学易金卷：高二数学下学期第一次月考（上海专用01）范围：【沪教版】必修第三册+选择性必修第一册第1-2章

2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷（上海专用02） 参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册+选择性必修第一册第1章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．【答案】； 2．【答案】5.05； 3．【答案】； 4．【答案】； 5．【答案】； 6．【答案】； 7．【答案】4； 8．【答案】2； 9．【答案】； 10．【答案】26； 11．【答案】或； 12．【答案】1； 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项） 13 14 15 16 B C C A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分） 17．（本题14分） 【答案】（1）或x=-2；（2）或； 【解析】（1）当直线l的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为1．又圆的半径为2， 所以，直线l被圆截得的弦长为，符合题意． 当直线l的斜率存在时，设其方程为，即， 由题意有，解得， 所以，l的方程为． 综上，直线l的方程为或．【6分】 （2）当直线的斜率不存在时，其方程为，符合题意． 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由题意有，解得，此时直线的方程为． 综上，直线的方程为或．【14分】 【说明】本题考查了过圆外一点的圆的切线方程、已知圆的弦长求方程或参数； 18．（本题14分） 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）解：由表格中的数据，结合分布列的性质，可得： ，解得.【6分】 （2）解：事件为遇到红灯的个数为4，事件为遇到红灯的个数为5，事件为遇到红灯的个数为6个及以上， 则事件“至少遇到4个红灯”为，因为事件互斥， 所以， 所以至少遇到4个红灯的概率为.【14分】 【说明】本题考查了利用随机变量分布列的性质解题、利用互斥事件的概率公式求概率； 19．（本题14分） 【答案】（1），；（2）38.5； 【说明】（1），得 设80%分位数为x，则 解得.  所以80%分位数为.【6分】 （2）估计该网站内关注品牌A的用户平均年龄为 【14分】 【说明】本题考查了补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计； 20．（本题18分） 【答案】（1）证明见解析（2）60°（3） 【解析】（1）证明：因为，C是底面圆周上一点， 所以，BC⊥BD， 又因为，， 所以，∠BDC＝30°， 所以，∠CBD＝60°， 在三角形BCM中，由余弦定理得：， 所以，BC2＝BM2+CM2， 所以，CM⊥BD， 设O为BD的中点，连接AO，则AO⊥平面BCD， 因为，CM在平面BCD内， 所以，CM⊥AO， 又AO∩BD＝O， 所以，CM⊥平面BAD， 又AD在平面BAD内， 所以，CM⊥AD；【6分】 （2）设O为BC的中点，连接CO，AO，则∠ACO为AC与底面所成的角， 由已知可得AB＝AD＝AC＝BD＝2，所以△ABD为正三角形，， 而CO＝1，所以， 所以，AC与底面所成的角为60°；【12分】 （3）由题设知，∠CBD＝60°， 故△BCD的面积， 底面半圆的面积， 所以该几何体的体积.【18分】 【说明】本题考查了线面垂直证明线线垂直、求线面角、锥体体积的有关计算；解答本题的关键是垂直的证明； 21．（本题18分） 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析； 【解析】（1）依题意，，解得， 所以的标准方程是.【4分】 （2）当点不是椭圆的顶点时，由，得点不是椭圆的顶点， 设直线方程为，点，则直线方程为， 由得，，同理， 面积， 而，因此，当且仅当时取等号， 点是椭圆的顶点时，点也是椭圆的顶点，， 所以面积的取值范围是.【10分】 （3）依题意，蒙日圆的方程为：， 当直线斜率不存在时，直线的方程为：或， 直线与的交点为或，则； 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 由消去并整理得：， 则，即，设， 由消去并整理得：， ，， 则 ， 所以为定值.【18分】 【说明】本题综合考查了椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷（上海专用02） 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册+选择性必修第一册第1章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若，且事件与事件相互独立，则 ． 【提示】根据独立事件的概率公式求出； 【答案】； 【解析】由题意可得，. 故答案为：； 【说明】本题考查了独立事件的乘法公式； 2．已知10名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：4.5，4.6，4.7，4.8，4.9，5.0，5.1，5.2，5.3，5.4，则这组数据的60百分位数是 【提示】根据百分位数的定义和公式计算即可； 【答案】5.05； 【解析】因为，所以这组数据的60百分位数是第6项和第7项的平均值， 即. 故答案为：5.05； 【说明】本题考查了总体百分位数的估计； 3．若直线与垂直，则实数 【提示】根据直线垂直的条件求解即可； 【答案】； 【解析】因为直线与垂直， 所以，即； 【说明】本题考查了已知直线方程根据垂直求参数； 4．若直线与圆相离，则实数的取值范围是 【提示】根据点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，再根据相离的性质解不等式即可得到答案； 【答案】； 【解析】由圆的标准方程可知圆的圆心坐标为，半径为， 根据点到直线的距离公式, 根据已知条件代入可得， 直线和圆相离则有，即， 解含绝对值不等式可得或， 即； 【说明】本题考查了由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离； 5．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为 【提示】根据题意可得，，进而可求渐近线方程，注意焦点所在位置； 【答案】； 【解析】因为双曲线的虚轴长为，即， 由双曲线方程可知，且焦点在x轴上， 所以该双曲线的渐近线方程为. 【说明】本题考查了求双曲线的实轴、虚轴、已知方程求双曲线的渐近线； 6．如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则 【提示】根据求出直线方程，与抛物线联立求出点横坐标，再根据抛物线定义求解即可； 【答案】； 【解析】抛物线的焦点. 设， 因为，所以，直线方程为， 与联立整理得，， 即，解得或， 所以点横坐标或， 当时，，不符合题意，舍去. 所以， 所以； 【说明】本题考查了抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式； 7．水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于 【提示】由直观图，还原出原图，即可求得答案； 【答案】4； 【解析】将直观图还原出原图，可得， 所以的面积等于. 故答案为：4； 【说明】本题考查了由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算； 8．已知正方体的棱长为4，则直线到平面的距离为 ． 【提示】利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面距离转化为点面距离求解即可； 【答案】2； 【解析】连接与交点为，因为是正方形，则， 又平面，平面，则， 又平面，则平面， 因为平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 故答案为：. 【说明】本题考查了求直线与平面的距离； 9．如图，在正方体中，则异面直线与所成角的大小为 ． 【提示】构造异面直线所成的角，再利用解三角形求解； 【答案】； 【解析】如图： 连接，. 因为为正方体，所以， 所以即为异面直线与所成的角或其补角， 在中，因为，所以. 故答案为： 【说明】本题考查了求异面直线所成的角； 10．我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长 尺”（注：1丈等于10尺） 【答案】26； 【解析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5×2=10（尺），因此葛藤长（尺） 【说明】本题主要考查了圆柱的展开图及最短距离问题； 11．正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为 【提示】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，利用求出进而得到侧棱长，根据异面直线的概念可知即为异面直线与所成角的平面角，在中利用余弦定理求解即可； 【答案】或； 【解析】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径， 因为底面边长为4，所以， 易知球心在线段上，则，解得或， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，由余弦定理可得，解得， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，由余弦定理可得，解得， 【说明】本题考查了余弦定理解三角形、多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角； 12．在三棱锥中，两两垂直，且，设为底面内一点，，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为 . 【提示】根据给定的信息求出三棱锥的体积，进而求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，并建立不等式求解； 【答案】1； 【解析】在三棱锥中，两两垂直，且， 则，解得 ， 又， 因此， 当且仅当时取等号，由恒成立，得， 于是，解得，所以正实数的最小值为1. 故答案为：1； 【说明】本题综合考查了锥体体积的有关计算、基本不等式“1”的妙用求最值； 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项） 13．已知，，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】根据空间中垂直和平行的性质及充分条件、必要条件、充要条件的定义分析判断即可； 【答案】B； 【解析】若，，则，可以异面、平行或相交，故由推不出， 若，，根据平行线的性质，则， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【说明】本题考查了判断命题的必要不充分条件； 14．下面关于空间几何体的表述，正确的是（     ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥 C．正四棱柱一定是长方体 D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台 【提示】用简单几何体的定义及特征去逐个判断即可； 【答案】C； 【解析】对于A:棱柱的所有侧面都是平行四边形，并不一定是矩形，故A错误. 对于B:只有以直角边为旋转轴旋转才能得到圆锥，以斜边为旋转轴旋转得到的是两个圆锥的组合体.故B错误. 对于C:正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱，所以必然是长方体，故C正确. 对于D:只有截面与底面平行时，截面与底面之间的部分才是棱台，故D错误. 故选: C； 【说明】本题考查了棱台的结构特征和分类、由平面图形旋转得旋转体、棱柱的结构特征和分类； 15．现有5瓶溶液标签缺失，已知其分别为，若从中任取2瓶混合，则会发生复分解反应的概率为（     ） A． B． C． D． 【提示】先确定组合数，找出发生复分解反应的组合，最后计算概率； 【答案】C； 【解析】从5瓶溶液中任取2瓶，共有， 溶液中酸性为，碱性为， 酸碱中和反应生成水属于复分解反应，所以发生复分解反应的组合有， 因此会发生复分解反应的概率为， 故选：C. 【说明】本题考查了实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率； 16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 【提示】根据鳖臑的特点及已知边长得出进而得出点的轨迹为以为圆心以为半径的半圆即可求出轨迹长度； 【答案】A； 【解析】因为三棱锥为鳖臑，平面， 在中，， 过做垂足为，则， 即，所以， 因为， ， 在中，， 所以，则， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以中，， 过作，， 即，可得， 则过作，因为是中点，所以， 所以动点在内（含边界）的轨迹为以为圆心以为半径的半圆， 则点的轨迹长度为. 故选：A. 【说明】本题考查了线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直； 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分） 17．（本题14分） 在平面直角坐标系xOy中，已知圆和圆． （1）若直线l过点，且被圆截得的弦长为，求直线l的方程； （2）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； 【提示】（1）分类讨论，斜率不存在时的直线，求其弦长满足题意，斜率存在时，设出其方程，由圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长，从而求得参数值，得直线方程； （2）分类讨论，斜率不存在时的直线检验其为切线，斜率存在时，设出其方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值，得直线方程； 【答案】（1）或x=-2；（2）或； 【解析】（1）当直线l的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为1．又圆的半径为2， 所以，直线l被圆截得的弦长为，符合题意． 当直线l的斜率存在时，设其方程为，即， 由题意有，解得， 所以，l的方程为． 综上，直线l的方程为或． （2）当直线的斜率不存在时，其方程为，符合题意． 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由题意有，解得，此时直线的方程为． 综上，直线的方程为或． 【说明】本题考查了过圆外一点的圆的切线方程、已知圆的弦长求方程或参数； 18．（本题14分） 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200km，遇到红灯个数的概率如下表所示： 遇到红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 0.35 0.2 0.1 0.03 （1）求表中字母的值； （2）求至少遇到4个红灯的概率. 【提示】（1）根据分布列的性质，列出方程，即可求解； （2）结合表格中的数据，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）解：由表格中的数据，结合分布列的性质，可得： ，解得. （2）解：事件为遇到红灯的个数为4，事件为遇到红灯的个数为5，事件为遇到红灯的个数为6个及以上， 则事件“至少遇到4个红灯”为，因为事件互斥， 所以， 所以至少遇到4个红灯的概率为. 【说明】本题考查了利用随机变量分布列的性质解题、利用互斥事件的概率公式求概率； 19．（本题14分） 中国新能源汽车产业发展势头迅猛，社会关注度持续增长.大数据显示，不同品牌的新能源汽车，其关注群体有不同的年龄分布.某网站面向关注新能源汽车的站内用户群体做了一个问卷调查，从关注品牌A的网友中随机抽取300人，并将他们按年龄分成了，，，，（单位：岁）这五组，并画出频率分布直方图如图所示. （1）求图中a的值和80%分位数（精确到小数点后一位）； （2）根据以上数据，估计该网站用户中关注新能源品牌A的网友的平均年龄. 【提示】（1）利用各个小矩形的面积和等于1可得a，根据百分位数定义求解即可； （2）每个矩形的底边中点横坐标与该矩形的面积相乘后求和可得平均值； 【答案】（1），；（2）38.5； 【说明】（1），得 设80%分位数为x，则 解得.  所以80%分位数为. （2）估计该网站内关注品牌A的用户平均年龄为 【说明】本题考查了补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计； 20．（本题18分） 已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，AC＝BD＝2，BC＝1，点M在线段BD上，且BM，平面ABC和平面ACD将圆锥截去部分后的几何体如图所示. （1）求证：CM⊥AD； （2）求AC与底面所成的角； （3）求该几何体的体积. 【提示】（1）在中通过解三角形得，从而可证与平面垂直（取中点，是圆锥的高），得线线垂直； （2）由（1）是直线与底面所成的角，在三角形中求解即可； （3）该几何体是半个圆锥和一个三棱锥的组合体，由锥体体积公式计算． 【答案】（1）证明见解析（2）60°（3） 【解析】（1）证明：因为，C是底面圆周上一点， 所以，BC⊥BD， 又因为，， 所以，∠BDC＝30°， 所以，∠CBD＝60°， 在三角形BCM中，由余弦定理得：， 所以，BC2＝BM2+CM2， 所以，CM⊥BD， 设O为BD的中点，连接AO，则AO⊥平面BCD， 因为，CM在平面BCD内， 所以，CM⊥AO， 又AO∩BD＝O， 所以，CM⊥平面BAD， 又AD在平面BAD内， 所以，CM⊥AD； （2）设O为BC的中点，连接CO，AO，则∠ACO为AC与底面所成的角， 由已知可得AB＝AD＝AC＝BD＝2，所以△ABD为正三角形，， 而CO＝1，所以， 所以，AC与底面所成的角为60°； （3）由题设知，∠CBD＝60°， 故△BCD的面积， 底面半圆的面积， 所以该几何体的体积. 【说明】本题考查了线面垂直证明线线垂直、求线面角、锥体体积的有关计算；解答本题的关键是垂直的证明； 21．（本题18分） 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上． （1）求的标准方程； （2）已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； （3）过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，证明：为定值． 【提示】（1）根据给定条件，列出方程组求出即可. （2）按是否为顶点分类，当直线斜率存在且不为0时，求出长，并求出三角形面积的函数关系，进而求出范围. （3）按直线的斜率存在与否分类，把直线的方程与圆、椭圆方程联立求出即可. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析； 【解析】（1）依题意，，解得， 所以的标准方程是. （2）当点不是椭圆的顶点时，由，得点不是椭圆的顶点， 设直线方程为，点，则直线方程为， 由得，，同理， 面积， 而，因此，当且仅当时取等号， 点是椭圆的顶点时，点也是椭圆的顶点，， 所以面积的取值范围是. （3）依题意，蒙日圆的方程为：， 当直线斜率不存在时，直线的方程为：或， 直线与的交点为或，则； 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 由消去并整理得：， 则，即，设， 由消去并整理得：， ，， 则 ， 所以为定值. 【说明】本题综合考查了椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷（上海专用02） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册+选择性必修第一册第1章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若，且事件与事件相互独立，则 ． 2．已知10名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：4.5，4.6，4.7，4.8，4.9，5.0，5.1，5.2，5.3，5.4，则这组数据的60百分位数是 3．若直线与垂直，则实数 4．若直线与圆相离，则实数的取值范围是 5．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为 6．如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则 7．水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于 8．已知正方体的棱长为4，则直线到平面的距离为 ． 9．如图，在正方体中，则异面直线与所成角的大小为 ． 10．我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长 尺”（注：1丈等于10尺） 11．正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为 12．在三棱锥中，两两垂直，且，设为底面内一点，，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为 . 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项） 13．已知，，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．下面关于空间几何体的表述，正确的是（     ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥 C．正四棱柱一定是长方体 D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台 15．现有5瓶溶液标签缺失，已知其分别为，若从中任取2瓶混合，则会发生复分解反应的概率为（     ） A． B． C． D． 16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分） 17．（本题14分） 在平面直角坐标系xOy中，已知圆和圆． （1）若直线l过点，且被圆截得的弦长为，求直线l的方程； （2）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； 18．（本题14分） 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200km，遇到红灯个数的概率如下表所示： 遇到红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 0.35 0.2 0.1 0.03 （1）求表中字母的值； （2）求至少遇到4个红灯的概率. 19．（本题14分） 中国新能源汽车产业发展势头迅猛，社会关注度持续增长.大数据显示，不同品牌的新能源汽车，其关注群体有不同的年龄分布.某网站面向关注新能源汽车的站内用户群体做了一个问卷调查，从关注品牌A的网友中随机抽取300人，并将他们按年龄分成了，，，，（单位：岁）这五组，并画出频率分布直方图如图所示. （1）求图中a的值和80%分位数（精确到小数点后一位）； （2）根据以上数据，估计该网站用户中关注新能源品牌A的网友的平均年龄. 20．（本题18分） 已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，AC＝BD＝2，BC＝1，点M在线段BD上，且BM，平面ABC和平面ACD将圆锥截去部分后的几何体如图所示. （1）求证：CM⊥AD； （2）求AC与底面所成的角； （3）求该几何体的体积. 21．（本题18分） 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上． （1）求的标准方程； （2）已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； （3）过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，证明：为定值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 （上海专用02） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ Comment by ligan xie: 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡（上海专用02） 姓 名： 准考证号： 注意事项 1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 地 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 2 3. 4 款 杯 6 9 10 11 馨 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第1516 题每题5分；每题有且只有一个正确选项 13 [A[B][C][D] 14[AB][C][D] 15 [A][B][C]D] 16[A]B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 4频率 组距 0.030 0.015 0.010 0152535455565年龄/岁 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) M B 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷（上海专用02） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册+选择性必修第一册第1章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若，且事件与事件相互独立，则 ． 2．已知10名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：4.5，4.6，4.7，4.8，4.9，5.0，5.1，5.2，5.3，5.4，则这组数据的60百分位数是 3．若直线与垂直，则实数 4．若直线与圆相离，则实数的取值范围是 5．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为 6．如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则 7．水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于 8．已知正方体的棱长为4，则直线到平面的距离为 ． 9．如图，在正方体中，则异面直线与所成角的大小为 ． 10．我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长 尺”（注：1丈等于10尺） 11．正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为 12．在三棱锥中，两两垂直，且，设为底面内一点，，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为 . 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项） 13．已知，，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．下面关于空间几何体的表述，正确的是（     ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥 C．正四棱柱一定是长方体 D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台 15．现有5瓶溶液标签缺失，已知其分别为，若从中任取2瓶混合，则会发生复分解反应的概率为（     ） A． B． C． D． 16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分） 17．（本题14分） 在平面直角坐标系xOy中，已知圆和圆． （1）若直线l过点，且被圆截得的弦长为，求直线l的方程； （2）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； 18．（本题14分） 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200km，遇到红灯个数的概率如下表所示： 遇到红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 0.35 0.2 0.1 0.03 （1）求表中字母的值； （2）求至少遇到4个红灯的概率. 19．（本题14分） 中国新能源汽车产业发展势头迅猛，社会关注度持续增长.大数据显示，不同品牌的新能源汽车，其关注群体有不同的年龄分布.某网站面向关注新能源汽车的站内用户群体做了一个问卷调查，从关注品牌A的网友中随机抽取300人，并将他们按年龄分成了，，，，（单位：岁）这五组，并画出频率分布直方图如图所示. （1）求图中a的值和80%分位数（精确到小数点后一位）； （2）根据以上数据，估计该网站用户中关注新能源品牌A的网友的平均年龄. 20．（本题18分） 已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，AC＝BD＝2，BC＝1，点M在线段BD上，且BM，平面ABC和平面ACD将圆锥截去部分后的几何体如图所示. （1）求证：CM⊥AD； （2）求AC与底面所成的角； （3）求该几何体的体积. 21．（本题18分） 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上． （1）求的标准方程； （2）已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； （3）过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，证明：为定值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $