精品解析：山西运城市2025-2026学年高二第一学期期末调研测试数学试题

2025-2026学年第一学期期末调研测试 高二数学试题 2026.2 满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与圆交于两点，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 5. 已知函数，则以下最不可能是其图像的是（ ） A. B. C D. 6. 在数列中，，则 （ ） A. 3872 B. 3882 C. 3892 D. 3902 7. 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，若四边形为菱形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影分别为，准线与轴的交点为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的方程为： B. 以为直径的圆与准线相切 C. 设，则 D. 10. 在棱长为的正方体中，，，则下列说法正确的是（） A. B. 三棱锥的体积最大值为 C. 若，则点到直线的距离为 D. 三棱锥外接球球心轨迹的长度为 11. 已知是函数的极大值点，则 （ ） A. B. 若函数有三个零点，则实数的取值范围为 C. 若函数在区间存在最小值，则实数的取值范围为 D. 过点存在3条直线与曲线相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是等比数列的前项和，，，则___________． 13. 已知函数，若，都有，则______________. 14. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，且数列递增，则_________，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）令，求数列的前项和. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围. 17. 如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，的中点为，底面. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点. （1）求椭圆方程； （2）证明：； （3）记和的面积分别是，求的最小值. 19. 已知函数. （1）对任意的恒成立，求实数的取值范围； （2）数列满足 ①判断数列的单调性并说明理由； ②设数列的前项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末调研测试 高二数学试题 2026.2 满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的运算法则以及复合函数求导法则运算求解即可. 【详解】对于选项A：，，两者不相等，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：D. 2. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两边同时减去，再同时取倒数得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项公式，代入计算可得. 【详解】因为，，所以， 所以，即 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：B 3. 已知直线与圆交于两点，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先算出圆心到直线距离，然后利用圆的弦长公式计算即可. 【详解】已知圆的方程为，所以圆心坐标为，. 故圆心到直线：的距离， 所以弦. 故选：C. 4. 如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 5. 已知函数，则以下最不可能是其图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，，求导确定函数的单调性、最值即可判断B；当时，，求导确定函数的单调性、最值即可判断C；当时，，根据对数函数的性质即可判断C；时，求确定函数的极值点即可判断A. 【详解】已知函数， 当时，，则，令得， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 且则选项B是函数的部分图像； 当时，，则，令得， 所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 且则选项C是函数的部分图像； 当时，，则在上单调递增，且，选项D是的部分图像， 对于A选项，显然， ，令得，所以一定有极值点，故A选项不符合. 故选：A. 6. 在数列中，，则 （ ） A. 3872 B. 3882 C. 3892 D. 3902 【答案】A 【解析】 【分析】令，判断数列的单调性，再去掉绝对值计算即可. 【详解】，， 令，即， ， 故当时，，数列递减；当时，，数列递增， ， 又， . 故选：A. 7. 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，若四边形为菱形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形性质确定点的坐标，代入椭圆方程，再通过转化为关于离心率的方程求解. 【详解】因为是菱形，所以，且，点的横坐标为中点的横坐标，即， 由可得，，整理得，解得，故， 代入椭圆，得，整理得， 又，所以，整理得， 两边同时乘以，得，解得， 因为，所以，所以，解得. 故选：D. 8. 设，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数在上的单调性可得到、的大小关系，利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，即可得出结论. 【详解】构造函数，其中，则， 当时，，所以，函数在上单调递增， 因为，则，即，即， 所以，， 因为，故，即，即， 因此，. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影分别为，准线与轴的交点为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的方程为： B. 以为直径的圆与准线相切 C. 设，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线的方程为并于抛物线联立，利用韦达定理由可得，可判断A错误，由抛物线定义以及焦点弦公式可证明B正确，再由三点共线可得，即可知C正确，由以及韦达定理计算可得D正确. 【详解】易知抛物线的焦点，准线方程为， 设直线的方程为，，如下图 对于A，联立，整理可得， 所以， 由抛物线定义可得， 解得，所以直线的方程为或，即A错误； 对于B，设的中点为， 易知，则，即； 所以到准线距离为，而， 即的中点到准线距离等于，所以以为直径的圆与准线相切，即B正确； 对于C，由可得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 又可得，因此，即C正确； 对于D，易知，即，又可得， 因此，即D正确. 故选：BCD 10. 在棱长为的正方体中，，，则下列说法正确的是（） A. B. 三棱锥的体积最大值为 C. 若，则点到直线的距离为 D. 三棱锥外接球球心轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，写出各点坐标.对于A，写出，验证两者的数量积是否为即可；对于B，运用三棱锥的体积公式，结合二次函数的性质以及的范围，即可得解；对于C，运用等面积法求解即可；对于D，设外接球球心，由外接球的性质可知，即可判断其轨迹，进而得解. 【详解】以为原点，建立空间坐标系如图所示， 设， 则， 对于A：可得， 因为，即，故A正确； 对于B：因为三棱锥的体积 当时，三棱锥的体积取到最大值，故B错误； 对于C：若，则，设点到直线的距离为， 中，， 则 且为锐角，可得， 则， 即，解得，故C正确； 对于D：设三棱锥外接球球心， 易知直角三角形的外接圆圆心位于其斜边的中点， 故的外接圆圆心为， 由外接球的性质可知，球心位于的外接圆圆心的正上方， 且到的距离与到的距离相同，故， 因此，， 即，则，且， 可知球心的轨迹为线段，且两个端点坐标为， 所以三棱锥外接球球心轨迹的长度为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知是函数的极大值点，则 （ ） A. B. 若函数有三个零点，则实数的取值范围为 C. 若函数在区间存在最小值，则实数取值范围为 D. 过点存在3条直线与曲线相切 【答案】AB 【解析】 【分析】对函数求导，并根据极值点解得或，经检验可得符合题意，因此A正确，利用函数与方程思想可得函数与有三个交点，画出函数图象求出其极值可得B正确，由区间上存在最小值得出不等式可解得，因此C错误，设出切点坐标求出切线方程并代入点得出方程，求出方程根的个数可判断D错误. 【详解】对于A，易知， 依题意可得，解得或； 当时，，当时，当或时， 可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增； 显然是函数的极小值点，不合题意； 当时，易知， 当时，当或时， 可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增； 此时是函数的极大值点，所以，即A正确； 对于B，若函数有三个零点，即方程有三个不相同的实数根， 也即函数与有三个交点，根据已有分析可知在处取得极大值，在处取得极小值, 画出函数的图象如下图： 结合图象可知，即B正确； 对于C，若函数在区间存在最小值，则需满足且； 解得，因此C错误， 对于D，设过点的直线与曲线相切于点， 易知切线斜率为， 所以切线方程为， 代入点并化简可得, 也即，所以， 即，显然或， 因此只存在两个切点，所以过点存在2条直线与曲线相切，即D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是等比数列的前项和，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列公比为，根据已知条件求出、的值，再利用等比数列的求和公式化可求出的值. 【详解】设等比数列公比为，当时，，此时，与题意不符， 所以，由题意可得，解得， 由等比数列求和公式得． 故答案为：. 13. 已知函数，若，都有，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式可求得函数在上单调递减，即在上恒成立，构造函数，对参数分类讨论，求出函数极值并利用不等式恒成立可得只有当时符合题意，即可得. 【详解】不妨取，由可得，即， 令，可得，， 即可得在上单调递减，所以在上恒成立， 又易知，则， 令，则； 当时，易知恒成立，此时在上单调递减，即在上单调递减， 又，所以当时，，不合题意； 当时，易知当时，，当时，， 即可得在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， 若在上恒成立，即在上恒成立， 所以只需保证恒成立即可， 令，则， 显然当时，，当时，， 即可得，即在处取得极小值，又，即， 所以，即. 故答案为： 14. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，且数列递增，则_________，__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先根据双曲线渐近线方程求出的值，进而得到双曲线方程，再结合点在双曲线上以及数列递增的条件求出，最后根据点的坐标求出的面积. 【详解】已知其中一条渐近线方程为，即，所以， 则双曲线的方程为， 因为点在双曲线上，所以，即， 由于、，，即，故， 当时，，符合题意； 不妨设，， 由得， 可得， 对比可得，所以， 所以，整理可得， 不妨取，则，此时，，符合题意， 所以，， 先证明一个结论：在中， 若，，则． 证明： ． 本题中，， 所以. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列首项，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义及递推公式推导出，即可得证； （2）由（1）可得，即可得到，再利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以， 所以， 又，所以数列是首项为，公差为的等差数列； 【小问2详解】 由（1）可得：，则， 所以 ① ， 则 ②， 两式相减得：， 所以， 所以. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求在点处的切线方程； （2）分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 而，所以在切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，其中， 则， ①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值， ②当时，令，可得，列表如下： 0 + 递减 极小值 递增 所以， 由题意可得，即， 令，则. 因为， 所以函数在单调递增， 所以由，得， 所以实数的取值范围是. 17. 如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，的中点为，底面. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理得到，即可得到平面，从而得到，再说明，即可得证； （2）取的中点，连接，即可得到面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 因为平面，又平面，所以， 因为底面为等腰直角三角形，，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，所以侧面为菱形，所以 又，平面，所以平面． 【小问2详解】 取的中点，连接，则，所以面， 以为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以 ， 则，所以，， 由（1）可知平面， 所以平面的一个法向量， 所以， 所以直线与平面所成角正弦值． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）证明：； （3）记和的面积分别是，求的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）结合代入法，焦点的坐标进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合直线互相垂直斜率的关系进行求解即可； （3）根据三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 椭圆的左右焦点分别为， 设，则， 因为点是椭圆上一点， 则， 所以，从而. 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 直线的斜率显然存在，设方程为. 由，整理得， 设，则， 由已知，所以的斜率分别为， ， 故，所以； 【小问3详解】 设直线，显然，由，解得或， ∴，则， 由上可知，直线， 则， 由，得，解得或， ，则， 由上可知，直线，， 由（2）知，， 则. ， 当且仅当时等号成立，即最小值为. 19. 已知函数. （1）对任意的恒成立，求实数的取值范围； （2）数列满足. ①判断数列的单调性并说明理由； ②设数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）①数列为递减数列，理由见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用分离参变量，构造函数求导判断单调性求最值，即可得参数范围； （2）①利用（1）的结论，再利用递推思想作差证明即可； ②先证明，然后再放缩，利用等比数列求和即可得证. 【小问1详解】 不等式等价于 令，则， 令得， 当时，，在上单调递增； 当时，，上单调递减； 所以，即 ； 【小问2详解】 ①数列为递减数列，理由如下： 由（1）可知，所以，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，所以， 因为，所以 由题意，得，则， 由（1）知当时，， 令，则，故， 又函数在上是单调递增函数， 所以，所以数列为递减数列. ②由题意得，令函数， 则，故在上单调递增，且， 令，则，得到， 所以，故， 又因为，所以， 得到，即， 当时，得到． 当时，． 所以，所以， 综上，原命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $