精品解析：浙江省杭州市余杭区,富阳区,临平区,钱塘区,桐庐县2026届高三第一学期期末学业水平测试数学试题

2025学年第一学期期末学业水平测试 高三数学试题卷 考生须知： 1.本科考试分为试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效. 3.考试结束，只需上交答题卡. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知为实数，，则“”是“向量共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某校举办了一次以“消防安全”为主题的知识竞赛，现随机抽取了100名学生的成绩（单位：分）作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，记样本数据的众数为，中位数为，平均数为，则（ ） A. B. C. D. 5. 设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，为边上的中点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（ ） A. 是等比数列，且公比为 B. 是等比数列，且公比为 C. 是等差数列，且公差为2 D. 是等差数列，且公差为4 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有3个零点 10. 已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（ ） A. B. C. 直线与的斜率之和为0 D. 与的面积相等 11. 二进制是一种使用0和1两个数码的数制，是现代电子计算机技术的基础.对于整数可理解为逢二进一，比如：在十进制中的自然数5在二进制中就表示为表示为.自然数可表示为二进制表达式，则，其中当时，或，记为整数的二进制表达式中0的个数，则以下说法中正确的是（ ） A. B. 对任意 C. 存在 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________. 13. 已知，则__________. 14. 公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，若函数的图象存在两条不同的公切线，则实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，其前项和，数列是等比数列，若. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和. 16. 冬季是流感高发季，某卫生部门为宣传如何预防流感病毒制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该部门在人群中随机对60人进行了宣传，其中30人采用宣传方法一，30人采用宣传方法二，宣传后的人群对预防流感病毒的方法的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有24人是“比较了解”，采用宣传方法二宣传后的人中有12人是“比较了解”. （1）以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传如何预防流感病毒，记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望； （2）若按照宣传方法进行分层抽样，从这60人中随机抽取10人，再从这10人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到“比较了解”的人的情况下，第二次抽到采用宣传方法一宣传且了解程度为“比较了解”的人的概率. 17. 如图所示，在四棱锥中，，是正三角形. （1）设为与的交点，为棱上一点，且平面，求的值； （2）设是棱的中点，求证：平面； （3）设是棱上一个动点，若直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长度. 18. 已知椭圆的离心率为分别是椭圆的右顶点，上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点不在轴上，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值. 19. 已知函数. （1）当时，求在区间上的极值； （2）当时，若对任意恒成立，求的取值范围； （3）设，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末学业水平测试 高三数学试题卷 考生须知： 1.本科考试分为试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效. 3.考试结束，只需上交答题卡. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式，得到，从而求出交集. 【详解】因为，. 所以 故选： C. 2. 设复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算计算即可. 【详解】由题意得， 故. 故选：A. 3. 已知为实数，，则“”是“向量共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义及向量共线判断求解. 【详解】若，则，，即向量共线， 所以“”是“向量共线”的充分条件； 若“共线”，则，解得或， 所以“”不是“向量共线”的必要条件. 所以“”是“向量共线”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 某校举办了一次以“消防安全”为主题的知识竞赛，现随机抽取了100名学生的成绩（单位：分）作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，记样本数据的众数为，中位数为，平均数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数，中位数和平均数的定义进行求解，得到答案. 【详解】从频率分布直方图可以得到，样本数据的众数落在内，则， 因为，故， ， ，故. 故选：D 5. 设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用是定义在上的偶函数，且满足得到函数的周期，再利用周期性求解即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 又因为，所以，即， 因此，函数的周期为，又当时，， 所以， 因为， 所以. 故选：B. 6. 在中，为边上的中点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理及向量数量积的运算律求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 故选：D 7. 已知两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将条件转化为恒成立，结合渐近线的斜率即可求解. 【详解】因为是双曲线右支上的两点，且， 所以，即， 由双曲线性质可知，，所以， 又恒成立，所以，所以，所以. 故选：B 8. 如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（ ） A. 是等比数列，且公比为 B. 是等比数列，且公比为 C. 是等差数列，且公差为2 D. 是等差数列，且公差为4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由与相外切，得到，化简得到，求得，结合等差数列的定义，即可求解. 【详解】因为与相外切，所以， 即， 所以， 因为每个点均在函数的图像上，可得， 所以，即，所以， 所以数列是等差数列，且公差为， 所以，则， 此时数列不是等比数列. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有3个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式把已知函数化为正弦型函数，再利用正弦函数的性质分析函数的周期性、单调性、对称性及零点，从而得出正确选项． 【详解】， 的周期为，故A正确； 当时，， 在单调递减，在单调递增， 在该区间非单调递增，故B错误； 正弦函数的对称轴为，，解得， 当时，，满足条件，故C正确； 令，即，解得， 在内，时，；时，，有2个零点，故D错误． 故选：AC． 10. 已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（ ） A. B. C. 直线与的斜率之和为0 D. 与的面积相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，利用抛物线定义和相似三角形即可判断；对于B选项采用综合法判断；表示出与的斜率之和，联立方程组用韦达定理代入计算即可判断，对于选项D通过找角之间的联系，再利用三角形面积公式判断即可. 【详解】对于选项A，由抛物线的几何性质可知，，且. 可得，，A选项正确. 对于选项B，，要使， 则必有，很显然不一定成立，B选项错误. 对于选项C，设直线的方程为，联立方程得， 整理得. ，，即，由题意可知同号， ，，C选项正确. 对于选项D，设直线的方程为，，联立方程得，得， 由题意，，到的距离为. . ，到的距离为，， ，D选项正确. 故选：ACD 11. 二进制是一种使用0和1两个数码的数制，是现代电子计算机技术的基础.对于整数可理解为逢二进一，比如：在十进制中的自然数5在二进制中就表示为表示为.自然数可表示为二进制表达式，则，其中当时，或，记为整数的二进制表达式中0的个数，则以下说法中正确的是（ ） A. B. 对任意 C. 存在 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】写出35的二进制即可判断A选项，理解二进制的进位法则即可判断B，C选项，计算出值，代入计算即可判断D选项. 【详解】对于选项A，，，，A选项正确. 对于选项B，的二进制是的二进制左移一位（末尾加0），. 的二进制是的二进制末尾加1，，B选项正确. 对于选项C，二进制加法中，进位会减少1的个数，，故C选项错误. 对于选项D，，. ，D选项正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设此圆锥的底面半径为，高为，母线长为，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出，再根据勾股定理，即可求出此圆锥高，进而求得体积. 【详解】设此圆锥的底面半径为，高为，母线长为， ∵圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形， ∴，又，解得， 因此，此圆锥的高． 圆锥的体积为 故答案为：． 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件，结合两角和的正弦公式，通过变形得到和的关系，再利用二倍角公式求出的值. 【详解】，即. 又，即， . . 故答案为： 14. 公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，若函数的图象存在两条不同的公切线，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将有两条公切线转化为与直线有两个不同交点，后利用导数研究函数单调性与极值情况画出大致图象，即可得答案. 【详解】设切线在上的切点分别为 因为，则切线方程可表示为， 即，将点代入得到 又因为，即， 化简得到， 由函数的图象存在两条不同的公切线， 得到与直线有两个不同交点， 令，则， 令在上单调递增， 令在上单调递减，则， 注意到，可得大致图象如下： 由图象可得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，其前项和，数列是等比数列，若. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1)通过等差数列的通项与前项和公式求出，再结合等比数列的项的关系求出. (2)将的前项拆分为奇数项等差数列和偶数项等比数列，分别求和后再合并. 【小问1详解】 设数列的公差为的公比为， 由题意得，解得，所以， 又，解得，所以. 【小问2详解】 由条件得， 所以的前项和 . 16. 冬季是流感高发季，某卫生部门为宣传如何预防流感病毒制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该部门在人群中随机对60人进行了宣传，其中30人采用宣传方法一，30人采用宣传方法二，宣传后的人群对预防流感病毒的方法的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有24人是“比较了解”，采用宣传方法二宣传后的人中有12人是“比较了解”. （1）以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传如何预防流感病毒，记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望； （2）若按照宣传方法进行分层抽样，从这60人中随机抽取10人，再从这10人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到“比较了解”的人的情况下，第二次抽到采用宣传方法一宣传且了解程度为“比较了解”的人的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为，进而得到，再根据二项分布的概率公式及期望公式求解即可； （2）先确定抽取的10人中采用宣传方法一宣传且了解程度为“有点了解”和采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的人数，进而结合条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为， 则， 所以的分布列为 0 1 2 故. 【小问2详解】 抽取的10人中，了解程度为“比较了解”的有人，且采用方法一宣传的有人，采用方法二宣传的有人. 宣传方法 了解程度 合计 比较了解 有点了解 方法一 4 1 5 方法二 2 3 5 合计 6 4 10 记事件表示“第一次抽到比较了解的人”， 事件表示“第二次抽到采用宣传方法一宣传且了解程度为比较了解的人”， 则， 所以. 17. 如图所示，在四棱锥中，，是正三角形. （1）设为与的交点，为棱上一点，且平面，求的值； （2）设是棱的中点，求证：平面； （3）设是棱上一个动点，若直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长度. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）通过线面平行得出线线平行，结合比例关系可得答案； （2）先证明，再证明平面，从而得证结论； （3）建立坐标系，求解平面法向量，结合线面角的向量公式求出长度. 【小问1详解】 平面平面，平面平面, , , . 【小问2详解】 取的中点，连接， 且，即四边形为平行四边形， ， 在等边中，为中点，， 平面， 而， 又平面， 平面. 【小问3详解】 取的中点的中点，连接，则，， 由（2）知平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以 所以两两垂直， 所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 所以，设平面的一条法向量为. 由，得，取，即. 设， 则， 设直线与平面的所成角为， 则 化简得，解得或（舍去）， 所以. 故线段的长度为. 18. 已知椭圆的离心率为分别是椭圆的右顶点，上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点不在轴上，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） （i）设直线的方程为，其中，且， 联立方程组， 整理得， 所以. 所以 ， 故为定值. （ii）. 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率和得出椭圆方程； （2）（i）先设直线的方程，并与椭圆方程联立得到关于的不等式，再由韦达定理得出结论；（ii）先由直线与的斜率关系得到的面积等于2倍的的面积，故问题转化为求面积的最大值；因为，由三角形面积公式，只需求出点到直线的距离的最大值即可；当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值，由与椭圆相切求出直线的方程，再由两平行线间距离公式得出的最大值，最后得出结论. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为， 所以，即； 因为， 又， 解得， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略. （ii）直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点，直线的方程为， 令，得，故； 由（i）可知，故，所以点是线段的中点， 故的面积，其中为点到直线的距离. 显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值. 设直线的方程为，即， 联立， 整理得，由，解得. 所以平行直线与之间的距离为， 即的最大值为， 此时的面积为， 所以的面积的最大值为. 19. 已知函数. （1）当时，求在区间上的极值； （2）当时，若对任意恒成立，求的取值范围； （3）设，且，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数分析原函数单调性和极值即可； （2）求导，注意到，则，可得必要性条件，再代入验证充分性即可； （3）不妨设，分，和三种情况讨论，整理可得，根据函数利用导数证明不等式即可. 【小问1详解】 若，则，且，， 当时，则，可知在上单调递减， 所以在上无极值； 当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. 【小问2详解】 由整理得， 令，则， 注意到，故由必要条件知，解得； 下面证明充分性：当时，因为，则， 令，则， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得，则， 可知在区间上单调递增，则，充分性得证； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问3详解】 不妨设， 当时，左边，右边，所以左边右边； 当时，左边，右边，所以左边右边； 当，因为，所以. 要证，即证， 即证，即证， 令，则 因为，所以，所以在区间上单调递减， 所以当时，，所以，所以在区间上单调递增， 因为，所以，所以， 所以，即. 综上可知：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $