13.第三单元 第13讲 反比例函数-【学本课堂】2026年重庆中考数学精讲本配套课件

第三单元　函数 　第13讲　反比例函数 2026重庆数学 《学本课堂》 目 录 1 回归教材∙依标扣本 2 基础自查∙巩固素养 3 综合思考∙提升素养 4 创新实践∙展示素养 课 标 要 求 1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比 例函数的表达式. 2.能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式y＝ (k≠0)探索并 理解k＞0和k＜0时图象的变化情况. 3.能用反比例函数解决简单实际问题. 首页 目录 知 识 导 图 首页 目录 01 回归教材∙依标扣本 反比例函数的图象与性质 反比 例函 数的 图象 与性 质 表达式 y＝ (k≠0)，y＝kx－1，xy＝k k的符号 k＞0 k＜0 图象 (双曲线) 渐近性 图象与坐标轴无限接近，但永不与坐标轴相交 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 增减性 在每一象限内(x＞0或x ＜0)，y随x的增大而 ① ⁠ 在每一象限内(x＞0或x＜0)，y随x的增大而 ② ⁠ 对称性 关于直线y＝x或y＝－x成轴对称，也关于③ ⁠成中心对称 画法(五点法) 在其中一个象限内取五个点，用平滑的曲线连接起来，再由对称性画出另一支 减小　 增大　 原点　 反比 例函 数的 图象 与性 质 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 如图，过反比例函数图象上任一点P(x，y)分别作x轴、y轴的垂线 PM，PN，所得矩形PMON的面积S＝｜xy｜＝④ ， 同理可得S△POM＝S△PON＝S△PMN＝S△OMN＝ ｜xy｜ ＝⑤ 　 　｜k｜　 ｜k｜　 ｜k｜　 k 的几 何意义 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 确定反比例函数的表达式 待定系 数法 (1)设反比例函数的表达式为y＝ (k≠0)；(2)找出其图象上的 一点P(a，b)； (3)将点P(a，b)代入表达式得k＝⑥ ；(4)确定反比例 函数的表达式为y＝ 利用k 的几何 意义 当已知面积时，可考虑用k的几何意义.由面积得｜k｜值， 再结合图象所在象限判断k的正负，从而得出k值，代入表 达式即可 ab　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 反比例函数的实际应用 反比 例函 数的 实际 应用 一般 步骤 (1)审题，确定自变量、因变量；(2)明确变量之间的数量关系；(3)根据数量关系确定反比例函数表达式；(4)根据题意确定自变量的取值范围；(5)根据反比例函数的性质解决相应问题；(6)对答案进行检验，符合题意后作答. 常见应 用公式 (1)行程问题：速度＝ ；(2)工程问题：工作效率＝ ； (3)压强问题：压强＝ ；(4)电学问题：电阻＝ . 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 02 基础自查∙巩固素养 概念型问题 1. 反比例函数的定义： (1)(2025∙开州区)反比例函数y＝ (k≠0)经过点A(1，4)，则k的值是 (　C　) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 (2)若函数y＝(m＋3)x2－｜m｜是反比例函数，则m＝ ⁠. (3)函数y＝ 是反比例函数，则m＝ 　 　. C 3　 　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 反比例函数上点的坐标特征：(2025∙一中)当k＜0时，反比例函数y ＝－ 的图象可能经过点(　D　) A. (－1，2) B. (1，－2) C. (－2，1) D. (1，2) D 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 反比例函数的图象： (1)反比例函数y＝ (x＜0)的图象如图所示，则m的取值范围为 ⁠ ⁠. m ＜2　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)如图是三个反比例函数y＝ ，y＝ ，y＝ 的图象，由此观察 k1，k2，k3的大小关系是 (用“＜”连接). k1＜k3＜k2　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 4. 反比例函数的性质：若点A(6，y1)，B(5，y2)都在函数y＝ 的图 象上，则y1 y2(填“＞”“＜”或“＝”). ＞　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 x(cm) … 10 15 20 25 30 … y(N) … 30 20 15 12 10 … 猜测y与x之间的函数关系，并写出函数关系式为 ⁠. y＝ 　 5. 根据实际问题列反比例函数表达式：如图，小华设计了一个探究杠 杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重 物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离 x(cm)，观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况.实验数据记录如下表所示. 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 计算型问题 1. 反比例函数与一次函数相交： (1)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx(m＜0)与反比例函数y＝ (k≠0)交于A，B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝4，则 k＝ ⁠. －2　 第(1)题图 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)如图，O是坐标原点，反比例函数y＝－ (x＞0)的图象与直线y＝－ 2x交于点A，点B在y＝－ (x＞0)的图象上，直线AB与y轴交于点 C，连接OB. 若AB＝3AC，则OB的长为(　D　) D 第(2)题图 A. B. C. D. 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 利用待定系数法求反比例函数的表达式： (1)已知点A(2，m)，B(m－1，1)均在某一反比例函数的图象上，则这 个反比例函数的表达式为 ⁠. y＝－ 　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函 数y＝ (m为常数，m≠0)的图象交于A，B两点，点A的坐标是(－ 8，1)，点B的坐标是(n，－4). 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； 解：(1)把点A(－8，1)代入y＝ ，得1＝ ， 解得m＝－8，∴反比例函数的表达式为y＝－ . 把点B(n，－4)代入y＝－ ，得－4＝－ ， 解得n＝2.∴B(2，－4)， 把A(－8，1)，B(2，－4)代入y＝kx＋b，得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝－ x－3. 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)根据函数图象直接写出关于x的不等式kx＋b＞ 的解集. 解：(2)由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时， 自变量的取值范围为x＜－8或0＜x＜2，∴关于x的不等式kx＋b＞ 的解集为x＜－8 或0＜x＜2. 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 方法型问题 1. 反比例函数与正比例函数的关系： (1)已知直线y＝k1x与双曲线y＝ 有一交点为(－2，4)，则另一交点坐 标是 ⁠. (2，－4)　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)如图，正比例函数y1＝k1x(k1＜0)的图象与反比例函数y2＝ (k2＜0) 的图象交于A，B两点，点A的横坐标为－1.当y1＜y2时，x的取值范 围是(　C　) C 第(2)题图 A. x＜－1或x＞1 B. x＜－1或0＜x＜1 C. －1＜x＜0或x＞1 D. －1＜x＜0或0＜x＜1 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (3)如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y＝ 相交于点A和点B. 若A的横坐标为1，则点B的坐标为 ⁠. (－1，－1)　 第(3)题图 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 反比例函数的图象与性质：已知反比例函数y＝ (k＜0)，当1≤x≤3 时，y的最小值为－4，则k的值为 ⁠. －4　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 03 综合思考∙提升素养 建模型问题 1. 反比例函数中k的几何意义： (1)(2025∙复旦)如图，A是反比例函数y1＝ (x＜0)图象上一点，B是反 比例函数y2＝ (x＞0)图象上一点，连接AB交y轴于点C，若AC＝ BC，S△AOB＝3，则k的值为(　D　) D A. B. 2 C. 2 D. 4 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，tan∠AOC＝ ，且点A落在反比例函数y＝ 上，点B落在反比例函数y＝ (k≠0) 上，则k＝ ⁠. 8　 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 反比例函数的实际应用：如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长 为10 m的墙，用篱笆围一个面积为12 m2的矩形园子. ①设矩形园子的相邻两边长分别为x m，y m，y关于x的函数表达式 为 (不写自变量取值范围)； ②当y≥4 m时，x的取值范围为 ⁠； ③当一条边长为7.5 m时，另一条边的长度为 m. y＝ 　 1.2≤x≤3　 1.6　 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 探究型问题 1. 反比例函数的对称性： (1)如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的 一组对边与x轴平行，P(4a，a)是反比例函数y＝ (k＞0)的图象上与 正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则k的值为 (　C　) C 第(1)题图 A. 16 B. 1 C. 4 D. －16 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)如图，直线l与双曲线交于A，C两点，将直线l绕点O顺时针旋转α 角(0°＜α≤45°)，与双曲线交于B，D两点，则四边形ABCD的形状 一定是(　A　) 第(2)题图 A A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 不能确定形状 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 实际问题中的应用： (1)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下， 它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速 v(km/h)之间的函数关系如图所示.下列说法中错．误．的是(　C　) C 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 B. 当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/h D. 若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的 消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y(单位：效力)与时间x(单 位：分钟)呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消 毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段.请根据图 中信息解答下列问题： 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 ①第3分钟时消毒效果为 效力； ［设线段AB所在直线的表达式为y＝ax.∵B(10，3)，∴10a＝3.解得a ＝ .∴线段AB所在直线的表达式为y＝ x. 当x＝3时，y＝ ×3＝0.9.］ ②求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式； ②设BC段的函数表达式为y＝kx＋b. 0.9　 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 把点(10，3)，(30，6)代入上式，得 解得 ∴深消毒阶段中y＝ x＋ (10≤x≤30). 设CD段的函数表达式为y＝ . 把点(30，6)代入上式，得 6＝ .∴m＝180. ∴降消毒阶段中y＝ (x＞30). 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 ③若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问 本次消毒是否有效？ 解：③把y＝4分别代入 y＝ x＋ 和 y＝ ，得x＝ 和x＝45. ∵45－ ＝28 ＞28，∴本次消毒有效. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 与一次函数综合：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋b与 反比例函数y＝ 的图象的一个交点为A(a，2)，与x轴的交点为B(3， 0). (1)求k的值； 解：(1)∵直线y＝－x＋b与x轴的交点为B(3，0)，∴0＝－3＋b，解得 b＝3，∴一次函数的表达式为y＝－x＋3. 把A(a，2)代入y＝－x＋3，得2＝－a＋3， 解得a＝1，∴A(1，2). 把A(1，2)代入y＝ ，得k＝1×2＝2. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函 数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式； 解：(2)连接AD. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 由(1)得反比例函数的表达式为y＝ . ∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，A(1，2)，∴C(－ 1，－2)， ∴AC2＝(1＋1)2＋(2＋2)2＝20. 设D(m， )，∴AD2＝(1－m)2＋(2－ )2， CD2＝(－1－m)2＋(－2－ )2. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 ∵∠ACD＝90°，∴AD2＝CD2＋AC2， ∴(1－m)2＋(2－ )2＝(－1－m)2＋(－2－ )2＋20， 解得m＝－4或－1(舍去)， ∴D(－4，－ ).设直线AD的表达式为y＝k1x＋b1(k1≠0)， 把点(－4，－ )，(1，2)代入上式，得 解得 ∴直线AD的表达式为y＝ x＋ . 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (3)P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E(异于点A)，连 接BE，若△BEP的面积为2，求点E的坐标. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 解：(3)设E(t， ).设直线AE的表达式为y＝k2x＋b2.把点(t， )，(1， 2)代入上式，得 解得 ∴直线AE的表达式为y＝－ x＋ . 当y＝0时，0＝－ x＋ ，解得x＝t＋1. ∴P(t＋1，0)，∴BP＝｜t＋1－3｜＝｜t－2｜， 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 ∴S△BEP＝ ×｜yE｜×BP＝ × × . ∵△BEP的面积为2，∴ × × ＝2， 解得t＝ 或t＝－2. ∴点E的坐标为(－2，－1)或(，3). 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 04 创新实践∙展示素养 创新型问题：动点问题与新函数 (2025∙暨华)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于 点D，动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 D→C→A运动，到达点A时停止运动，设点P运动x秒，△ADP的面 积为y1，△ADC面积与点P运动路程之比为y2＝ (0＜x＜8). (1)请直接写出y1关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； 解：(1)y1＝ ［提示：分点P在DC或CA上，分类讨论即可.］ 首页 目录 素养六 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1 的一条性质； 解：(2)函数y1，y2的图象如图所示.函数y1的一条性质：当0＜x＜3时， y1随x增大而增大；当3＜x＜8时，y1随x增大而减小.(答案不唯一) 首页 目录 素养六 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (3)结合函数图象，请直接写出y1≤y2时x的取值范围(近似值保留小数点 后一位，误差不超过0.2). 解：(3)由图象得，当y1≤y2时，0＜x≤1.7或7.2≤x＜8. 首页 目录 素养六 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 请完成《基础练习本》P29~30素养练测13 本讲内容结束 $