精品解析：江苏泰州市姜堰区2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题

七年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知∠1＝40°，则∠1的余角的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 140° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】根据余角的定义——如果两个角的和是90°，那么这两个角互余即可作答． 【详解】解：∵∠1=40°，∴∠1的余角的度数=90°-∠1=50°．故选B． 2. 下列图形分别绕虚线旋转一周，得到的立体图形是圆锥的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点、线、面、体，理解“点动成线”“线动成面”“面动成体”是解题的关键，根据选项逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 绕直线l旋转后得到的图形为一个球体； B.选项中的图形旋转后为圆柱； C.可得其旋转后的几何体为圆锥； D.可知其绕直线l旋转后得到的图形为一个圆台；  故选C． 3. 下列计算结果最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数乘方．根据负整数指数幂、零指数幂、有理数乘方的运算法则分别计算各选项的值，再比较大小得出结果． 【详解】解：∵，，，，且， ∴计算结果最大的是， 故选：A． 4. 《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”大意：若干人共同出资买羊，每人出5钱，则差45钱；每人出7钱，则差3钱．人数和羊价各是多少?设有人，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设有人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有人， 由题意得，， 故选：． 5. 在实数范围内,下列式子一定不可能相等的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，根据整式的加减运算法则逐项判断即可．熟练掌握整式的加减及乘法分配律是解题的关键． 【详解】解：A、，∴与一定相等； B、∵，∴与一定相等； C、， 当时，即， ∴存在相等的可能； D、，而不可能等于， ∴与一定不可能相等． 故选：D． 6. 已知线段，动点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，为的中点，为的中点，当运动时，下列一定不会发生变化的是（ ） A. 的长度 B. 的值 C. 的长度 D. 的值 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，整式的加减的应用． 根据分两种情况，结合线段中点的定义，即可求解． 【详解】解：设动点P运动时间为t秒，则， ∵为的中点，为的中点， ∴， 当P在线段上时，此时，，， ∴，即的长度会变化； ； ，为定值； ，为定值； 当P在线段的延长线上时， 若，此时，， ∴，即的长度会变化； ； ，为定值； ； 若，此时，， ∴，即的长度会变化； ； ，为定值； ； 综上所述，的长度不会发生变化． 故选：C 第二部分非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若、互为倒数，则、之间的关系可以写成__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积等于1． 本题考查倒数的概念，正确理解概念是解题的关键． 【详解】解：因为a和b互为倒数，所以它们的乘积等于1，即． 故答案为：． 8. 如果与互补，与互余，则与之间的数量关系是___________. 【答案】∠1=90°+∠3 【解析】 【详解】∵与互补，与互余， ∴∠1+∠2=180°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=180°-∠2，∠2=90°-∠3， ∴∠1=180°-（90°-∠3）=90°+∠3. 9. 数据可以用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据可以用科学记数法表示为． 故答案为： 10. 若单项式与是同类项，则的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查同类项，代入求值．根据同类项中相同字母的次数相等可以直接得到m，n的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴， 故答案为：． 11. 若，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了幂的乘方．将8写成2的幂，然后根据同底数幂相等则指数相等的原则求解即可． 【详解】解：∵， ∴. ∴， 解得， 故答案为：3 12. 如图，在四边形中，的外角是的3倍，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角度的计算，根据的外角是的3倍，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 故答案为：． 13. 过某一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形的边数是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的对角线规律，解题的关键是利用多边形的对角线把多边形分成个三角形． 边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，然后即可求解． 【详解】解：，即， 故答案为：6； 14. 已知关于的方程和的解相同，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先解第一个方程求出 的值，再代入第二个方程求解 的值．