7.1.1 数系的扩充和复数的概念（题型专练）数学人教A版必修第二册

7.1.1 数系的扩充和复数的概念 （答案版） 题型一：虚数单位i及其性质 1.D 2．D 3．A 4.BCD 题型二：已知复数的类型求参数 1.D 2．D 3.C 4.C 题型三：复数的基本概念 1.B 2．C 3.C 4.C 题型一：求复数的实部与虚部、根据相等条件求参数 1.B 2．C 3．A 4.A 题型二：复数的相等 1.C 2．B 3．A 4.C 题型三：复数的分类及辨析 1.C 2．B 3．B 4. C 1.C 2．B 3．A 4.C 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.1.1数系的扩充和复数的概念 题型一：复数加减法的代数 运算 基础达标题 题型二：已知复数的类型求 参数 题型三：复数的基本概念 7.1.1数系的 题型一：求复数的实部与虚 扩充和复数 部、根据相等条件求参数 的概念 能力提升题 题型二：复数的相等 题型三：复数的分类及辨析 拓展培优题 基础达标题 题型一：虚数单位及其性质 1.(2025·陕西西安.一模)若复数z满足z=-2i+13i,则z的虚部是（) A.-2i B.2i C.-2 D.2 2.(24-25高三下.河北张家口·开学考试)已知i为虚数单位，则(-1)25的虚部为 () A.i B.-i C.1 D.-1 3.(24-25高一下·北京朝阳期末)复数2+i2=() A.1 B.2 C.2i D.2-i 4.(多选题)(24-25高一下.宁夏吴忠·期中)下列命题为真命题的是() A.复数2-2i的虚部为-2i; B.若i为虚数单位，则223=-i 集C中，方程+x+10有两个解，依次为A1 2 2 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.已知i是虚数单位，aeR,若(a+2i(1+i)=4i,则实数a=2; 题型二：已知复数的类型求参数 1.(24-25高一下·上海·期末)下列关于复数z=x2-y2+(x2-2xy+y2)i(x,yeR)的命 题中， ①若z是实数，则y=x;②若z是虚数，则y≠x;③若z是纯虚数，则y=-x≠0. 真命题的序号是()》 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2.(2024高一下江苏·专题练习)下列命题： ①若a∈R,则(a+l)i是纯虚数； ②若a,beR,且a>b,则a+i>b+i; ③若(x2-4)+x2+3x+2i是纯虚数，则实数x=±2： ④实数集是复数集的真子集 其中正确的是() A.① B.② c.③ D.④ 3.(2025·贵州遵义·模拟预测)已知pm=2,q:复数z=m2-4+(m+2)i(m∈R)为 纯虚数，则p是q的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2025高三上·江苏.学业考试)若复数z=m+1+(m-1)i是实数，则实数m=() A.-1 B.0 C.1 D.2 题型三：复数的基本概念 1.(24-25高一下·上海浦东新·期末)已知复数z,则“z+z=0”是“复数z为纯虚数” 的() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(25-26高三上·北京海淀·期末)复数2+ai的共轭复数为b+bia,beR),则a=() A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.(24-25高三上·黑龙江绥化期中)已知复数z=2a-4+a-2)i(其中i是虚数单 位)的实部与虚部相等，则实数a等于() A.-2 B.-3 C.2 D.3 4.(25-26高二上·贵州贵阳·月考)已知i为虚数单位，则复数z=2-3√5i的虚部为 () A.2 B.-3/3i C.-35 D.i B 能力提升题 题型一：求复数的实部与虚酷部、根据相等条件求参数 1.(25-26高二上·湖南·期中)已知aeR,复数2a+5+(5-a)i的实部是虚部的3 倍，则a=() A.-2 B.2 C.1 D.-1 2.（24-25高一下·陕西商洛·期中)若a与b均为实数，且b-3i=4+ai,则a的值为 () A.3 B.4 C.-3 D.-4 3.(2024全国模拟预测)已知(1+i)b=ai-1)+2i,其中a,beR,i为虚数单位， 则以a,b为根的一个一元二次方程是() A.x2-1=0B.x2+x=2 C.x2-x=0 D.x2+x=0 4.(2025高一·全国·课后作业)下列命题中正确的是(). A.（-i=-1; 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.-i2=-1; C.若x,y∈C,则x+i=1+i的充要条件是x=y=1; D.若z∈C,则z2>0. 题型二：复数的相等 1.(24-25高一下·河南郑州·期中)若实数x,y满足x+yi=1+2i,则y=() A.-2 B.1 C.2 D.3 2.(24-25高一下.湖南郴州期末)已知a,b为实数，a+2i=-3+bi(i为虚数单 位)，则() A.a=-3,b=-2 B.a=-3,b=2 C.a=3,b=2 D.a=3,b=-2 3.(24-25高一下.江苏南通·月考)若2=a+bi(a,beR),则a+b=() A.-1 B.0 C.1 D.2 4.(25-26高三上河南·月考)设a>0,b>0,i为虚数单位，若2a+bi=b+2ai,则 ab=() A.-1 B. C. D.1 题型三：复数的分类及辨析 1.(2024高二下·湖南·学业考试)已知i为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是 () A.1-3i B.5 C.3+i D.3i 2.（24-25高一下·河南开封·期末)下列各数中，是纯虚数的是() A.0 B.1+5 C.(1+5i D.1+3i 3.(2025高三·全国·专题练习)己知x=3,y=1,下列为纯虚数的是() A.(1-y)i B.(x-y)2i C.x+(x-3y)i D.2x-yi 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25高-下全国课堂例题)在2+7，，0,8+5i,1-5i,0.618这几 个数中，纯虚数的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 拓展培优题 1.(24-25高一上·上海·课后作业)在复平面上，平行于y轴的非零向量所对应的 复数一定是() A.实数 B.虚数且非纯虚数 C.纯虚数 D.无法确定 2.（2024浙江温州二模)已知zeC,则“z2∈R”是“z∈R的() A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 3.(25:26高三上山东济宁月考)已知复数：=子：(1为显数单位。则复数：的 虚部为() A.-1 B.1 C.i D.-i 4.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末)(1+5ii的虚部为() A.i B.5i C.1 D.-5 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 题型一：虚数单位i及其性质 1.（2025·陕西西安·一模）若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、虚数单位i及其性质 【分析】根据的幂次运算法则对化简，根据虚部定义确定的虚部. 【详解】 ， 则的虚部是2. 故选：D 2.（24-25高三下·河北张家口·开学考试）已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】虚数单位i及其性质、求复数的实部与虚部 【分析】根据条件，利用指数幂的运算及虚数单位的运算，即可求解. 【详解】因为，所以的虚部为， 故选：D. 3.（24-25高一下·北京朝阳·期末）复数（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】虚数单位i及其性质 【分析】利用，可求值. 【详解】. 故选：A. 4.（多选题）（24-25高一下·宁夏吴忠·期中）下列命题为真命题的是（ ） A．复数的虚部为; B．若为虚数单位，则; C．在复数集中，方程有两个解，依次为; D．已知是虚数单位，若，则实数; 【答案】BCD 【知识点】复数的相等、虚数单位i及其性质、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数虚部的定义可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；根据复数方程的根可判断C；根据复数的乘法和复数相等的条件求出的值可判断D. 【详解】对于A，复数的虚部为，故A错误； 对于B，若为虚数单位，则，故B正确； 对于C，， 所以在复数集中，方程有两个解，依次为， 故C正确； 对于D，已知是虚数单位，若，则， 有，解得，故D正确. 故选：BCD. 题型二：已知复数的类型求参数 1.（24-25高一下·上海·期末）下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数 【分析】根据给定条件，利用复数的概念逐一判断各个命题. 【详解】对于①，由是实数，得，则，①正确； 对于②，由是虚数，得，则，②正确； 对于③，由是纯虚数，得，则，③正确， 所以真命题的序号是①②③. 故选：D 2.（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】复数的基本概念、复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数 【分析】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【详解】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：. 3.（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，q：复数为纯虚数，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、已知复数的类型求参数 【分析】由纯虚数的定义，结合充要条件的定义即可判断。 【详解】当时，复数为纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，解得； 综上，p为q的充要条件. 故选：C 4.（2025高三上·江苏·学业考试）若复数是实数，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】利用复数的概念可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为复数是实数，则，解得. 故选：C. 题型三：复数的基本概念 1.（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】复数的基本概念、判断命题的必要不充分条件 【分析】由题知“”，则，而复数为纯虚数，则，且，然后根据逻辑命题条件的判定即可. 【详解】设复数，则， ， 而复数为纯虚数，则，且， 所以“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件. 故选：B. 2.（25-26高三上·北京海淀·期末）复数的共轭复数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】复数的基本概念、共轭复数的概念及计算 【分析】根据共轭复数的概念求解. 【详解】因为的共轭复数为， 所以，所以， 故选：C 3.（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【知识点】复数的基本概念、根据相等条件求参数 【分析】由题意得，解方程即可 【详解】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 4.（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的基本概念，即可求解. 【详解】根据复数的概念，可得复数的虚部为. 故选：C. 题型一：求复数的实部与虚部、根据相等条件求参数 1.（25-26高二上·湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、根据相等条件求参数 【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果. 【详解】易知复数的实部为，虚部为； 所以，解得. 故选：B 2.（24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】复数的相等、求复数的实部与虚部、根据相等条件求参数 【分析】由复数相等的充要条件即可得出答案. 【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得. 故选：C. 3.（2024·全国·模拟预测）已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据相等条件求参数 【分析】先根据复数相等求解出，然后再判断出能满足条件的方程即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因此所选方程的两根为，仅有符合要求， 故选：A. 4.（2025高一·全国·课后作业）下列命题中正确的是（    ）． A．； B．； C．若x，，则的充要条件是； D．若，则． 【答案】A 【知识点】虚数单位i及其性质、根据相等条件求参数 【分析】根据复数的运算法则即可判断结果． 【详解】，故A    正确； ，故B错误； 若x，，若有；若有； 故是的充分不必要条件，C错误； 若，取则，故D错 故选：A 题型二：复数的相等 1.（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】复数的相等 【分析】由条件结合复数相等的定义求，再求即可. 【详解】因为，所以，，故，故C正确. 故选：C. 2.（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】复数的相等 【分析】由复数相等的条件即可求解. 【详解】因为， 所以，. 故选：B. 3.（24-25高一下·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】复数的相等 【分析】根据两个复数相等的充要条件，得到、的值，从而求出. 【详解】由，所以，，则. 故选：A 4.（25-26高三上·河南·月考）设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等的性质列等式运算即可. 【详解】由题得解得所以. 故选：. 题型三：复数的分类及辨析 1.（2024高二下·湖南·学业考试）已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】由纯虚数的概念即可得解. 【详解】由纯虚数的概念：实部为0，虚部不为0，对比选项可知，选项中复数为纯虚数的是. 故选：D. 2.（24-25高一下·河南开封·期末）下列各数中，是纯虚数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】根据纯虚数的概念，可得答案. 【详解】由为实数，复数中实部为，则ABD错误. 故选：C. 3.（2025高三·全国·专题练习）已知，，下列为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】将，代入，结合纯虚数的概念即可求解. 【详解】将，代入，得，A为实数；，B为纯虚数； ，C为实数；，D为虚数，但不为纯虚数． 故选：B. 4.（24-25高一下·全国·课堂例题）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】根据纯虚数的概念，即可得答案. 【详解】，是纯虚数，，，是实数，是虚数． 故选：C 1.（24-25高一上·上海·课后作业）在复平面上，平行于轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．实数 B．虚数且非纯虚数 C．纯虚数 D．无法确定 【答案】C 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】利用纯虚数的性质求解即可. 【详解】由题意得平行于轴的非零向量所对应的复数一定是纯虚数，故C正确. 故选：C 2.（2024·浙江温州·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、复数的基本概念 【分析】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】易知，所以不满足充分性，而，满足必要性. 故选：B 3.（25-26高三上·山东济宁·月考）已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的四则运算求出复数z，即得其虚部. 【详解】由，则复数的虚部为， 故选：B. 4.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）的虚部为（　　） A．i B．5i C．1 D．-5 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据复数乘法运算结合虚部定义求解. 【详解】由于，则的虚部为； 故选：C 学科网（北京）股份有限公司 $