7.1.1 数系的扩充和复数的概念（教学课件）数学人教A版必修第二册

第7章 复数 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 人教A版·必修第二册· 学习目标 1.了解数系从自然数集到复数集的扩充历程，理解引入虚数单位i的必要性。 2.掌握复数的定义、代数形式，能准确识别复数的实部与虚部。 3.明确复数的分类标准，理解实数、虚数、纯虚数之间的区别与联系。 4.掌握复数相等的充要条件，并能运用该条件求解参数问题。 5.梳理复数集与其他数集的包含关系，构建完整的数系知识网络。 目录 CATALOG 01.复数的概念 03.题型强化训练 02.复数的分类 04.小结及随堂练习 7.1.1数系的扩充和复数的概念 01 复数的概念 导入新知1：手机信号的“隐形密码” 同学们，每天我们用手机刷视频、发消息、打视频电话，信号塔会向手机发送电磁波来传递信息。电磁波的传播规律可以用一个数学方程来描述：y=Asin(ωt+φ)，但其中涉及到一个关键的计算——信号强度的“相位叠加”。 1. 手机信号传播中遇到的“求一个数的平方等于-1”，在我们学过的实数范围内能找到这样的数吗？ 2. 回顾数系的扩充过程，我们是因为什么需求，依次从自然数扩充到整数、有理数、实数的？ 3. 既然实数无法解决手机信号传播中的相关计算，我们需要怎样的数来补充，才能完成数系的进一步扩充？ 4. 这种能解决“平方等于负数”的“隐形数”，就是我们要学的复数，它可能具备怎样的特点？ 导入新知2：电路中的“神秘阻力” 家里的台灯、手机充电器、空调，都需要电路才能工作。大家在物理课上已经知道，电路中有电阻R，但其实除了电阻，还有一种“隐形阻力”——电抗（包括感抗和容抗）。工程师在计算电路总阻抗（阻碍电流的总作用）时，会用到一个公式：Z=R+Xi（R是电阻，X是电抗）。有趣的是，电抗X的计算会涉及到“负实数开平方”。 1. 工程师计算电路总阻抗时用到的公式Z=R+Xi中，电抗X的计算涉及“负实数开平方”，在我们学过的实数范围内，能找到平方是负数的数吗？ 2. 回顾数系的发展过程，我们分别是因为什么实际需求，从自然数依次扩充到整数、有理数、实数的？ 3. 电路计算中遇到的“负实数开平方”问题，实数无法解决，我们需要引入怎样的“神秘数”来补充？ 4. 这种能解决电路计算难题的“神秘数”就是复数，结合公式Z=R+Xi，推测复数可能由哪两部分组成？ 学习新知 在解决求判别式小于0的实系数一元二次方程根的问题时，一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有理数集扩充到实数集那样，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程变得可解呢?复数概念的引入与这种想法直接相关. 学习新知 从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程x²+a=0（a>0）有没有解，进而可以归结为方程x²＋ 1=0有没有解. 探究 我们知道，方程x²+1=0在实数集中无解.联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗? 学习新知 回顾数系的扩充: 自然数集 刻画相反意义的量 引入了 负数 计数的需要 引入了 自然数 有理数集 整数集 解决测量等分问题 引入了 分数 引入了 无理数 解决度量正方形对角线等问题 实数集 随着社会发展，数系在不断扩充． 学习新知 人们把有理数集扩充到了实数集. 数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 依照这种思想，为了解决x²＋1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引人一个新数i，使得x=i是方程x²十1=0的解，即使得i²=-1. 自然数 负整数 分数 整数 有理数 实数 无理数 学习新知 把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢? （1）把实数b与i相乘，结果记作bi ; （2）把实数a与bi相加，结果记作a+bi ; 所有实数以及i都可写成a+bi的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中，我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 【思考】 学习新知 复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位. 全体复数所构成的集合C={a+bi | a,b∈R}叫做复数集. 复数的代数形式 其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部. 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R). 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数的基本概念 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数代数形式的乘法运算、求复数的实部与虚部 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 共轭复数的概念及计算、求复数的实部与虚部 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数的基本概念、求复数的实部与虚部 学习新知 两复数的相等 【练习】已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为 ． 【解析】依题意，可得：x2－y2=0且2xy＝2， 即x=y=－1或x=y=1. 在复数集C={a+bi | a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di (a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi和c+di相等，当且仅当a=c，b=d. 即：a + bi = c + di ⇔ a = c，b = d. 我们判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等！ 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数的相等 学习新知 复数的分类 当且仅当b=0时，它是实数, 当且仅当b≠0时，它是虚数； 当且仅当a=0,b≠0时，它是纯虚数. 当且仅当a=b=0时，它是实数0; 对于复数z = () 复数z = () 实数0 b=0 b≠0 b=0, b≠0, 实数a 虚数a+bi 纯虚数bi 学习新知 例如 02 复数的分类 7.1.1数系的扩充和复数的概念 学习新知 复数集C与实数集R之间有什么关系？ 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图7.1-1表示． 虚数集 实数集 纯虚数集 复数集 图7.1-1 【思考】 学习新知 复数集C与实数集R之间有什么关系？ 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图7.1-1表示． 虚数集 实数集 纯虚数集 复数集 图7.1-1 【思考】 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求复数的实部与虚部 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知复数的类型求参数 学习新知 例1： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数. （1）当m-1=0，即m=1，复数z是实数. （2）当m-1≠0，即m≠1，复数z是虚数. （3）当m+1=0，且m-1≠0，即m=-1时，复数z是纯虚数. 【分析】 学习新知 【解析】 【变式】实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1) 是实数；(2) 是虚数；(3) 是纯虚数；(4) 是0？ (1)当m2－2m－15=0时，即m＝5或m＝－3时，复数 z 是实数； (2)当m2－2m－15≠0时，即m≠－3且m≠5时，复数 z 是虚数； (3)当m2－2m－15≠0且m2＋5m＋6=0时，即m=-2时，复数 z 是纯虚数； (4)当m2－2m－15=0且m2＋5m＋6=0时，即m=-3时，复数 z = 0. 学习新知 解决与复数概念有关问题的策略 (1) 复数的代数形式 若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2) 不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分． (3) 举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知复数的类型求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数的基本概念、求复数的实部与虚部 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 虚数单位i及其性质、复数的相等 自 然 数 自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 。 英文calculate（计算）一词是从希腊文calculus （石卵）演变来的。中国古藉《易．系辞》中说：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契。」 直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数理论。 整 数 零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ）字，其原意也是「空」或「空白」。 中国最早引进了负数。《九章算术．方程》中论述的「正负数」，就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。 分 数 原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文·八部》对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。 古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。 无理数 为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要引进无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度（即 ）不能是有理数。 15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J. Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可名状”的数。 法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无理数是有理数序列的极限。 由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前的实际做法。 实 数 实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学家们认识到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔斯特拉斯（1859年 开始）、梅雷（1869）、戴德金（1872）与康托尔（1872 ）作出了杰出的贡献。 复 数 从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开平方的问题。卡尔达诺在《大法》（1545）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避免复数。关于复数及其代数运算的几何表示，是18世纪末到19世纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。 哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于1843年提出了「四元数」的概念，其后不久，凯莱又用四元数的有序对定义了八元数。它们都被称为「超复数」，如果舍弃更多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。 03 题型强化训练 7.1.1数系的扩充和复数的概念 能力提升 题型一　复数的有关概念 能力提升 题型一　复数的有关概念 与复数有关命题的判断方法 (1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答． (2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．　　 (3)数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i与实数的运算及运算律仍成立． 复数概念的几个关注点 (1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b； (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分； (3)如果两个复数都是实数可以比较大小，否则是不能比较大小的； (4)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答． 能力提升 题型二　复数的分类 能力提升 题型二　复数的分类 复数分类问题的求解方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为a＋bi(a，b∈R)的形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则： ① z为实数⇔b＝0；② z为虚数⇔b≠0；③ z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部； (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可； (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0；②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.　　 能力提升 题型三　复数相等的应用 能力提升 题型三　复数相等的应用 【感悟提升】　复数相等的充要条件 复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程(组)求解．　　 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解； (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． 04 小结及随堂练习 7.1.1数系的扩充和复数的概念 课堂总结1 1．知识清单： (1)数系的扩充．(2)复数的概念． (3)复数的分类．(4)复数相等的充要条件． 2．方法归纳：方程思想． 3．常见误区：未化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式． 课堂总结2 数系扩充的基本规则 复数的基本概念 两个复数相等的含义 复数的分类 形如 (a,b∈R)的数叫做复数，其中 叫做虚数单位. 其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部. = ， 复数 z= 课堂总结3 作业 教科书7.1.1的练习第1，2，3题. 7.1.1数系的扩充和复数的概念 练习（第70页） 1.说出下列复数的实部与虚部： 2．指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯数． 为什么？ 人教A版·必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 1. 若 为实数， 是纯虚数，则复数 为（   ） A． B． C． D． 【详解】为实数，则， 是纯虚数，则， 则 故选：D 2. 已知复数 （其中 为虚数单位），则 的虚部为（    ） A．1 B．i C． D． 【详解】因为，所以的虚部为1. 故选：A 3. 已知复数 ，则 的虚部是（    ） A． B．1 C． D．i 【详解】因为，所以， 根据复数虚部的定义，其虚部为1． 故选：B． 已知复数 ，则 的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【详解】因为复数，所以的虚部为. 故选：D. 5.若 ，则 （    ） A．2 B．4 C． D． 【详解】由题意得，， 解得，所以. 故选：C 6. 若复数 的实部、虚部互为相反数，则z的实部是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为复数的实部、虚部互为相反数，所以，解得， 故的实部是． 故选：D. 7.已知 是纯虚数，则实数 的值为（    ） A．-1或3 B．1或3 C．-1 D．3 【详解】由题意可知解得. 故选：D. 8.已知复数 ，其中 ， 是虚数单位，若 为纯虚数，则 的值为（ ） A． B．1 C．3 D． 或1 【详解】依题意，，解得． 故选：B． 给出下列命题： ①若 R，则 是纯虚数； ②若 R且 ，则 ； ③若 C，则复数 的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于 .其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【详解】对于复数（R），当且时为纯虚数， 在①中，若，则不是纯虚数，①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，②错误； 在③中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，③错误； 在④中，i的平方等于，④正确. 故选：D 10.（多选题）对于复数 ，下列说法正确的是（    ） A．若 ，则 为纯虚数 B．若 ，则 ， C．若 ，则 为实数 D．i的平方等于-1 【详解】对于A，当时，若，为实数，A错误； 对于B，若，则，，正确； 对于C，，则为实数，正确； 对于，的平方为-1，正确， 故选：BCD 【答案】B 【知识点】复数的基本概念、判断命题的必要不充分条件 【分析】复数 是纯虚数，则 ，利用直接法进行判断即可得解. 【详解】复数 是纯虚数，则 ， “ ”是“复数 是纯虚数”的必要不充分条件． 故选：B. 【练习1】 是虚数单位， ， ，则 是 为纯虚数的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【知识点】复数的相等、已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 【详解】设z＝bi，b∈R且b≠0，则 ＝bi，得到1＋i＝－ab＋bi， ∴1＝－ab，且1＝b，解得a＝－1. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算和纯虚数的概念. 【练习2】若复数z＝ 为纯虚数，则实数a的值为（    ） A．1 B．0 C．－ D．－1 【答案】D 【知识点】复数的相等 【分析】利用复数相等的知识列方程组，由此求得 ，进而求得 . 【详解】由于 ， 所以 . 故选：D 【练习3】已知 ， 为虚数单位，且 ，则 的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．求满足下列条件的实数 的值. $