本题考查了同解方程，一元一次方程的求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：解方程 ， 移项得 ， 即 ， 解得 ． 将 代入方程 ， 得 ， 展开得 ， 即 ， 移项得 ， 即 ， 解得 ． 故答案为：． 15. “七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”，若“七巧板”拼成的正方形边长为6，则图中阴影部分面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了“七巧板”的相关知识．根据题意得到图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的，据此进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，“七巧板”拼成的正方形的面积为， 根据“七巧板”的特征可知，图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的， ∴则图中阴影部分面积为， 故答案为： 16. 下图是根据一定规律设置的密码，则第四个图的密码是__________． 【答案】09072445 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律、数字类规律探索，根据密码准确找到数字间的运算规律是解题的关键．结合密码判断给定图形４个数的运算规律即可求解． 【详解】解：对于密码04140836， ， ， ， ， 对于密码09052136， ， ， ， … 密码的规律为：四次运算得到的两位数从左向右排列而成的八位数即为密码，如果运算结果为一位数，前面补0得到两位数．每一个图形中四个数可以看作两行，两列． 第一次运算：第1列两数相加， 第2次运算：第2列两数相加， 第3次运算：第1行两数的和与左下角的数相乘的积， 第4次运算：第1列两数的和与右下角的数相乘的积， 如图， ，记为：， ，记为：， ，记为：， ，记为：， 该图形的密码为：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法，积的乘方和幂的乘方： （1）利用同底数幂除法计算即可； （2）先根据积的乘方和幂的乘方计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解题步骤是解答本题的关键． （1）方程根据移项，合并同类项，系数化为1，求出未知数的值即可； （2）方程根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出未知数的值即可． 【小问1详解】 解：， 移项合并得， 解得； 【小问2详解】 解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得． 19. 如图是一个棱柱形状的食品包装盒的侧面展开图． （1）请写出这个包装盒的几何体的名称：________； （2）若，，，，计算这个多面体的表面积． 【答案】（1）三棱柱 （2） 【解析】 【分析】要考查了三棱柱的展开图与几何体之间的联系和表面积的求法； （1）根据图示可知有三个长方形和2个三角形组成，故可知是三棱柱； （2）两个底面积+侧面积是三棱柱的表面积． 【小问1详解】 解：共有3个长方形组成侧面，2个三角形组成底面，故是三棱柱； 故答案为：三棱柱； 【小问2详解】 （2）∵，，，， ∴表面积为． 20. 如图，，，试说明． 请完成下列解答过程．解：因为， 所以（__________）． 又因为（__________）， 所以__________（等量代换）． 因为，所以__________（等量代换）， 所以（__________）． 【答案】两直线平行，同位角相等；对顶角相等；；；同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质定理解答即可． 【详解】解：因为， 所以（两直线平行，同位角相等）． 又因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 因为， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；对顶角相等；；；同旁内角互补，两直线平行 21. 小明在预习课本时看到幂的运算章节图里有这样一句话：“乘方的意义、乘法运算律是研究幂的运算性质的基础”，我们知道同底数幂的乘法运算性质为：．（、是正整数）． （1）请结合课本的这句话写出这一运算性质的推导过程； （2）解决问题：已知，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）16 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法运算法则的推导． （1）根据乘方的意义解答即可； （2）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵，，∴． 22. 如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点、、都是格点． （1）仅用直尺过点画，使； （2）仅用直尺画出的高； （3）比较大小：_____（填“>”、“=”或“<”），理由是__________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查相交线与平行线： （1）将直线沿着平移，当点到达点时，直线即为所求； （2）根据和，可求得； （3）根据“垂线段最短”，即可求得答案． 【小问1详解】 如图所示，直线即为所求． 【小问2详解】 如图所示，线段即为所求． 如图所示，可知． 因为， 所以． 所以． 所以． 【小问3详解】 根据图形可知，，理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短 23. 某地居民用水收费标准如表： 家庭每年用水量 收费 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元/ （1）小亮家去年实际用水量为，则小亮家去年应缴水费多少元？ （2）小明家去年缴水费1200元，他家去年实际用水量是多少？ 【答案】（1）960元 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据表格中收费标准计算即可； （2）先判断小明家去年的用水量超过，然后设小明家去年用水量为，然后根据表格数据建立方程求解即可． 【小问1详解】 解： 答：小亮家去年应缴水费元； 【小问2详解】 解： 小明家去年的用水量超过 设小明家去年用水量为 根据题意，得 解得 答：小明家去年用水量为． 24. 如图，直线，相交于点，平分，． （1）求的大小； （2）若，请在图中画出所有符合要求的图形，并求出此时的大小． 【答案】（1） （2）图形见解析，或 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，对顶角相等，几何图形中角度的计算； （1）根据已知得出，根据对顶角相等得出，根据角平分线的定义得出即可求解； （2）分在内和内两种情况分别画出图形，即可求解． 【小问1详解】 解：因为 所以 因为平分 所以． 【小问2详解】 解：因为 所以 因为 所以或． 25. 在学习课本132页的数学探究《月历中的方程问题》后，小明和小红对2026年1月份的月历进行探究，小明用如图1所示的“T”字形框在月历中任意框出5个数，设“T”字形框中的五个数分别为，，，，． （1）若，则__________； 若，则__________（用含的代数式表示）； （2）在移动“T”字形框的过程中小明说被框住的5个数之和可能为46，小红说被框住的5个数之和可能为71，他们的说法对吗？请说明理由； （3）小丽设计了如图2所示的“倒T”字形框，框住的五个数分别为，，，，，当时，是否存在的值，使得“倒T”字形框中的五个数与“T”字形框中的五个数有且仅有两个数对应相等，若存在，直接写出符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6； （2）小明说法正确，小红说法不正确，理由见解析 （3）存在，b的值为16或26或30 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）直接结合日历作答即可； （2）分别表示出，，，与的关系，进而列方程求解的值，判断在日历上是否成立即可； （3）分别表示出，，，与的关系，找出所有对应情况，列方程求解的值，进而得到的值，判断在日历上是否成立即可． 【小问1详解】 解：由日历可知，若，则；若，则； 故答案为：6；； 【小问2详解】 解：由日历可知，，，，， 由题意可得 解得，成立，所以小明说法正确； 解得，根据提供月历，不能框住5个数，故舍去，所以小红说法不正确； 【小问3详解】 解：由（2）知，，，， ∵， 由日历可知，，，，， 若有且仅有两个数对应相等， 则对应且对应 即， 解得， 此时，在日历上成立； 或对应且对应 即， 解得， 此时，在日历上成立； 或对应且对应 即 解得， 此时，在日历上不成立； 或对应且对应 即 解得， 此时，在日历上成立； 或对应且对应 即 解得， 此时，在日历上不成立； 综上所述，存在，b的值为16或26或30． 26. 综合与实践：后视镜的视角问题 【素材一】光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【素材二】三角形三个内角的和等于． 如图2，小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形表示，司机位于车内左前方，眼睛用点表示，，左侧后视镜用线段表示，左后视镜打开后与形成的可在一定范围内调节，不小于，不大于，点为线段上的任意一点，且点为入射点，为法线，图上各点均在同一平面内． 【问题解决】 （1）如图2，当时， ①若，求反射角的大小； ②若入射光线恰好平行于，求此时的大小； 【拓展应用】 （2）如图3，，为入射光线，，为反射光线，，为法线．司机在调节左侧后视镜(即的大小)和移动眼睛的位置时，满足大于．若的大小始终不变，试判断的值是否会发生变化，并说明理由； （3）汽车起步时，司机要观察汽车周围环境，如图4，汽车尾部左侧有一障碍物，但他坐在驾驶位上无法看清该障碍物全貌，此时_______(填写序号)，司机就可以通过左侧后视镜观察到该障碍物全貌． ①人眼沿射线方向向前移动； ②人眼沿射线方向向右移动； ③后视镜绕点逆时针转动； ④后视镜绕点顺时针转动． 【答案】（1）①，②； （2）解：的值不会发生变化，理由如下： 设与交于点， ∵是入射光线，是反射光线，是法线， ∴，． 同理，是入射光线，是反射光线，是法线， ∴，． ∴. ∵， ∴， 移项化简，得． ∵为定值， ∴的值始终不变． （3）①②④ 【解析】 【分析】本题结合光的反射定律考查平行线的性质、三角形内角和定理，关键是通过构建角的等量关系，将光学规律与几何定理结合，转化未知角为已知角求解． （1）利用，结合求出与交点处的同旁内角；再根据法线与镜面垂直，结合求出相关角；最后在三角形中用内角和定理算出反射角． ②先由法线与镜面垂直求出；再根据、得及内错角相等，结合反射角等于入射角得到；最后利用平行线的内错角相等求出． （2）先根据反射定律，将转化为，转化为；再利用三角形角的关系得到，将转化后的角代入等式；最后通过移项化简，推导得出与定值的关系，判断其值是否变化． （3）分析每种操作对视野范围的影响，人眼沿向前移动或沿向右移动，会减小相关角的度数，增大反射角，扩大视野；后视镜绕点顺时针转动可扩大侧后方视野，逆时针转动则缩小视野；据此排除不符合要求的操作，选出能观察到障碍物全貌的选项． 【详解】（1）①解：如图，设与交于点． ，， ∴， ∴， ， ， ， ∴在中，； ②解：， ， ， ，， ∴，， 根据题意，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①人眼沿射线向前移动，的角度减小，则反射角角度增大，视野范围扩大，符合题意； ②人眼沿射线向右移动，的角度减小，同理，符合题意； ③后视镜绕点逆时针转动，此时入射点上移，的角度增大，则反射角角度减小，视野范围缩小，不符合题意； ④相反，后视镜绕点顺时针转动，可增大视野，符合题意； 故答案为：①②④． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知∠1＝40°，则∠1的余角的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 140° D. 150° 2. 下列图形分别绕虚线旋转一周，得到的立体图形是圆锥的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果最大的是（ ） A. B. C. D. 4. 《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”大意：若干人共同出资买羊，每人出5钱，则差45钱；每人出7钱，则差3钱．人数和羊价各是多少?设有人，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 5. 在实数范围内,下列式子一定不可能相等的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 已知线段，动点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，为的中点，为的中点，当运动时，下列一定不会发生变化的是（ ） A. 的长度 B. 的值 C. 的长度 D. 的值 第二部分非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若、互为倒数，则、之间的关系可以写成__________． 8. 如果与互补，与互余，则与之间的数量关系是___________. 9. 数据可以用科学记数法表示为__________． 10. 若单项式与是同类项，则的值为__________． 11. 若，则__________． 12. 如图，在四边形中，的外角是的3倍，则__________． 13. 过某一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形的边数是_____． 14. 已知关于的方程和的解相同，则的值为__________． 15. “七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”，若“七巧板”拼成的正方形边长为6，则图中阴影部分面积为__________． 16. 下图是根据一定规律设置的密码，则第四个图的密码是__________． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图是一个棱柱形状的食品包装盒的侧面展开图． （1）请写出这个包装盒的几何体的名称：________； （2）若，，，，计算这个多面体的表面积． 20. 如图，，，试说明． 请完成下列解答过程．解：因为， 所以（__________）． 又因为（__________）， 所以__________（等量代换）． 因为，所以__________（等量代换）， 所以（__________）． 21. 小明在预习课本时看到幂的运算章节图里有这样一句话：“乘方的意义、乘法运算律是研究幂的运算性质的基础”，我们知道同底数幂的乘法运算性质为：．（、是正整数）． （1）请结合课本的这句话写出这一运算性质的推导过程； （2）解决问题：已知，，求的值． 22. 如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点、、都是格点． （1）仅用直尺过点画，使； （2）仅用直尺画出的高； （3）比较大小：_____（填“>”、“=”或“<”），理由是__________． 23. 某地居民用水收费标准如表： 家庭每年用水量 收费 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元/ （1）小亮家去年实际用水量为，则小亮家去年应缴水费多少元？ （2）小明家去年缴水费1200元，他家去年实际用水量是多少？ 24. 如图，直线，相交于点，平分，． （1）求的大小； （2）若，请在图中画出所有符合要求的图形，并求出此时的大小． 25. 在学习课本132页的数学探究《月历中的方程问题》后，小明和小红对2026年1月份的月历进行探究，小明用如图1所示的“T”字形框在月历中任意框出5个数，设“T”字形框中的五个数分别为，，，，． （1）若，则__________； 若，则__________（用含的代数式表示）； （2）在移动“T”字形框的过程中小明说被框住的5个数之和可能为46，小红说被框住的5个数之和可能为71，他们的说法对吗？请说明理由； （3）小丽设计了如图2所示的“倒T”字形框，框住的五个数分别为，，，，，当时，是否存在的值，使得“倒T”字形框中的五个数与“T”字形框中的五个数有且仅有两个数对应相等，若存在，直接写出符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 26. 综合与实践：后视镜的视角问题 【素材一】光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【素材二】三角形三个内角的和等于． 如图2，小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形表示，司机位于车内左前方，眼睛用点表示，，左侧后视镜用线段表示，左后视镜打开后与形成的可在一定范围内调节，不小于，不大于，点为线段上的任意一点，且点为入射点，为法线，图上各点均在同一平面内． 【问题解决】 （1）如图2，当时， ①若，求反射角的大小； ②若入射光线恰好平行于，求此时的大小； 【拓展应用】 （2）如图3，，为入射光线，，为反射光线，，为法线．司机在调节左侧后视镜(即的大小)和移动眼睛的位置时，满足大于．若的大小始终不变，试判断的值是否会发生变化，并说明理由； （3）汽车起步时，司机要观察汽车周围环境，如图4，汽车尾部左侧有一障碍物，但他坐在驾驶位上无法看清该障碍物全貌，此时_______(填写序号)，司机就可以通过左侧后视镜观察到该障碍物全貌． ①人眼沿射线方向向前移动； ②人眼沿射线方向向右移动； ③后视镜绕点逆时针转动； ④后视镜绕点顺时针转动． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $