17.第四单元 第17讲 等腰三角形与直角三角形-【学本课堂】2026年重庆中考数学精讲本配套课件

第四单元　图形的性质　 第17讲　等腰三角形与直角三角形 2026重庆数学 《学本课堂》 目 录 1 回归教材∙依标扣本 2 基础自查∙巩固素养 3 综合思考∙提升素养 4 创新实践∙展示素养 课 标 要 求 1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等 腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重 合. 2.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等 腰三角形. 3.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°. 4.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个 角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 5.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直 角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 6.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问 题. 首页 目录 知 识 导 图 首页 目录 01 回归教材∙依标扣本 等腰三角形 (1)两腰相等，即AB＝AC；　 (2)两个底角相等，即∠B＝∠C(等边对等角)； (3)它是轴对称图形，有① 条对称轴，即AD所在 的直线； (4)“三线合一”，即等腰三角形的顶角② 、 底边上的　　③ 和底边上的④ ⁠互相重合 一　 平分线　 中线　 高　 性质 (1)有两边相等的三角形是等 腰三角形(定义法)； (2)有两个角相等的三角形是 等腰三角形(等角对等边) 判定 证明角相等常用的方法. 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 等边三角形 性质 (1)三边相等，即AB＝BC＝AC＝a； (2)三个内角都相等，且每个内角都等于⑤ ⁠； (3)它是轴对称图形，有⑥ 条对称轴； 60°　 3　 (4)“三线合一”，即等边三角形每条边上的高、中 线和所对的角平分线重合 　三组“三线合一”，所在的直线就是等边三角形的3条对称轴. 判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形(定义法)； (3)有一个角是⑦ ⁠的等腰三角形是等边三角形 60°　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 直角三角形 定义：有一个角是90°的三角形 性 质 (1)两个锐角之和等于90°，即∠A＋∠B＝90° (2)斜边上的中线等于斜边的 　⑧ ⁠ (3)30°角所对的直角边等于斜边的 一半 逆命题可作为判定直角三角形的方法，但需要先证明再用. (4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为c，那么 一半 前提条件. 　　 　⑨ ⁠　　　　 a2＋b2＝c2 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 判定 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形 (2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形 注意：三边满足a2＋c2＝b2，b2＋c2＝a2等也可判定为直角三角形. (3)有两个角互余的三角形是直角三角形　 面积：S＝ 　⑩　 　ab　＝ ch(a，b为两条直角边长， c为斜边长，h为斜边上的高) ab 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 等腰直角三角形 性质：除具有等腰三角形、直角三角形的性质外，两条直角边相等；两个底角相等，且都等于45°，即∠A＝∠C＝45°，BD＝ AC＝AD＝DC＝⑪ ⁠a 　 判定 (1)顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形 (2)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形 (3)有一角为⑫ °的直角三角形是等腰直角三角形 (4)两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 面积：S＝ a2＝ ch＝ c2＝ ah(a为直角边， h为斜边c上的高) 45　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 02 基础自查∙巩固素养 概念型问题 1. 等腰三角形的性质： (1)对称性(三线合一)：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且 BC＝4，则BD的长为 ⁠. 2　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)等边对等角：“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作 图难题之一，如图所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的. 这个仪器由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O 转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动.若∠BDE ＝96°，则∠CDE＝ ⁠°. 52　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 等腰三角形的判定： (1)(2024∙南岸区)四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四 边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为 (　B　) 第(1)题图 B A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝36°，点D在边AB上，∠ACD ＝2∠BCD，图中共有 个等腰三角形. 第(2)题图 3　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 勾股数： (1)(2024∙开州区)下列各组数中，是勾股数的是(　C　) A. 1，2，3 B. ， ， C. 3，4，5 D. 0.3，0.4，0.5 C 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)勾股定理a2＋b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个 方程的正整数解(a，b，c)通常叫作勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了 一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3， 4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，….分析上面的勾股数组可以发 现，4＝1×(3＋1)，12＝2×(5＋1)，24＝3×(7＋1)，….分析上面的规 律可以得到第5个勾股数组为 ⁠. (11，60，61)　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 4. 等腰直角三角形： (1)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对 应点分别为D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上.若CD＝3， BC＝1，则AD的长为(　A　) 第(1)题图 A A. B. C. 2 D. 2 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)如图，线段AB＝10 cm，射线AN⊥AB于点A，点C是射线AN上一 动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与 △BCE中，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为 ⁠. 第(2)题图 5 cm　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 计算型问题 1. 等边三角形的性质： (1)三角相等(60°)：(2024∙八中)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°， 以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作DE⊥BC交BC的 延长线于点E. 若AB＝5.4，CE＝3，则BE＝ ⁠. 第(1)题图 7.8　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)对称性(三线合一)：如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点 D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减 少用钢(　D　) 第(2)题图 D A. (24－12 ) m B. (24－8 ) m C. (24－6 ) m D. (24－4 ) m 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 等边三角形的判定： (1)下列对△ABC的判断，错．误．的是(　D　) A. 若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形 B. 若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC是直角三角形 C. 若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形 D. 若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40° D 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)如图，G是等边三角形ABC内任意一点，GD∥BC，GE∥AC， GF∥AB，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，AB＝6，则DG＋ EG＋FG＝ ⁠. 6　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 直角三角形的角：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝ 62°，点D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE， 且满足EF∥AB，则∠1＝ ⁠°. 76　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 4. 等腰三角形的边与周长：等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋ 21＝0的两个实数根，则这个三角形的周长为(　C　) A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13 C 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 方法型问题 1. 线段垂直平分线的性质：如图，在△ABC中，AB＝AC，线段AB 的垂直平分线交AC于点P. 若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则△PBC的周 长为(　C　) A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm 第1题图 C 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 线段垂直平分线的判定：如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D 为边BC上一点，且BD＝ CD. 点E，F分别在边AB，AC上，且 ∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N. 若 DF∥AB，则CM的长为(　C　) A. B. C. D. 第2题图 C 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 等腰三角形的性质和判定：(2024∙南开)如图，在△ABC的BC边上截 取BE＝AB，连接AE，作△ABE的角平分线BD交AE于点D. 若 ∠EAC＝∠C，BC＝9，AB＝5，则AD＝ ⁠. 第3题图 2　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 4. 等边三角形的性质和判定：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6， ∠BAC＝60°，延长AB至点E，连接CE. 若△AEC的周长为25，则 △BCE的周长为 ⁠. 第4题图 19　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 03 综合思考∙提升素养 建模型问题 1. 含30°角的直角三角形：(2024∙十一中)如图，∠ABC＝90°，∠C ＝15°，线段AC的垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E，垂足 为D，CE＝6，则AB＝ ⁠. 3　 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 直角三角形斜边上的中线：如图，在Rt△ABC中，D是AC的中 点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是(　A　) A. 3 B. 6 C. D. 3 A 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 勾股定理的应用： (1)(2024∙巴川)如图，有一只喜鹊在一棵2 m高的小树AB上觅食，它的 巢筑在与该树水平距离(BD)为8 m的一棵9 m高的大树DM上，喜鹊的巢 位于树顶下方1 m的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如 果它飞行的速度为2 m/s，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(　A　) A A. 5 s B. 4 s C. 3 s D. 2 s 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长 CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF. 若BF ＝3，则BC的长为 . 6 　 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 探究型问题 1. 勾股定理：(2024∙南开)如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以 这个直角三角形两直角边为边作正方形.图2由图1的两个小正方形向外 分别作直角边之比为4∶3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形 的直角边为边长作正方形……按此规律，则图6中所有正方形的面积和 为(　B　) A. 200 B. 175 C. 150 D. 125 B 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 勾股定理的证明：我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算 经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为 “商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出 了详细注释，并给出了另外一个证明.下面四幅图中，不．能．证明勾股定 理的是(　D　) A　　　　 B C　　　　 D D 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 勾股定理的逆定理：(2024∙渝北区)△ABC的三边长分别是a，b， c，且满足a2＝c2－b2，则△ABC是(　B　) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 无法判断 B 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 04 创新实践∙展示素养 创新型问题：最值问题 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3， AD＝1，E为边AB上的动点.将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线 段DF，连接FB，FC，EC. 则下列结论错误的是(　A　) A A. EC－ED的最大值是2 B. FB的最小值是 C. EC＋ED的最小值是4 D. FC的最大值是 首页 目录 素养六 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 请完成《基础练习本》P37~38素养练测17 本讲内容结束 $