10.3 实际问题与二元一次方程组 同步练习 2025—2026学年人教版七年级数学下册

10.3 实际问题与二元一次方程组 同步练习 一、选择题： 1.一块长方形菜园，长是宽的倍，如果长减少米，宽增加米，那么这个长方形就变成一个正方形．设这个长方形菜园的长为米，宽为米，根据题意，得(    ) A. B. C. D. 2.数学家朱世杰所著的四元玉鉴是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：文钱买了甜果和苦果共个，文钱可买个甜果，文钱可买个苦果，问甜果、苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为(    ) A. B. C. D. 3.某校七年级班名同学为“希望工程”捐款，共捐款元，捐款情况如下表： 捐款元 人数 表格中捐款元和元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，若设捐款元的有名同学，捐款元的有名同学，则可得的方程组为(    ) A. B. C. D. 4.一副三角尺按如图所示的方式摆放，且比大若设，，则可得到的方程组为(    ) A. B. C. D. 5.中国古代数学著作算法统宗中记载了这样一道题目，其大意是：用一千八百文钱共买了三百个陶罐和铁罐，其中十六文钱可以买陶罐三个，二十五文钱可以买铁罐四个，问：陶罐、铁罐各有几个？设陶罐有个，铁罐有个，则可列方程组为  (    ) A. B. C. D. 6.某市出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费明明乘坐这种出租车走了，付了元盼盼乘坐这种出租车走了，付了元设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元，则下列方程组正确的是(    ) A. B. C. D. 7.小方、小红和小军三人玩飞镖游戏，各投四支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分为(    ) A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 8.幻方的起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式．如图，现将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则和的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题： 9.如图所示的是九章算术中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项如图所示的算筹图用方程组形式表述出来，就是类似地，图所示的算筹图可以表述为          ． 10.算法统宗中记载了这样一道问题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏三人五个多十个，四人八个两个剩问：有几个牧童几个杏”其大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏若人一组，每组个杏，则多个杏若人一组，每组个杏，则多个杏设牧童的人数是人，杏有个，根据题意，可列方程组为          ． 11.某市中学生排球比赛中，按胜一场得分，平一场得分，负一场得分计算总得分．市第一中学排球队参加了场比赛，保持不败的纪录，共得分，则其中胜了          场． 12.如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等若设每块巧克力的质量为，每个果冻的质量为，则可列方程组为          ． 13.我国古代数学著作九章算术中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何”意思是：假设头牛、只羊，共值金两头牛、只羊，共值金两，那么每头牛、每只羊各值金多少两若设每头牛和每只羊分别值金两和两，列出方程组应为          ． 14.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒长度之和为，此时木桶中水的深度是          ． 15.利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度首先按图方式放置，再交换两木块的位置，按图方式放置，测量的数据如图所示则桌子的高度是          ． 16.“燕几”即“宴几”，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，他编写的燕几图一书是组合家具设计图册，也是现代益智玩具七巧板的萌芽如图给出了燕几图中名为“回文”的桌面组合方式，由长，中，短三种桌子组成，若设每张桌面的宽都为尺，每张长桌的长都为尺，根据图中信息，可列方程组为          ． 三、解答题： 17.某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治，现有一段长为米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成甲工程队每天整治米，乙工程队每天整治米，共用时天． 小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得； 小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______； 得． 请补全括号及横线部分的内容． 求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解写出完整的解答过程 18.某公司生产的两款新能源汽车深受消费者的欢迎该公司生产汽车零部件的甲车间有工人名，乙车间有工人名，因接到加急生产一批新能源汽车的任务，所以该公司新增名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数比分配后乙车间的总人数多设新分配到甲车间的人数是，新分配到乙车间的人数是． 补全下表： 甲 乙 原来人数 新分配人数 分配后现有人数                       求新分配到甲车间、乙车间的工人各有多少名 19.根据图中给出的信息，解答下列问题： 放入一个小球水面升高          ，放入一个大球水面升高          ． 如果要使水面上升到，应放入大球、小球各多少个？ 20.某校初三学生组成甲、乙两个旅行团去某景点旅游，已知甲团人数少于人，乙团人数不超过人下图是三名同学交流的情况根据他们的对话，组织者算了一下，若分别购票，两团总计应付门票费元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费元． 请你判断乙团的人数是否也少于人 求甲、乙两个旅行团各有多少人． 21．贴春联是中国人过年的重要习俗．春节临近，某百货超市用元购进，两种春联进行销售，春联的进价和售价如下表所示．全部销售后可获得利润元． 种春联 种春联 进价元副 售价元副 该超市购进两种春联各多少副？ 由于销量比较好，该超市决定再用元购进这两种春联元正好用完且两种春联均购买，因货品紧俏，批发市场春联涨价，种春联为元副，种春联为元副，请问有哪几种购买方案？ 22.智能快递机器人是一种能够自主感知、识别、分拣快递包裹的设备，大大提高了物流企业的分拣速度和效率已知台甲型智能快递机器人和台乙型智能快递机器人每天一共可分拣快递万件台甲型智能快递机器人比台乙型智能快递机器人每天可多分拣快递万件．求甲、乙两种型号智能快递机器人每台每天分别可分拣快递多少万件 23.随着科技的发展，“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元 求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ 若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车两种型号的汽车均购买，请你帮助该公司设计购买方案； 若该汽车销售公司销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，在中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 24.综合与实践背景住深圳的小颖想给亲朋好友寄送深圳特产． 素材素材她了解到某快递公司的收费标准单位：元千克如下表： 计费单位 收费标准 广东省内 江浙沪地区 首重 续重 素材 电子存单 电子存单 托寄物：深圳特产 目的地：广州 计量质量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：深圳特产 目的地：上海 计量质量：千克 件数： 总费用：元 素材收费说明： 每件快递按送达地分别计算运费 运费计算方式：首重价格续重续重运费首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位不足千克按千克计算． 问题解决 任务根据以上信息，求出，的值 任务小颖给在广东汕头的表哥寄出了千克的深圳特产，她需要支付快递费多少元 任务小颖给在杭州的大姨寄特产，快递费花了元，求这份特产质量的取值范围． 第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案与解析 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，余角和补角．此题注意数形结合，理解平角和直角的概念．此题中的等量关系有： 三角板中最大的角是度，从图中可看出度数的度数； 比大，则的度数的度数度． 【解答】 解：根据平角和直角定义，得方程； 根据比的度数大，得方程． 可列方程组为 故选：．   5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  【解析】提示：设较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为． 因为两根铁棒长度之和为，故可列方程， 又知两根铁棒未露出水面的长度相等，故可知， 据此可列方程组 解得 因此木桶中水的深度为． 15.【答案】  16.【答案】  17.【答案】；甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用时的天数；   见解析，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．  【解析】解：小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意得； 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用时的天数； 得， 故答案为：甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用时的天数； 选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 由题意得：； 解得：， 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据小明同学设的未知数以及所列式子可知小华同学所列方程组即可求解； 从中任选一个方程组组解答即可． 此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 18.【答案】【小题】 【小题】 根据题意得解得 答：新分配到甲车间的工人有名，新分配到乙车间的工人有名．   19.【答案】【小题】 【小题】 设放入大球个、小球个根据题意，得解得答：要使水面上升到，应放入大球个、小球个．   20.【答案】【小题】 解：当甲团人数最多，为人时，乙团人数最少， ， 乙团人数不少于人． 【小题】 设甲团有人，乙团有人， 当甲、乙两团总人数在之间时，有 解得不合题意，舍去 当甲、乙两团总人数超过人时，有 解得 答：甲团有人，乙团有人．   21.【答案】【小题】 解：设购进副种春联，副种春联， 根据题意，得 解得， 答：该超市购进种春联副，种春联副． 【小题】 解：设购进种春联副，种春联副， 根据题意，得， 整理，得． 因为均为正整数， 所以满足题意的值为 所以有种购买方案， 方案一：购买副种春联，副种春联； 方案二：购买副种春联，副种春联； 方案三：购买副种春联，副种春联； 方案四：购买副种春联，副种春联．  22.【答案】设甲型智能快递机器人每天分拣万件，乙型智能快递机器人每天分拣万件。 根据题意，列方程组：解得：。 答：甲型智能快递机器人每台每天分拣万件，乙型智能快递机器人，每台每天分拣万件。 23.【答案】【小题】 解：设种汽车每辆万元，种汽车每辆为万元， 则可列二元一次方程组为 解得： 答：种型号的汽车每辆进价分别为万，种型号的汽车每辆进价分别为万元 【小题】 设种汽车辆，种汽车辆，则可列二元一次方程为 符合题意的正整数解有： 所以公司购买汽车的方案有三种：种汽车辆，种汽车辆；种汽车辆，种汽车辆；种汽车辆，种汽车辆． 【小题】 公司购买汽车三种方案的利润分别是：元； 元 元 方案的利润最大，最大利润是元．   24.【答案】【小题】 解：由题意得解得． 【小题】 元． 答：她需要支付快递费元． 【小题】 设这份特产质量的最大值为千克，则，解得，这份特产质量的取值范围为大于千克且不超过千克．   第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $10.3实际问题与二元一次方程组同步练习 一、选择题： 1.一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，那么这个长方形就变成一个正方形.设 这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得() A长，4 B.fx=3y, x-3=y+4 c3y+4 D+3y-4 2.数学家朱世杰所著的四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意 是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果、苦果各买了 多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为() x+y=1000, x-y=1000, A.311 4 B.{1 4 (gx+y=999 (9x+7y=999 x-y=1000, (x+y=999, C. x+号y gy=999 (x+ D.34 9y=1000 3.某校七年级(2)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款400元，捐款情况如下表： 捐款/元5101520 人数 12●●3 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，若设捐款10元的有x名同学，捐款15元的 有y名同学，则可得的方程组为() 095 B{57+i02500 {o+i250 D{4st022a0 4.一副三角尺按如图所示的方式摆放，且∠1比∠2大50°.若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到的方程组为() 4g+=i80 B.0 c+y=0 n货+y0 第1页，共8页 5.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题目，其大意是：用一千八百文钱共买了三百个陶罐 和铁罐，其中十六文钱可以买陶罐三个，二十五文钱可以买铁罐四个，问：陶罐、铁罐各有几个？设陶罐 有x个，铁罐有y个，则可列方程组为() A24+2300180, B.3x+4y=1800, x+y=300 眉+ C. +军y=1800, D.层x+云y=180, (3 x+y=300 (x+y=300 6.某市出租车起步价所包含的路程为0~3km,超过3km的部分按每千米另收费.明明乘坐这种出租车走了 7km,付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km,付了28元.设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每 千米收费y元，则下列方程组正确的是() A{3x+7-3y=16 3x+(13-3)y=28 B化+，1 e+8-w1 D6+8a32y1a 7.小方、小红和小军三人玩飞镖游戏，各投四支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如 图，则小红的得分为() 小方24分 小红分 小军28分 A.23分 B.25分 C.30分 D.32分 8.幻方的起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式.如图②，现将 9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则α和b的值分别是() 洛5 4b-2 12 2a+1 7 3b-3 2a ① ② A.-4,3 B.-4,-3 C.4,3 D.4,-3 二、填空题： 第2页，共8页 9.如图所示的是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与 相应的常数项.如图1所示的算筹图用方程组形式表述出来，就是十3类似地，图2所示的算筹图 可以表述为 m 1 三 图1 图2 10.算法统宗》中记载了这样一道问题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏.三人五个多十个，四人八 个两个剩问：有几个牧童几个杏？”其大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏若3 人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏.设牧童的人数是x人，杏有y个，根 据题意，可列方程组为一· 11.某市中学生排球比赛中，按胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分计算总得分.市第一中学排球队 参加了8场比赛，保持不败的纪录，共得18分，则其中胜了场. 12.如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等若设每块巧克力的 质量为xg,每个果冻的质量为yg,则可列方程组为一· 巧克力 果冻 50g砝码 13.我国古代数学著作仇章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五、直 金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两， 那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为 第3页，共8页 14.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露 出水面的长度是它的 两根铁棒长度之和为220cm,此时木桶中水的深度是 cm. 15.利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图 ②方式放置，测量的数据如图所示则桌子的高度是一· 图2 16.“燕几”即“宴几”，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，他编写的燕几图》一 书是组合家具设计图册，也是现代益智玩具七巧板的萌芽如图给出了燕几图》中名为“回文”的桌面组 合方式，由长，中，短三种桌子组成，若设每张桌面的宽都为m尺，每张长桌的长都为尺，根据图中信 息，可列方程组为一 2 燕 A(8.9.8) m 固 三、解答题： 17.某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治，现有一段长为180米的河道整治任务由 甲、乙两个工程队先后接力完成.甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天. (1)小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米. 根据题流，利十+(8020 小华同学：设整治任务完成后，m表示一一一，n表示一-一-； 得m+n=20 (8m+12m=180 第4页，共8页 请补全括号及横线部分的内容. (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解.（写出完整的解答过程） 18.某公司生产的两款新能源汽车深受消费者的欢迎该公司生产汽车零部件的甲车间有工人50名，乙车间 有工人60名，因接到加急生产一批新能源汽车的任务，所以该公司新增40名工人分配到甲、乙两个车间， 分配后甲车间的总人数比分配后乙车间的总人数多10.设新分配到甲车间的人数是x,新分配到乙车间的人 数是y. (1)补全下表： 甲 乙 原来人数 50 60 新分配人数 X 分配后现有人数 (2)求新分配到甲车间、乙车间的工人各有多少名？ 19.根据图中给出的信息，解答下列问题： 放入体积相同的小球 132 cm 55 cm 放入大球、小球共10个 50 cm 26 cm 放入体积相同的大球 32 cm (1)放入一个小球水面升高cm,放入一个大球水面升高cm. (2)如果要使水面上升到50cm,应放入大球、小球各多少个？ 第5页，共8页 20.某校初三学生组成甲、乙两个旅行团去某景点旅游，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人 下图是三名同学交流的情况.根据他们的对话，组织者算了一下，若分别购票，两团总计应付门票费1392 元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元. 购票150张， 购票51~100张， 购票100张以上 每张13元. 每张11元 每张9元 (1)请你判断乙团的人数是否也少于50人； (2)求甲、乙两个旅行团各有多少人· 21.贴春联是中国人过年的重要习俗.春节临近，某百货超市用3960元购进A,B两种春联进行销售，春 联的进价和售价如下表所示.全部销售后可获得利润810元， A种春联 B种春联 进价（元/副） 15 12 售价（元/副） 18 14.5 (1)该超市购进两种春联各多少副？ (2)由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联(1500元正好用完且两种春联均购买)，因货 品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？ 第6页，共8页 22.智能快递机器人是一种能够自主感知、识别、分拣快递包裹的设备，大大提高了物流企业的分拣速度 和效率.已知1台甲型智能快递机器人和3台乙型智能快递机器人每天一共可分拣快递34万件；4台甲型智能 快递机器人比3台乙型智能快递机器人每天可多分拣快递16万件.求甲、乙两种型号智能快递机器人每台 每天分别可分拣快递多少万件？ 23.随着科技的发展，“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升.某汽车 销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计45万元；3辆A 型汽车、1辆B型汽车的进价共计85万元 (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公 司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利10000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在(2)中的购买方 案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 第7页，共8页 24.综合与实践[背景]住深圳的小颖想给亲朋好友寄送深圳特产 [素材]素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 收费标准 计费单位 广东省内江浙沪地区 首重 a+2 续重 b b+4 素材2： 电子存单1 电子存单2 托寄物：深圳特产 托寄物：深圳特产 目的地：广州 目的地：上海 计量质量：2千克 计量质量：5千克 件数：1 件数：1 总费用：12元 总费用：36元 素材3收费说明： ①每件快递按送达地分别计算运费： ②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费.首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重 单位（不足1千克按1千克计算） [问题解决] (1)任务1：根据以上信息，求出a,b的值； (2)任务2：小颖给在广东汕头的表哥寄出了2.8千克的深圳特产，她需要支付快递费多少元？ (3)任务3：小颖给在杭州的大姨寄特产，快递费花了66元，求这份特产质量的取值范围. 第8页，共8页