周周练07 8.1 基本立体图形、8.2立体图形的直观图（数学人教A版必修第二册）

2025-2026学年高一下学期数学周周练07 8.1 基本立体图形、8.2立体图形的直观图 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图所示，观察四个几何体，其中判断错误的是（　　） A．不是棱台 B．不是圆台 C．不是棱锥 D．是棱柱 2．下列四个命题中正确的是（   ） A．正三棱锥的每个面都是正三角形 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 3．某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 4．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是　(　　) A．AB B．AD C．BC D．AC 5．已知△ABC是边长为a的正三角形，那么△ABC平面直观图△A′B′C′的面积为（ ） A． B． C． D． 6．如图，长方体被截去一小部分，其中，则截去的几何体是（    ）      A．三棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．五棱柱 7．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（    ） A．2 B．6 C．快 D．乐 8．已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中 ，那么的周长为（    ）    A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，……，若得到的截面图形是四边形，那么这个截面四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．对边都不平行的四边形 10．水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 11．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图所示，在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，周长的最小值为 ． 13．如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是 .（填序号）①；②；③；④. 14．已知一个圆锥的底面半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则过该圆锥顶点的平面截该圆锥所得截面面积的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和． （1）求圆台的高； （2）求截得此圆台的圆锥的母线长． 16．一个几何体的三视图如图所示，画出这个几何体的直观图. 17．如图，圆台的上、下底面半径分别为5cm，10cm，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面转到点.求：    （1）绳子的最短长度； （2）在绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离. 18．如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 19．某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练07 8.1 基本立体图形、8.2立体图形的直观图 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图所示，观察四个几何体，其中判断错误的是（　　） A．不是棱台 B．不是圆台 C．不是棱锥 D．是棱柱 【答案】C 【分析】利用几何体的定义解题. 【详解】A.根据棱台的定义可知几何体不是棱台，所以A是正确的； B.根据圆台的定义可知几何体不是圆台，所以B是正确的； C.根据棱锥的定义可知几何体是棱锥，所以C是错误的； D. 根据棱柱的定义可知几何体是棱柱，所以D是正确的. 故答案为C 【点睛】本题主要考查棱锥、棱柱、圆台、棱台的定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 2．下列四个命题中正确的是（   ） A．正三棱锥的每个面都是正三角形 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【答案】C 【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知C正确，D错误. 【详解】对于A，正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，可知A错误； 对于B，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，可得B错误； 对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即C正确； 对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，可得D错误. 故选：C 3．某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 【答案】B 【分析】根据几何体的形状逐个选项判断即可. 【详解】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确． 故选：B 4．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是　(　　) A．AB B．AD C．BC D．AC 【答案】D 【详解】因为A′B′与y′轴重合，B′C′与x′轴重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC中，AC为斜边，故AB<AD<AC，BC<AC. 故选D. 5．已知△ABC是边长为a的正三角形，那么△ABC平面直观图△A′B′C′的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】正三角形的高为,在直观图中的长度为, 故△A′B′C′的高,故其面积,故应选A. 考点：平面图形直观图的画法规则及运用. 6．如图，长方体被截去一小部分，其中，则截去的几何体是（    ）      A．三棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．五棱柱 【答案】B 【分析】由正方体的几何特征结合三棱柱的定义即可求解. 【详解】在长方体中，由可得四边形为平行四边形， 所以,所以四边形为平行四边形， 所以， 则几何体为三棱柱. 故选：B. 7．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（    ） A．2 B．6 C．快 D．乐 【答案】B 【分析】将正方体平面展开图还原为正方体，根据已知条件“图中‘0’上方的‘2’在正方体的上面”，来确定正方体的下面对应的面. 【详解】在正方体的平面展开图中，相对的面在展开图中是间隔出现的， 观察此展开图可知，“2”与“6”是相对的面，“0”与“快”是相对的面，“1”与“乐”是相对的面； 已知图中“0”上方的“2”在正方体的上面，因为正方体中相对的面一个在上面时， 另一个就在下面，而“2”相对的面是“6”. 故选：B. 8．已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中 ，那么的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的规则作出原图，求出各个边长即可求解. 【详解】根据斜二测画法的规则作出原图如图：    由直观图中， 可得中，，， 因为，则， 又底边，所以的周长为. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，……，若得到的截面图形是四边形，那么这个截面四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．对边都不平行的四边形 【答案】ABC 【分析】画出正方体的相关截面判断A、B、C，结合平面的基本性质判断D. 【详解】如下图，正方体中均为中点， 所以四边形为平行四边形，也是菱形，四边形为梯形，A、B、C对； 用任意平面截正方体，所得截面为四边形，必有一对边在一对平行的侧面上， 所以四边形必有一对边平行，D错. 故选：ABC 10．水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 【答案】AD 【分析】根据斜二测画法还原，然后求出三边即可得答案. 【详解】根据斜二测画法还原，如图所示： 由斜二测画法可知，， 则，所以为正三角形. 所以. 故选：AD 11．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABD 【分析】根据正方体截面与球截面的相对位置，结合截面是否过体对角线，与正方体表面平行或与正方体表面垂直可判断正误. 【详解】当截面过体对角线，且不与任意正方体表面平行或垂直，则能得图形①； 当截面过体对角线，且与正方体上下表面垂直时，则能得图形②； 当截面与任意正方体表面平行时，可得到图形④； 对于③，不妨考虑此截面为经过正方体的四个顶点或的截面， 但四边形和四边形不是正方形，其他情况也可同理得到，故截面不可能是③. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图所示，在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，周长的最小值为 ． 【答案】 【解析】将三棱锥沿着剪开，将侧面、、延展至同一平面，计算出的长，即为周长的最小值. 【详解】如图，将三棱锥沿侧棱剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上， 则线段的长即为所求的周长的最小值． 取的中点，连接，则，. 在中，，则， 即周长的最小值为. 故答案为：. 【点睛】研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题． 13．如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是 .（填序号）①；②；③；④. 【答案】③ 【分析】还原，可知且，进而通过图形可判断出结果. 【详解】由直观图画出如图所示 其中，①错误；，②错误； ，③正确，④错误 故答案为：③ 【点睛】本题考查根据直观图还原图形的问题，关键是明确斜二测画法的基本原则，进而还原得到原图形的长度和角度关系. 14．已知一个圆锥的底面半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则过该圆锥顶点的平面截该圆锥所得截面面积的最大值为 . 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，求出圆锥母线长，再求出圆锥轴截面等腰三角形的顶角，进而求出截面面积的最大值. 【详解】设圆锥母线长为，依题意，，解得， 设圆锥轴截面等腰三角形顶角为，则，， 设过该圆锥顶点的平面截该圆锥所得截面等腰三角形顶角为， 该截面三角形面积，当且仅当时取等号， 所以所求最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和． （1）求圆台的高； （2）求截得此圆台的圆锥的母线长． 【答案】(1) . (2) . 【分析】（1）作出圆台的轴截面图示，利用勾股定理计算相关长度；（2）将轴截面的梯形补形成三角形，利用相似的知识去计算出母线长. 【详解】（1）如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形，，分别为，的中点，作于点，连接. 由已知可得上底半径，下底半径，且腰长， ∴，即圆台的高为. （2）如图，延长，交于点，设截得此圆台的圆锥的母线长为，则由，得，即，∴即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.    【点睛】本题考查圆台的相关量的简单计算，难度一般.处理圆台有关问题时一定要将圆台和圆锥联系在一起，有时利用圆锥能很方便解决圆台问题. 16．(本小题满分15分)一个几何体的三视图如图所示，画出这个几何体的直观图. 【答案】见解析. 【分析】先由三视图确定这个组合体是由哪些基本几何体怎样组合而成的，然后由直观图的画法作图． 【详解】易知几何体上部是一个球，下部是一个倒放的圆锥，此时球的直观图只要画一个竖立的圆即可， 以圆锥顶点为原点，圆锥高所在直线为轴，水平面上两条垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，斜二测画法中，，轴表示水平面，轴与轴垂直，轴与夹角为45°，平行于轴、轴的线段仍平行于轴、轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行轴，但长度为原来的一半．画出图形后，擦去坐标轴得直观图． 如图所示： 【点睛】本题考查空间几何体的斜二测画法，考查三视图，属于基础题． 17．(本小题满分15分)如图，圆台的上、下底面半径分别为5cm，10cm，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面转到点.求：    （1）绳子的最短长度； （2）在绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离. 【答案】（1）50cm；（2）4cm 【分析】（1）根据题意,将圆台展开成平面图形,由两点间距离最短可得绳子即为所求的线段长.由圆台上下底面的半径,结合相似即可求得的长.根据弧长、圆心角、半径关系,可在扇形中求得圆心角.进而由勾股定理求得最短距离的长度. （2）过点作于点,交于点,则的长度为所求最短距离.利用等面积法可求得,进而求得的长度. 【详解】（1）如图,绳子的最短长度为侧面展开图中的长度.    因为圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm 所以, 母线长,代入可得, 所以. 设,由, 解得. 所以. 即绳子的最短长度为50cm. （2）过点作于点,交于点,则的长度为所求最短距离. 因为, 所以. 故,即上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4cm. 【点睛】本题考查了圆台的展开图及表面最短距离的求法,相似在求线段长时的应用,对展开图各线段关系要熟练掌握,属于中档题. 18．(本小题满分16分)如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)图象见解析 (2)5， 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】（1）得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， ∴四边形的面积为． 19．(本小题满分17分)某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）作交于，利用勾股定理求解即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解． 【详解】（1）如图1，作交于， 易得， 则，则圆台的高为． （2）圆台的轴截面面积为：． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为， 设的中点为，连接（如图2）， 可得， 则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练07 8.1 基本立体图形、8.2立体图形的直观图 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B D A B B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC AD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．③ 14．/0.5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） (1) . (2) . 【分析】（1）作出圆台的轴截面图示，利用勾股定理计算相关长度；（2）将轴截面的梯形补形成三角形，利用相似的知识去计算出母线长. 【详解】（1）如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形，，分别为，的中点，作于点，连接. 由已知可得上底半径，下底半径，且腰长， ∴，即圆台的高为. （2）如图，延长，交于点，设截得此圆台的圆锥的母线长为，则由，得，即，∴即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.    【点睛】本题考查圆台的相关量的简单计算，难度一般.处理圆台有关问题时一定要将圆台和圆锥联系在一起，有时利用圆锥能很方便解决圆台问题. 16．（本小题满分15分）见解析. 【分析】先由三视图确定这个组合体是由哪些基本几何体怎样组合而成的，然后由直观图的画法作图． 【详解】易知几何体上部是一个球，下部是一个倒放的圆锥，此时球的直观图只要画一个竖立的圆即可， 以圆锥顶点为原点，圆锥高所在直线为轴，水平面上两条垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，斜二测画法中，，轴表示水平面，轴与轴垂直，轴与夹角为45°，平行于轴、轴的线段仍平行于轴、轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行轴，但长度为原来的一半．画出图形后，擦去坐标轴得直观图． 如图所示： 【点睛】本题考查空间几何体的斜二测画法，考查三视图，属于基础题． 17．（本小题满分15分）（1）50cm；（2）4cm 【分析】（1）根据题意,将圆台展开成平面图形,由两点间距离最短可得绳子即为所求的线段长.由圆台上下底面的半径,结合相似即可求得的长.根据弧长、圆心角、半径关系,可在扇形中求得圆心角.进而由勾股定理求得最短距离的长度. （2）过点作于点,交于点,则的长度为所求最短距离.利用等面积法可求得,进而求得的长度. 【详解】（1）如图,绳子的最短长度为侧面展开图中的长度.    因为圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm 所以, 母线长,代入可得, 所以. 设,由, 解得. 所以. 即绳子的最短长度为50cm. （2）过点作于点,交于点,则的长度为所求最短距离. 因为, 所以. 故,即上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4cm. 【点睛】本题考查了圆台的展开图及表面最短距离的求法,相似在求线段长时的应用,对展开图各线段关系要熟练掌握,属于中档题. 18．（本小题满分16分）(1)图象见解析 (2)5， 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】（1）得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， ∴四边形的面积为． 19．（本小题满分17分）(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）作交于，利用勾股定理求解即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解． 【详解】（1）如图1，作交于， 易得， 则，则圆台的高为． （2）圆台的轴截面面积为：． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为， 设的中点为，连接（如图2）， 可得， 则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $