周周练11 8.6 空间直线、平面垂直（数学人教A版必修第二册）

2025-2026学年高一下学期数学周周练11 8.6 空间直线、平面垂直 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B A D D B A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BCD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． / 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） 证明见解析 【解析】要证平面，即证平面内的两条相交直线，显然，再寻找一条直线垂直于，由平面可得，从而得证本题。 【详解】证明：∵底面是正方形， . 平面，平面， . 又，平面，平面. 平面. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理，证明的关键是对定理中的每一条件都要证明到位。 16．（本小题满分15分）(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理求证； （2）根据线线垂直，利用线面垂直定理证明. 【详解】（1）因为，是的中点，所以. 在中，， 由已知，所以，所以. 又平面， 所以平面. （2）因为，是的中点， 所以. 由(1)知. 又因为平面， 所以平面. 17．（本小题满分15分）（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）若要证明线面垂直，只要证明该直线垂直于平面内的两条相交直线，结合图像，利用线面关系即可得解； （2）要求线面角的正弦值，先确定线面角，然后解三角形即可. 【详解】（1）证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形， ∴AB1⊥BA1. 由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1. 又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1， ∴A1C1⊥平面AA1B1B. 又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1. 又∵BA1∩A1C1＝A1， ∴AB1⊥平面A1BC1. （2）连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝B1C1＝. 在Rt△A1DA中，AD＝. ∴sin∠A1DA＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查了立体几何的线面垂直的证明，考查了几何法求线面角的大小，有一定的计算量属于中档题，本题的关键有： （1）通过线面垂直关系得到线线垂直，从而得到线面垂直； （2）几何法求线面角的关键是先确定线面角，进而解三角形计算. 18．（本小题满分16分）（1）见解析（2） 【分析】由已知可得平面ABCD，得到求解三角形证明，再由线面垂直的判定可得平面从而得到；由底面ABD，得 到平面AEC的距离为再求出三角形AEC的面积，则三棱锥的体积可求． 【详解】证明：平面ABCD，平面ABCD，． 在中，，，， 同理，则有， ，即， 又，平面． 又平面， ； 解：底面ABD， 到平面AEC的距离为． ， 从而． 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，考查棱锥的体积公式的应用，是中档题． 19．（本小题满分17分）（1）；（2）. 【分析】（1）延长到，使得，连接，，证明，得到（或其补角）是直线与所成的角，取的中点，连接，再由题中数据，即可求出结果； （2）由（1）知为的中点，连接，，设点到平面的距离为，根据题中数据，由等体积法，借助，即可求出结果. 【详解】（1）如图，延长到，使得，连接，. 由，，得四边形为平行四边形，从而. （或其补角）是直线与所成的角. 平面，，. 又，，， 取的中点，连接，则，， 则. （2）由（1）知为的中点，如图，连接，， 设点到平面的距离为， 平面，，. 又，，，， ，， 又， 由，得. 即， 解得. 【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，以及点到面的距离，熟记异面直线所成角的概念，用等体积法求点到面的距离即可，属于常考题型. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练11 8.6 空间直线、平面垂直 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知平面α，直线m，n满足，，则“n⊥m”是“n⊥α”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 3．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若，AB=BC=1，则异面直线B1C1与AC所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为　　 A．相交 B．平行 C．异面而且垂直 D．异面但不垂直 5．如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ） A．与垂直 B．与垂直 C．与异面 D．与异面 6．如图，在四边形中，，，，将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．是正三角形 D．四面体的体积为 7．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为，如果这些斜线与平面成等角，有如下结论： ①是正三角形； ②垂足是的内心； ③垂足是的外心； ④垂足是的垂心. 其中正确结论的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（     ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是（     ） A． B． C． D． 10．设为菱形所在平面外一点，与交于为上（异于）的一点，则（    ） A． B．与异面 C．若为的中点，则平面 D．若，则平面 11．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．与平面所成的角等于与平面所成的角 D．与所成的角等于； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，在长方体的各条棱所在直线中， （1）与直线AB垂直的直线有 条； （2）与直线AB异面且垂直的直线有 条； （3）与直线AB和都垂直的直线有 条； （4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线 ． 13．如图，在正方体中，O为线段AC的中点，点E在线段上，则直线OE与平面所成角的余弦值的范围是 . 14．在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面. 16．如图，在三棱锥中，，是的中点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求证：平面. 17．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1. （1）求证：AB1⊥平面A1BC1； （2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值. 18．如图，在长方体中，，，点E是线段AB的中点． 求证：； 求三棱锥的体积． 19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，垂直于和，侧棱底面，且，. （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练11 8.6 空间直线、平面垂直 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知平面α，直线m，n满足，，则“n⊥m”是“n⊥α”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据线面垂直的性质定理，即可得答案. 【详解】解：由直线m，n满足，，则时，n与可垂直，可不垂直， 当，且，根据线面垂直的性质定理，可以得到， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】B 【分析】根据线面与面面的位置关系逐一判断即可 【详解】对于A：，且，则，故A错误； 对于B：一条直线垂直于平面，则与这条直线平行的直线也垂直于这个平面，易知B正确； 对于C：，且，则或或n与相交均有可能，故C错误； 对于D：，且，则则或或n与相交均有可能，故D错误； 故选：B 3．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若，AB=BC=1，则异面直线B1C1与AC所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由BC∥B1C1，所以∠ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成角在可得答案. 【详解】因为BC∥B1C1，所以∠ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成角，因为，AB=BC=1，所以，所以异面直线B1C1与AC所成角为． 故选：A. 4．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为　　 A．相交 B．平行 C．异面而且垂直 D．异面但不垂直 【答案】D 【详解】解：利用展开图可知，线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D 5．如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ） A．与垂直 B．与垂直 C．与异面 D．与异面 【答案】D 【详解】如图所示，连结，由几何关系可得点为的中点，且， 由三角形中位线的性质可得：，即与不是异面直线， 很明显，与异面， 由几何关系可得：，则， 综上可得，选项D中的结论不成立. 本题选择D选项. 6．如图，在四边形中，，，，将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．是正三角形 D．四面体的体积为 【答案】B 【解析】对于A可利用反证法说明真假；对于B可证平面，可得；对于C由平面可知三角形为直角三角形；对于D求出四面体的体积即可判断真假. 【详解】，，，平面平面，由与不垂直，，知与平面不垂直，仅与平行的直线垂直，故A错误； 由，平面平面，易得平面，，又由，，可得，则平面，，故B正确； 由平面，得，即是直角三角形，故C错误； 四面体的体积选，故D错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的性质及线面垂直的判定与性质，属于中档题. 7．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为，如果这些斜线与平面成等角，有如下结论： ①是正三角形； ②垂足是的内心； ③垂足是的外心； ④垂足是的垂心. 其中正确结论的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】先设平面外一点及其在该平面内的射影，得到平面，根据这些斜线与平面成等角，可得，进而可得出结果. 【详解】设平面外一点及其在该平面内的射影， 则平面. 由已知可得全等， 所以， 所以为的外心， 只有③正确. 故选A 【点睛】本题主要考查线面垂直的应用，熟记线面垂直的判定定理以及性质即可，属于常考题型. 8．如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（     ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【解析】根据正方形的特点，可得，，然后根据线面垂直的判定定理，可得结果. 【详解】由题意：，， ，平面 所以平面正确，D不正确；. 又若平面，则，由平面图形可知显然不成立； 同理平面不正确； 故选：A 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，属基础题. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】采用逐一验证法，结合线线位置关系以及线面垂直的判定定理，可得结果. 【详解】对于A，由与所成角为， 可得直线与平面不垂直； 对于B，由，，， 可得平面； 对于C，由与所成角为， 可得直线与平面不垂直； 对于D，连接，由平面， 可得，同理可得， 又，所以平面. 故选：BD 【点睛】本题考查线线位置关系，还考查线面垂直的判定定理，属基础题. 10．设为菱形所在平面外一点，与交于为上（异于）的一点，则（    ） A． B．与异面 C．若为的中点，则平面 D．若，则平面 【答案】BCD 【分析】利用异面直线的判定定理判断AB；利用线面平行的判定推理判断C；利用线面垂直的判定推理判断D. 【详解】对于AB，在菱形中，是的中点，平面，平面， ，而平面，因此与与都是异面直线，A错误，B正确； 对于C，在菱形中，是的中点，为的中点，则， 而平面，平面，因此平面，C正确； 对于D，由，是的中点，得，而，， 平面，因此平面，D正确. 故选：BCD 11．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．与平面所成的角等于与平面所成的角 D．与所成的角等于； 【答案】ABC 【分析】应用线面垂直判定定理判断A，B，应用线面角定义及边长判断C，应用异面直线所成角判断D. 【详解】∵底面，底面，∴，平面，∴平面， 平面，所以，A选项正确； ∵底面，底面，∴，平面，∴平面，B选项正确； 设与的交点为，连接， 则与平面所成的角就是，与平面所成的角就是， 因为，所以，C选项正确； 与所成的角是与所成的角，即等于， ，所以与所成的角不等于，D选项错误； 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，在长方体的各条棱所在直线中， （1）与直线AB垂直的直线有 条； （2）与直线AB异面且垂直的直线有 条； （3）与直线AB和都垂直的直线有 条； （4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线 ． 【答案】 / 【分析】根据线线垂直的知识确定正确结论. 【详解】（1）与直线垂直的直线有：，共条. （2）与直线异面且垂直的直线由，共条. （3）与直线和都垂直的直线有，共条. （4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线. 故答案为：；；； 13．如图，在正方体中，O为线段AC的中点，点E在线段上，则直线OE与平面所成角的余弦值的范围是 . 【答案】 【分析】求出点到平面的距离，再求出线段的取值范围，利用线面角的正弦公式求解. 【详解】令正方体的棱长为2，由，得四边形为平行四边形， 则，而平面，平面，于是平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离， ，，由， 得，解得，矩形中，O为线段AC的中点， 则，令直线OE与平面所成的角为，则， 所以直线OE与平面所成角的余弦值的范围是. 故答案为： 14．在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为 . 【答案】 【分析】利用等体积法求得点到平面的距离，进而可求得点到平面的距离的最大值. 【详解】因为平面，，平面，所以，， 又，，所以，又， 所以，因为，， 所以，所以，设到平面的距离为， 等体积法可得，即，解得， 所以点到平面的距离为， 又，所以点到平面的距离的最大值为. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】要证平面，即证平面内的两条相交直线，显然，再寻找一条直线垂直于，由平面可得，从而得证本题。 【详解】证明：∵底面是正方形， . 平面，平面， . 又，平面，平面. 平面. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理，证明的关键是对定理中的每一条件都要证明到位。 16．(本小题满分15分)如图，在三棱锥中，，是的中点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理求证； （2）根据线线垂直，利用线面垂直定理证明. 【详解】（1）因为，是的中点，所以. 在中，， 由已知，所以，所以. 又平面， 所以平面. （2）因为，是的中点， 所以. 由(1)知. 又因为平面， 所以平面. 17．(本小题满分15分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1. （1）求证：AB1⊥平面A1BC1； （2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）若要证明线面垂直，只要证明该直线垂直于平面内的两条相交直线，结合图像，利用线面关系即可得解； （2）要求线面角的正弦值，先确定线面角，然后解三角形即可. 【详解】（1）证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形， ∴AB1⊥BA1. 由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1. 又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1， ∴A1C1⊥平面AA1B1B. 又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1. 又∵BA1∩A1C1＝A1， ∴AB1⊥平面A1BC1. （2）连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝B1C1＝. 在Rt△A1DA中，AD＝. ∴sin∠A1DA＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查了立体几何的线面垂直的证明，考查了几何法求线面角的大小，有一定的计算量属于中档题，本题的关键有： （1）通过线面垂直关系得到线线垂直，从而得到线面垂直； （2）几何法求线面角的关键是先确定线面角，进而解三角形计算. 18．(本小题满分16分)如图，在长方体中，，，点E是线段AB的中点． 求证：； 求三棱锥的体积． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】由已知可得平面ABCD，得到求解三角形证明，再由线面垂直的判定可得平面从而得到；由底面ABD，得 到平面AEC的距离为再求出三角形AEC的面积，则三棱锥的体积可求． 【详解】证明：平面ABCD，平面ABCD，． 在中，，，， 同理，则有， ，即， 又，平面． 又平面， ； 解：底面ABD， 到平面AEC的距离为． ， 从而． 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，考查棱锥的体积公式的应用，是中档题． 19．(本小题满分17分)如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，垂直于和，侧棱底面，且，. （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）延长到，使得，连接，，证明，得到（或其补角）是直线与所成的角，取的中点，连接，再由题中数据，即可求出结果； （2）由（1）知为的中点，连接，，设点到平面的距离为，根据题中数据，由等体积法，借助，即可求出结果. 【详解】（1）如图，延长到，使得，连接，. 由，，得四边形为平行四边形，从而. （或其补角）是直线与所成的角. 平面，，. 又，，， 取的中点，连接，则，， 则. （2）由（1）知为的中点，如图，连接，， 设点到平面的距离为， 平面，，. 又，，，， ，， 又， 由，得. 即， 解得. 【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，以及点到面的距离，熟记异面直线所成角的概念，用等体积法求点到面的距离即可，属于常考题型. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $