个复数相加，类似于两个多项式相加. (a + bi) + (c + di )=(a + c)+(b + d)i. 学习新知 若z1，z2复数的加法满足交换律、结合律吗? 【思考】 设z1=a1+b1i， z2=a2+b2i， z3=a3+b3i . 因为 z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i) =(a1+a2)+(b1+b2)i, z2+z1= (a2+b2i) + (a1+b1i) =(a1+a2)+(b1+b2)i, 所以满足（交换律） z1 + z2 = z2 + z1 因为 (z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)=(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i, z1+ (z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i, 所以满足（结合律） (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数加减法的代数运算、判断复数对应的点所在的象限 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知复数的类型求参数、复数加减法的代数运算 学习新知 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应．而我们讨论向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 【探究】 Z O x y 学习新知 类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？ 【探究】 x o y Z1(a,b) Z2(c,d) 这就说明两个向量 与 的差就是与 复数(a-c)+(b-d )i 对应的向量. 设 分别与复数 a+bi，c+di 对应，则 因此， 这就是复数减法的几何意义. 复数的减法可以按照向量的减法来进行 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求复数的实部与虚部、复数的相等、复数加减法的代数运算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 共轭复数的概念及计算、复数加减法的代数运算 学习新知 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量 对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．　　 02 复数加、减法的几何意义 7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义 学习新知 类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗? 【探究】 O x y 例1： 学习新知 【变式】 学习新知 复数加、减运算的法则 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部； (2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求复数的实部与虚部、复数加减法的代数运算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知复数的类型求参数、根据复数的加减运算结果求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求复数的实部与虚部、求复数的模、复数加减法的代数运算 学习新知 例2： 【分析】 学习新知 例2： 学习新知 【变式】 【设计意图】在解题中加深对复数加减运算的理解，形成解题的基本思路：复数与点、向量之间一一对应，利用其几何意义思考问题的解，再反馈给原问题。 学习新知 两个复数差的模的几何意义 (1) |z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式； (2) |z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆； (3) 涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．　　　　 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数的坐标表示、复数加减法几何意义的运用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 与复数模相关的轨迹（图形）问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数加减法的代数运算、根据复数的坐标写出对应的复数 03 题型强化训练 7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义 能力提升 题型一、复数的加、减运算 能力提升 【反思感悟】1.复数加、减运算的解题思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)． 2.复数加、减运算的法则 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部； (2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．　　 题型一、复数的加、减运算 能力提升 题型二、复数加、减运算的几何意义 能力提升 【反思感悟】1.复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的． (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变． 2.运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数).　 题型二、复数加、减运算的几何意义 能力提升 【反思感悟】3.方法技巧 (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算． (2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能． 题型二、复数加、减运算的几何意义 能力提升 题型三、复数加、减运算的几何意义的应用 能力提升 【感悟提升】1.复数的加、减法运算几何意义的解题技巧 在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则 ①四边形OACB为平行四边形； ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形； ③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形； ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． 题型三、复数加、减运算的几何意义的应用 能力提升 【感悟提升】2.两个复数差的模的几何意义 (1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． (2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆． (3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 题型三、复数加、减运算的几何意义的应用 04 小结及随堂练习 7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义 课堂总结1 1．知识清单： (1) 复数代数形式的加、减运算法则． (2) 复数加、减法的几何意义． (3) 复数模的综合问题． 2．方法归纳：类比、数形结合． 3．常见误区：忽略模的几何意义． 课堂总结2 复数的加法 复数的减法 复数的加减法的运算律 复数的加减法的几何意义 …… 复数的加减法可以按照向量的加减法来进行 (a + bi) + (c + di ) =(a + c)+(b + d)i. (a + bi)-(c + di) = (a - c)+(b - d) i. 与多项式的加减法运算律类似 课堂总结2 作业 1.教材第80页习题7.2第1,2题. 2.教材第81页习题7.2第5题(选做题). 7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义 练习（第77页） O x y Z 3．证明复数的加法满足交换律、结合律． 3．证明复数的加法满足交换律、结合律． 人教A版·必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 1.设复数 ， ，则 在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】因为，，则， 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 2. 若 ， ，复数 所对应的点在实轴上，则实数 等于（   ） A． B．2 C． D．1 【详解】，，， 又所对应的点在实轴上，，． 故选：C 3. 已知复数 满足 ，则 的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【详解】设，则， 由，得， 则，解得，即， 所以的虚部为1. 故选：A． 4.已知 ，则 （    ） A．-1 B．1 C． D． 【详解】由题意则. 故选：B 【答案】C 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】利用复数的加法求解即可. 【详解】 故选：C � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 复数z1＝2－ ，z2＝ －2i，则z1＋z2等于（    ） A．0 B． C． D． � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 5. 若 ，则 的实部为（   ） A．1 B． C． D． 【详解】设，则， 则，解得，故的实部为. 故选：C 已知复数 ， ， 为虚数单位， 若复数 为纯虚数，则实数 的值为 ． 【详解】由题意知，位移与时间的关系是 ，可得， 可得. 故选：C. 7.已知复数 ，则（    ） A． 为实数 B． C． 的虚部为2 D． 为纯虚数 【详解】根据题意，，其虚部为，A、C错误，D正确； ，B错误. 故选：D 利用复数减法的几何意义，思考在复平面内所有满足 的 组成的图形是什么？ 解： 满足 ，则复平面中与 对应的点到点 的距离为1. 所有这样的 组成的图形为以 为圆心，1为半径的圆. 已知复数 ，在复平面内，复数 ， 对应的点分别为 ， ， 且点 与点 关于直线 对称，则 （    ） A． B． C． D．5 【详解】因为，所以点 因为点与点关于直线对称，所以. 所以 故选:A. 9.若复数 满足 ，则 对应的点 ，满足方程（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得，则， 由可得，即. 故选：B. 10.（多选题） 已知复数 在复平面上对应的点的坐标为 ，则下列结论错误的是（    ） A． 是实数 B． 是纯虚数 C． 是实数 D． 是纯虚数 【详解】∵复数在复平面上对应的点的坐标为， ∴复数， ∵是纯虚数，故A项不正确，B项正确； ∵不是实数，也不是纯虚数，故C，D项都不正确. 故选：ACD. 【详解】设 ，则 ，故 ， 故 ，故 . 故选： . 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 【练习1】 ，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的向量表示 【分析】本题可根据复数的几何意义以及复数的运算法则得出结果. 【详解】向量 对应的复数是 故选：B. 【练习2】在复平面内， 、 两点对应的复数分别是 ， ， 则向量 对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由复数的几何意义可知： 表示的点在单位圆上， 而|z−2−2i|表示该单位圆上的点到复数 表示的点 的距离， 由图象可知： 的最小值应为点 到 的距离， 而 ，圆的半径为1， 故 的最小值为 ， 故选D． 【点睛】本题考查复数的模长的最值，涉及复数的几何意义和数形结合的思想，属基础题． 【练习3】若 ( 是虚数单位),则 的最小值是（    ） A． B． C． D． $