精品解析：浙江省杭州市五区2025-2026学年高二上学期期末数学试题

2025学年第一学期期末学业水平测试 高二数学试题卷（乙卷） 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟； 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！ 3.考试结束，只需上交答题卷． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，为虚数单位，则（ ） A. 13 B. 5 C. －5 D. －5i 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合复数的运算法则，即可求解. 【详解】由复数，可得，则. 故选：A. 2. 抛物线的焦点坐标是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，可得出其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为，则，所以，，， 故该抛物线的焦点坐标为. 故选：D. 3. 已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 4. 2025年春晚语言类节目《借伞》中，一批精美的西湖绸伞成为舞台亮点．2008年，西湖绸伞制作技艺入选国家级非物质文化遗产，西湖畔绸伞摇曳，流转千年东方美学的匠心温度.如图有一绸伞放置于地面，假设伞面是一个半径为的圆形平面（与伞柄垂直），该圆形平面的圆心到伞柄底端距离为，当光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】因为伞面是一个半径为的圆形平面（与伞柄垂直）， 所以， 因为当光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， ，显然， 所以椭圆的离心率. 故选：B 5. 设为等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，结合反例，利用充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】设等差数列的通项公式为，此时数列的公差， 可得，则，所以充分性不成立； 反之：若是递增数列，取， 当时，；当时，，所以， 此时数列为常数列，不是递增数列，所以必要性不成立， 所以“是递增数列”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围； 【详解】直线的方程为，设直线的倾斜角为， 当时，， ②当时，直线的斜率， 由于或， 所以,,， 所以， 综上所述：； 故选：C． 7. 已知，则的十进制位数是（ ） A. 76 B. 77 C. 78 D. 79 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算法则，求得，得到，即可求解. 【详解】由， 可得，所以的十进制位数为位数. 故选：C. 8. 已知正项数列的前项和为，且，若，则数列的前120项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，当时，可得，两式相减，化简得到，求得，得到数列为等差数列，得到，求得，结合消项法求和，即可求解. 【详解】由，当时，可得， 两式相减，可得， 即，可得， 因为，所以，即， 当时，可得，即，解得或（舍去）， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以， 则， 所以数列的前120项和为： . 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某高中100位学生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：．则根据直方图可得（ ） A. B. 估计这100名学生成绩的平均分为73 C. 估计这组数据的第80百分位数为85 D. 若采用样本量比例分配的分层随机抽样从两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取1人，则此人成绩在区间的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由概率之和为1得到方程，求出；B选项，中间值作为代表求出平均数，得到B正确；C选项，先得到数据的第80百分位数位于，设为，得到方程，估计这组数据的第80百分位数为；D选项，由分层抽样的特征得到从两组抽取的人数分别为3人，2人，进而得到概率. 【详解】A选项，，解得，A正确； B选项，， 故估计这100名学生成绩的平均分为73，B正确； C选项，，， 故数据的第80百分位数位于，设为， 则，解得， 估计这组数据的第80百分位数为，C错误； D选项，，故从两组中抽取5人， 则从两组抽取的人数分别为人，人， 再从这5人中随机抽取1人，则此人成绩在区间的概率为，D正确. 故选：ABD 10. 设函数，则（） A. 的最小正周期是 B. 是偶函数 C. 的最大值是 D. 在区间上单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】分别验证，与的关系即可判断选项A，利用奇偶性的定义判断选项B，通过三角恒等变换化简可判断选项C，利用正弦型函数的单调性 判断选项D. 【详解】对于选项A，已知， 所以 . 所以函数的最小正周期是，A选项错误， 对于选项B，函数的定义域为，关于原点对称. ，所以函数是偶函数，B选项正确. 对于选项C，当，时，， 则 . 当，时，， 则 . 当时， 时，，即，时， 取得最大值1，此时取得最大值， 当时， 时，，即，时， 取得最大值1，此时取得最大值，C选项正确. 对于选项D，当时，. 令，， 解得： 所以函数的单调递增区间为，. 令，解得：， 所以函数的单调递减区间为，. 当时，单调递增区间为，单调递减区间为， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，D选项错误. 故选：BC. 11. 设抛物线过点，点在抛物线上，且，直线的斜率构成首项为1，公比为的等比数列，直线的斜率为，则（ ） A. 抛物线方程为 B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将点代入抛物线求出，得到A正确；B选项，根据直线的斜率得到方程，求出，变形构造等比数列，求出，，由定义可得不是等比数列；求出，所以，C正确；D选项，放缩可得，无论为奇数或偶数，均有． 【详解】将点代入抛物线得，，解得， 抛物线方程为，A正确； 点在抛物线上，则，故， 所以，， 由直线的斜率得， 直线的斜率构成首项为1，公比为的等比数列，故， 所以，即， 等式两边同除以得，， 设，故，所以， 解得， 所以， 则为公比为的等比数列，首项为， 故， 所以， ，则， 由于不是常数，数列不是等比数列，B错误； 对于CD，，所以，C正确； 当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 显然， 当为偶数时，显然有，当为奇数时，有， 无论为奇数或偶数，均有．D正确. 故选：ACD． 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，部分数据如下表： 0 1 2 2 2.4 2.88 则函数的一个解析式为_____. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据表格中的数据，结合函数的性质，可设，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由表格中的数据，可得， 可设，由，解得，所以， 经验证：，符合题意，所以满足条件的一个函数可以为. 故答案为：（答案不唯一） 13. 正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出相应点的坐标，利用平面向量数量积的运算，结合平面，可以求出点的坐标，利用空间两点间距离公式，结合配方法求出线段长度的最小值. 【详解】以为空间直角坐标系的原点，以为轴. 设，，则， ，因为平面， 所以，所以 线段长度为：，当时，有最小值，其值为. 故答案为： 【点睛】本题考查了利用配方法求线段的长的最小值，考查了利用空间向量数量积的应用，考查了线面垂直的性质，考查了数学运算能力. 14. 已知双曲线，过点有且仅有2条直线与双曲线有1个公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到满足或点在双曲线的渐近线上，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】由双曲线，可得其渐近线方程为， 因为过点有且仅有2条直线与双曲线有1个公共点， 则满足或点在双曲线的渐近线上， 由，可得，解得或， 由点在双曲线的渐近线上，可得，解得或， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的角的对边是． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理计算结合计算求解； （2）应用余弦定理计算求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 由，， 得且， 得，可得，即得， 所以． 【小问2详解】 由余弦定理得， 所以， 故． 16. 已知直线与圆交于两点． （1）求弦长的取值范围； （2）求面积的最大值，并求此时的值； （3）若圆在点处的两条切线交于点，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）最大值，． （3）． 【解析】 【分析】（1）求出直线所过定点坐标并确定该点与圆的位置关系，再求出圆心到直线距离的范围，利用弦长公式即可求出弦长范围. （2）利用余弦定理求出的范围，再结合三角形面积公式求出面积的最大值及. （3）求出切点弦所在直线方程，由该直线过定点即可求出轨迹方程. 【小问1详解】 依题意，直线过定点， 圆的圆心，半径， 因为，所以点在圆内， 圆心到直线距离的取值范围为， 而， 所以弦长的取值范围为. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 而，则，， 因此的面积，当且仅当时取等号， 而直线的斜率为，则直线的斜率为，即， 所以面积的最大值，此时. 【小问3详解】 设点，而点共圆，则以线段直径的圆方程为： ，即， 把以线段直径的圆方程与圆的方程相减得直线的方程， 又直线过定点，于是， 所以点的轨迹方程为. 17. 已知四棱锥平面平面，． （1）证明：平面平面； （2）设关于平面的对称点为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：取中点分别为，，联结， 因为且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，可得， 又因为，所以， 因为，且，平面， 所以平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点分别为，证得四边形为平行四边形，得到，证得，结合，证得平面，即可证得平面平面． （2）过作且，以为原点，建立坐标系，求得，求得，得到，再求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作且，则平面， 设， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 因为平面，平面，所以， 在直角中，由射影定理可得，即， 设，可得， 解得，所以， 又因为关于平面的对称点为，可得，则， 又由， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知平行四边形内接于椭圆，且平行四边形的面积为．直线的方程分别为． （1）若，求直线的方程； （2）证明：为定值； （3）求的最小值． 【答案】（1）或； （2） 由关于原点对称可设， 由直线的斜率存在，易知， 由点都在椭圆上，故有， 两式相减，得，得， 因此，. （3）. 【解析】 【分析】（1）由对称性，得的面积，再联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出，结合点到直线的距离公式求出高，最后利用三角形面积公式列出方程，即可得解； （2）设出点，根据点两点均在椭圆上，运用点差法，得到，再结合，即可得解； （3）联立与得，解得或，不妨设，再根据，可得，再运用基本不等式，即可得解. 【小问1详解】 由椭圆的对称性可得，故的面积. 设， 联立与得， 则有，， 点到直线的距离， 则弦长， 故， 整理得，得或，解得或， 故直线的方程为或. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 联立与得， 故， 令，得， 两边平方后，整理得，再令， 方程可化为，解得或， 即或，即或， 得或， 不妨设， 则，， 又由题（2）可知，故，则， 则，， 可得， 因此有， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 19. 在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”．现对数列分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列．进行次“和生长”后得到的数列为，进行次“积生长”后得到的数列为．记． （1）当时，求的值； （2）证明：数列为等比数列； （3）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 设第次“和生长”后得到的数列各项之和为， 则第次“和生长”后，新插入的各项之和为， 故， . 而，是以为首项，为公比的等比数列； （3） 【解析】 【分析】（1）利用积生长构造出等比数列，得到的表达式进行求解； （2）结合题意构造数列证明即可； （3）通过构造数列得到数列的通项公式，再求出的通项公式，整理得到，利用错位相减法和公式法对数列求和即可. 【小问1详解】 设第次“积生长”后共插入项，即， 共有个间隔，且，则第次“积生长”后再插入项， 则，可得，且， 故数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，故， 所以当时，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设第次“积生长”后得到的数列各项之积为， 则. 第次“积生长”后，新插入的各项之积为 ， 故， 因此， ， 即是以为首项，为公比的等比数列， ， 由（2）可得， ， 记， 则， ， ， 则数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末学业水平测试 高二数学试题卷（乙卷） 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟； 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！ 3.考试结束，只需上交答题卷． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，为虚数单位，则（ ） A. 13 B. 5 C. －5 D. －5i 2. 抛物线的焦点坐标是（ ）. A. B. C. D. 3. 已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年春晚语言类节目《借伞》中，一批精美的西湖绸伞成为舞台亮点．2008年，西湖绸伞制作技艺入选国家级非物质文化遗产，西湖畔绸伞摇曳，流转千年东方美学的匠心温度.如图有一绸伞放置于地面，假设伞面是一个半径为的圆形平面（与伞柄垂直），该圆形平面的圆心到伞柄底端距离为，当光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 5. 设为等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的十进制位数是（ ） A. 76 B. 77 C. 78 D. 79 8. 已知正项数列的前项和为，且，若，则数列的前120项和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某高中100位学生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：．则根据直方图可得（ ） A. B. 估计这100名学生成绩的平均分为73 C. 估计这组数据的第80百分位数为85 D. 若采用样本量比例分配的分层随机抽样从两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取1人，则此人成绩在区间的概率为 10. 设函数，则（） A. 的最小正周期是 B. 是偶函数 C. 的最大值是 D. 在区间上单调递减 11. 设抛物线过点，点在抛物线上，且，直线的斜率构成首项为1，公比为的等比数列，直线的斜率为，则（ ） A. 抛物线方程为 B. 数列是等比数列 C. D. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，部分数据如下表： 0 1 2 2 2.4 2.88 则函数的一个解析式为_____. 13. 正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的最小值为______. 14. 已知双曲线，过点有且仅有2条直线与双曲线有1个公共点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的角的对边是． （1）求； （2）求． 16. 已知直线与圆交于两点． （1）求弦长的取值范围； （2）求面积的最大值，并求此时的值； （3）若圆在点处的两条切线交于点，求点的轨迹方程． 17. 已知四棱锥平面平面，． （1）证明：平面平面； （2）设关于平面的对称点为，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知平行四边形内接于椭圆，且平行四边形的面积为．直线的方程分别为． （1）若，求直线的方程； （2）证明：为定值； （3）求的最小值． 19. 在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”．现对数列分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列．进行次“和生长”后得到的数列为，进行次“积生长”后得到的数列为．记． （1）当时，求的值； （2）证明：数列为等比数列； （3）求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $