周周练06 7.1-7.2 复数+第七章单元复习（数学人教A版必修第二册）

2025-2026学年高一下学期数学周周练06 7.1-7.2 复数+第七章单元复习 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知（为虚数单位），则复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 2．如图，正方形OABC中，点A对应的复数是，则顶点B对应的复数是（    ） A． B． C． D． 3．已知，（i为虚数单位），则（   ） A． B．4 C． D．2 4．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 5．已知复数，为虚数单位，则在复平面内复数所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知复数z满足，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C． D． 8．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数的模是（    ） A．1 B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若复数，则下列说法正确的是（    ） A．若为实数，则 B．若为纯虚数，则或 C．在复平面内对应的点不可能在第二象限 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 10．已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点若．（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（    ） A．的虚部为 B．点B在第二象限 C． D．点A，B之间的距离为 11．下列说法正确的是（    ） A．， B． C．若，，则的最小值为1 D．若是关于x的方程的根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．复数，则 . 13．已知，，是虚数单位．若，则 ． 14．若非零复数满足，则的值是 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设复数． (1)若是实数，求 (2)若是纯虚数，求． 16．已知复数，试求实数m的值或取值范围，使得z分别为： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 17．已知复数. （1）计算复数； （2）若，求实数的值. 18．已知，复数． (1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； (2)若z满足，，求的值． 19．设z1是虚数，z2＝z1是实数，且﹣1≤z2≤1． （1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围； （2）若ω，求证ω为纯虚数； （3）求z2﹣ω2的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练06 7.1-7.2 复数+第七章单元复习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C C C D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．1 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） (1) (2) 【分析】（1）根据复数的分类特征，结合复数加法和乘法的运算性质进行求解即可； （2）根据复数除法的运算法则，结合纯虚数的定义进行求解即可. 【详解】（1）， 因为是实数， 所以有， 因此； （2）， 因为是纯虚数， 所以有，所以. 16．（本小题满分15分） (1)；(2)；(3)不存在实数使得为纯虚数. 【分析】(1)由复数z为实数可得其虚部为0，又，由此求m； (2) 由复数z为虚数可得其虚部不为0，又，由此求m； (3) 由复数z为纯虚数可得其实部为0，虚部不为0，又，由此求m. 【详解】(1)当为实数时，有 得 所以，即当时，为实数. (2)当为虚数时，有且， 所以且且， 即当时，为虚数. (3)当为纯虚数时，有 所以故不存在实数使得为纯虚数. 17．（本小题满分15分） （1）；（2），. 【分析】（1）根据复数的运算法则，即可求得复数； （2）由（1）知，，代入已知，根据复数相等，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）根据复数的运算法则，可得： 复数. （2）由（1）知，， 因为， 所以， 整理得， 所以， 则，解得，. 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，以及熟练应用复数相等的条件列出方程组是解答的关键，意在考查推理与运算能力. 18．（本小题满分16分） (1)； (2). 【分析】（1）求出复数对应点的坐标，进而列出不等式组求解. （2）利用给定条件，结合复数相等求出，再利用复数除法及模的意义求解. 【详解】（1）复数在复平面内对应的点为， 由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 又，则，解得， ， 所以. 19．（本小题满分17分） （1）|z1|＝1，取值范围为[，]．（2）见解析（3）1 【分析】（1）设z1代数形式代入z2，根据z2是实数，求得|z1|，再根据﹣1≤z2≤1，求得z1的实部的取值范围； （2）根据复数除法法则化简ω，再根据纯虚数概念判断证明； （3）先化简z2﹣ω2，再利用基本不等式求最小值． 【详解】（1）设z1＝a+bi，（a，b∈R，且b≠0）， 则z2＝z1（a+bi）（a+bi）（a+bi）（a）+（b）i， 因为z2是实数， 所以b0，即b（）＝0， 因为b≠0，所以a2+b2＝1， 即|z1|＝1，且z2＝2a， 由﹣1≤z2≤1，得﹣1≤2a≤1，解得a， 即z1的实部的取值范围为[，]． （2）证明：∵a2+b2＝1， ω， 因为a，b≠0， 所以ω为纯虚数． （3）z2﹣ω2＝（a）+（b）i﹣（）2， ＝2a+（b﹣b）i ＝2a ＝2a ＝1 ＝1 ＝1 ＝1+2（a+1）﹣4 ＝2（a+1）3，a+1∈[，]， 当2（a+1）时，即a＝0时，z2﹣ω2取最小值1． 【点睛】本题考查复数概念、复数的模、纯虚数概念、复数运算以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解与论证能力，属中档题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练06 7.1-7.2 复数+第七章单元复习 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知（为虚数单位），则复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用复数除法运算法则化简复数，再根据复数虚部的定义求解即可. 【详解】由，得， 所以复数的虚部为1. 故选：B. 2．如图，正方形OABC中，点A对应的复数是，则顶点B对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义计算即可. 【详解】由题意得：,不妨设C点对应的复数为，则, 由，得， 即C点对应的复数为， 由得：B点对应复数为. 故选：A． 3．已知，（i为虚数单位），则（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】根据复数的乘法运算，结合复数相等的充要条件可得的值，即可求解. 【详解】由可得，故，因此， 故选：C 4．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可得到，再由复数的乘法计算可得. 【详解】因为，所以， 则， 所以. 故选：C 5．已知复数，为虚数单位，则在复平面内复数所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数乘方，复数的除法计算方法，求出复数，根据共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为， 所以复数 所以在复平面内复数所对应的点为，该点位于第三象限. 故选：C. 6．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义和复数的除法运算即可得到答案. 【详解】由题意得， 则， 其对应的点为，位于第四象限． 故选：D 7．已知复数z满足，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z，由复数的几何意义可知点的轨迹为轴，则问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解. 【详解】解：设复数z在复平面内对应的点为Z， 因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等， 所以在复平面内点的轨迹为轴， 又表示点到点的距离， 所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值， 所以的最小值为2， 故选：B. 8．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数的模是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的基本运算化简求出，结合共轭复数和模长概念即可求解. 【详解】因为，所以， 所以的共轭复数为，， 所以的共轭复数的模是. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若复数，则下列说法正确的是（    ） A．若为实数，则 B．若为纯虚数，则或 C．在复平面内对应的点不可能在第二象限 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 【答案】AD 【分析】根据复数的类型即可求解的值，即可判断AB，根据复数对应点所在象限的特征即可判断CD. 【详解】对于A，令，A正确； 对于B，或，当时，不是纯虚数，B错误； 对于C，当时，，所以在复平面内对应的点在第二象限，C错误； 对于D，由于，故在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确. 故选：AD 10．已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点若．（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（    ） A．的虚部为 B．点B在第二象限 C． D．点A，B之间的距离为 【答案】BD 【分析】结合复数的几何意义，依题意求解出对应的坐标，然后逐项判断即可. 【详解】因为， 所以对应的坐标为，， 向量与轴夹角为 由题意可知，且，选项B正确； ，的虚部为，选项A错误； ，所以，选项C错误； 点A，B之间的距离即为，选项D正确． 故选：BD. 11．下列说法正确的是（    ） A．， B． C．若，，则的最小值为1 D．若是关于x的方程的根，则 【答案】ACD 【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D. 【详解】对于A，，设复数，则，， 故，A正确； 对于B，由于，故，B错误； 对于C，，设，由于，则， 故， 由，得，则， 故当时，的最小值为1，C正确； 对于D，是关于x的方程的根， 故，即， 故，D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．复数，则 . 【答案】1 【分析】根据条件，利用复数的运算得，再利用模长的计算公式，即可求解. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 13．已知，，是虚数单位．若，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的运算整理其为标准式，由复数相等建立方程组，可得答案. 【详解】由， 则，解得，所以. 故答案为：. 14．若非零复数满足，则的值是 . 【答案】 【分析】由题设有、易得 ，同理，，而，，由此可知，即可求值. 【详解】由题设有：，解得，且， ∴，即，同理有，， ，，又， ∴，， ∴， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)设复数． (1)若是实数，求 (2)若是纯虚数，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的分类特征，结合复数加法和乘法的运算性质进行求解即可； （2）根据复数除法的运算法则，结合纯虚数的定义进行求解即可. 【详解】（1）， 因为是实数， 所以有， 因此； （2）， 因为是纯虚数， 所以有，所以. 16．(本小题满分15分)已知复数，试求实数m的值或取值范围，使得z分别为： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 【答案】(1)；(2)；(3)不存在实数使得为纯虚数. 【分析】(1)由复数z为实数可得其虚部为0，又，由此求m； (2) 由复数z为虚数可得其虚部不为0，又，由此求m； (3) 由复数z为纯虚数可得其实部为0，虚部不为0，又，由此求m. 【详解】(1)当为实数时，有 得 所以，即当时，为实数. (2)当为虚数时，有且， 所以且且， 即当时，为虚数. (3)当为纯虚数时，有 所以故不存在实数使得为纯虚数. 17．(本小题满分15分)已知复数. （1）计算复数； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）；（2），. 【分析】（1）根据复数的运算法则，即可求得复数； （2）由（1）知，，代入已知，根据复数相等，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）根据复数的运算法则，可得： 复数. （2）由（1）知，， 因为， 所以， 整理得， 所以， 则，解得，. 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，以及熟练应用复数相等的条件列出方程组是解答的关键，意在考查推理与运算能力. 18．(本小题满分16分)已知，复数． (1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； (2)若z满足，，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出复数对应点的坐标，进而列出不等式组求解. （2）利用给定条件，结合复数相等求出，再利用复数除法及模的意义求解. 【详解】（1）复数在复平面内对应的点为， 由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 又，则，解得， ， 所以. 19．(本小题满分17分)设z1是虚数，z2＝z1是实数，且﹣1≤z2≤1． （1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围； （2）若ω，求证ω为纯虚数； （3）求z2﹣ω2的最小值． 【答案】（1）|z1|＝1，取值范围为[，]．（2）见解析（3）1 【分析】（1）设z1代数形式代入z2，根据z2是实数，求得|z1|，再根据﹣1≤z2≤1，求得z1的实部的取值范围； （2）根据复数除法法则化简ω，再根据纯虚数概念判断证明； （3）先化简z2﹣ω2，再利用基本不等式求最小值． 【详解】（1）设z1＝a+bi，（a，b∈R，且b≠0）， 则z2＝z1（a+bi）（a+bi）（a+bi）（a）+（b）i， 因为z2是实数， 所以b0，即b（）＝0， 因为b≠0，所以a2+b2＝1， 即|z1|＝1，且z2＝2a， 由﹣1≤z2≤1，得﹣1≤2a≤1，解得a， 即z1的实部的取值范围为[，]． （2）证明：∵a2+b2＝1， ω， 因为a，b≠0， 所以ω为纯虚数． （3）z2﹣ω2＝（a）+（b）i﹣（）2， ＝2a+（b﹣b）i ＝2a ＝2a ＝1 ＝1 ＝1 ＝1+2（a+1）﹣4 ＝2（a+1）3，a+1∈[，]， 当2（a+1）时，即a＝0时，z2﹣ω2取最小值1． 【点睛】本题考查复数概念、复数的模、纯虚数概念、复数运算以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解与论证能力，属中档题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $