11.第三单元 第11讲 二次函数的图象与性质-【学本课堂】2026年重庆中考数学精讲本配套课件

第三单元　函数　 第11讲　二次函数的图象与性质 2026重庆数学 《学本课堂》 目 录 1 回归教材∙依标扣本 2 基础自查∙巩固素养 3 综合思考∙提升素养 4 创新实践∙展示素养 课 标 要 求 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次 函数系数与图象形状和对称轴的关系. 3.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图 象求一元二次方程的近似解. 知 识 导 图 首页 目录 01 回归教材∙依标扣本 二次函数的图象与性质 二次 函数 的图 象与 性质 定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数 图象：二次函数的图象都是抛物线 二次 函数 y＝ax2 y＝ax2＋ c y＝a (x－h)2 y＝a(x－ h)2＋k y＝ax2＋bx ＋c 开口 方向 a＞0⇔开口① ；a＜0⇔开口向下 增减性 a＞0⇔对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴右侧，y随x的增大而增大 a＜0⇔对称轴左侧，y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小 向上　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 二次 函数 的图 象与 性质 对称轴 直线x ＝0(y轴) 直线x＝0 (y轴) 直线x＝h 直线x＝h 直线x＝－ 顶点 (0，0) (0，c) (h，0) ② ⁠ (－ ， ) 最值 y最值＝0 y最值＝c y最值＝0 y最值＝k y最值＝ 大致图象 (a＞0) (h，k) 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 二次函 数的图 象与a， b，c的 关系 字母或 代数式 符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 ｜a｜越大， 开口越 ④ ⁠ a＜0 开口向③ ⁠ b b＝0 对称轴为⑤ ⁠轴 ab＞0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 小　 下　 y　 简称“左同” 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 二次函 数的图 象与a， b，c的 关系 字母或 代数式 符号 图象的特征 b ab＜0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 经过⑥ ⁠点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴⑦ ⁠半轴相交 特殊关系 当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝ ⑧ ⁠ ⁠ 若a＋b＋c＞0，即当x＝1时，y＞0； 若a＋b＋c＜0，即当x＝1时，y⑨ ⁠0 原　 负　 简称“右异” a－b＋c　 ＜　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 二次函数表达式的求法 二次 函数 表达 式的 求法 待定系数法：(1)设；(2)代；(3)解；(4)答 形式 一般式：y＝ax2＋bx＋c，适合已知三个点或三对x，y的值 顶点式：y＝a(x－h)2＋k，适合已知顶点，对称轴或最值 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，适合已知与x轴的交点坐标 平移 求法 抛物线y＝2x2先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线为y＝⑩ ⁠ 【提分点拨】图象平移求法的关键：(1)弄清哪个函数图象向哪个方向平移；(2)实质是点平移，重点关注顶点平移；(3)规律：自变量左加右减，常数项上加下减. 2(x＋3)2＋1　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 二次函数与方程、不等式的关系 二次 函数 与方 程、 不等 式的 关系 与方程 的关系 与x轴有⑪ 个交点⇔对应方程有两个不相等的 实数根⇔Δ＞0 与x轴有⑫ 个交点⇔对应方程有两个相等的实数根 ⇔Δ⑬ ⁠0 与x轴没有交点⇔对应方程没有实数根⇔Δ⑭ ⁠0 2　 1　 ＝　 ＜　 结合函数图象 分析取值范围 ax2＋bx＋c＞0解集⇔抛物线位于y轴上方对应点的 横坐标的取值范围 ax2＋bx＋c＜0解集⇔抛物线位于y轴下方对应点的 横坐标的取值范围 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 02 基础自查∙巩固素养 概念型问题 1. 二次函数的定义： (1)若y＝(a＋2)xa2＋1＋(a＋1)x＋a是关于x的二次函数，则a的值 为 ⁠. (2)(2024∙西附)下列函数中，y关于x的二次函数是(　B　) A. y＝ax2＋bx＋c B. y＝x(x－1) C. y＝ D. y＝(x－1)2－x2 ±1　 B 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 二次函数的图象： (1)(2024∙西附)一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2 ＋bx的图象大致是(　A　) A B C D A 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点P(c，b)在第 ⁠ 象限. 三　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 二次函数的性质： (1)对称性：抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，3)和(5，3)，则它的对 称轴为 ⁠. (2)顶点坐标与最值： ①二次函数y＝2(x－2)2＋1的顶点坐标是 ⁠. ②已知函数y＝x2－6x＋2，当－2＜x＜4时，则y的取值范围为 ⁠ ⁠. 直线x＝2　 (2，1)　 －7≤y＜18 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (3)增减性：如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)的图象经过(1，0)，(－3，0)，若y随x的增大而减小，则x的取 值范围是 ⁠. x＞－1　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 计算型问题 1. 利用待定系数法求二次函数的表达式： (1)顶点式： ①二次函数图象的顶点坐标是(－2，3)，并经过点(1，2)，求该二次函 数的表达式. 解：设该二次函数的表达式为y＝a(x＋2)2＋3. 把点(1，2)代入上式，得9a＋3＝2.解得a＝－ . ∴该二次函数的表达式为y＝－ (x＋2)2＋3. 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 ②已知一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2＋3形状相同，与另一条抛物 线y＝－ (x＋1)2－2的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ⁠ ⁠. (2)交点式： ①已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象经过三点(－3，0)，(1，0)，(0， 3)，则该抛物线的顶点坐标是 ⁠. y＝2 (x＋1)2－2，y＝－2(x＋1)2－2　 (－1，4)　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 解：由题意，设抛物线的表达式为y＝a(x＋2)(x－4).把C(0，6)代入上 式，得 6＝a×(0＋2)(0－4).解得a＝－ . ∴抛物线的表达式为y＝－ (x＋2)(x－4)， 即y＝－ x2＋ x＋6. ②抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，0)，B(4，0)，与y轴交于点 C(0，6)，求抛物线的表达式. 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (3)三点式(一般式)： ①若一个二次函数的图象经过(0，1)，(2，4)，(3，10)三点，则这个二 次函数的表达式为 ⁠. ②已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，与y 轴交于点C(0，－5)，且经过点D(3，－8).求该二次函数的表达式. 解：根据题意，得 解得 ∴该二次函数的表达式为y＝x2－4x－5. y＝ x2－ x＋1　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 二次函数图象与x轴的交点：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称 轴是直线x＝1，若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为x ＝6，则另一个根为 ⁠. x＝－4　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 二次函数图象与y轴的交点：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为 直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝－1时，y＞0，下列结 论正确的是(　D　) A. 2a＝b B. b2－4ac＜0 C. a－2b＋4c＜0 D. 8a＋c＞0 D 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 4. 二次函数图象与一次函数图象的交点：已知某函数图象关于y轴对 称，当0≤x≤2时，y＝x2－2x；当x＞2时，y＝2x－4.若直线y＝x ＋b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的取值范围是 (　A　) A. － ＜b＜0 B. － ＜b＜－ C. － ≤b≤0 D. b≤－ 或b＞0 A 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 方法型问题 1. 二次函数图象上点的坐标特征： (1)已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3＜b ＜4，则下列判断正确的是(　A　) A. 1＜y1＜y2 B. y1＜1＜y2 C. 1＜y2＜y1 D. y2＜1＜y1 (2)若点(－1，－2)在二次函数y＝ax2＋2bx＋1(a≠0)的图象上，则代数 式2a－4b＋1的值为 ⁠. A －5　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 二次函数一般形式与顶点式互化： (1)若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b，k的值分 别为(　B　) A. 0，5 B. －4，1 C. －4，5 D. －4，－1 (2)将抛物线y＝x2－6x＋1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位 长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ⁠. B (1，－5)　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 画二次函数的图象：在二次函数y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对 应值如下表所示. x … －2 0 1 … y … －2 －2 1 … (1)求二次函数的表达式； 解：(1)把点(－2，－2)，(1，1)代入y＝ax2＋bx－2，得 解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－2. 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二 次函数的图象； 解：(2)y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，∴二次函数图象的顶点坐标为(－ 1，－3)，对称轴为直线x＝－1， ∴点(1，1)关于直线x＝－1的对称 点为(－3，1)，画出函数图象如图 所示. 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象 对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值. 解：(3)n的值为1＋ 或4－ . ［提示：依据题意，由二次函数的图象向右平移n个单位长度后，则新函数为y＝(x＋1－n)2－3，故此时对称轴是直线x＝n－1，函数图象开口向上，然后分三种情形分别讨论计算，进而可以得解.］ 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 03 综合思考∙提升素养 建模型问题 1. 图象法求一元二次方程的近似根：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y 与x的部分对应值如下表： x … －1 0 1 3 … y … －3 1 3 1 … 则方程ax2＋bx＋c＝0的正根介于(　A　) A. 3与4之间 B. 2与3之间 C. 1与2之间 D. 0与1之间 A 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 二次函数与不等式(组)： (1)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一部分.当y＜0时，自变量x 的取值范围是(　C　) 第(1)题图 C A. x＜－1或x＞2 B. x＜－1或x＞5 C. －1＜x＜5 D. －1＜x＜2 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)(2023∙松树桥中学)已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx ＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2).如图，能使y1＞y2成 立的x的取值范围是 ⁠. 第(2)题图 x＜－2或x＞8　 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 根据实际问题列二次函数关系式：(2024∙育才)某农机厂四月份生产 零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共 生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是(　B　) A. y＝60(1＋x)2 B. y＝60＋60(1＋x)＋60(1＋x)2 C. y＝60(1＋x)＋60(1＋x)2 D. y＝60＋60(1＋x) B 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 探究型问题 1. 二次函数图象与系数的关系： (1)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的图象交x 轴于A，B两点，点A的坐标是(－1，0)，点B的坐标是(n，0)，有下列 结论：①abc＜0；②4a＋c＞2b；③关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的 解是x1＝－1，x2＝n；④－ ＝ .其中正确的有(　C　) C 第(1)题图 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(5，0)，与y 轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，M是抛物线的顶点，则下列说法 正确的是 (填序号). 第(2)题图 ①③⑤　 ①abc＞0；②b＋3a＞0；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④c＜3b； ⑤若CM⊥AM，则a＝ . 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 二次函数与几何变换： (1)已知点A(－4，8)和点B(2，n)在抛物线y＝ x2上，沿x轴向左平移 该抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，C(－2， 0)是x轴上的一个定点.当A′C＋CB′最短时，此时抛物线的表达式 为 ⁠. (2)将抛物线y＝2x2－1向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的 新抛物线的表达式为 .(用一般形式表示) y＝ (x＋ )2　 y＝2x2＋12x＋15　 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 二次函数综合理解：在平面直角坐标系中，点P(2，－3)在二次函数 y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x ＝m. (1)求m的值； 解：(1)∵点P(2，－3)在二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象上， ∴4a＋2b－3＝－3.解得b＝－2a. ∴该二次函数的表达式为y＝ax2－2ax－3. ∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝－ ＝1. ∴m＝1. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)若点Q(m，－4)在y＝ax2＋bx－3的图象上，将该二次函数的图象向 上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象.当0≤x≤4时，求新的 二次函数的最大值与最小值的和； 解：(2)由(1)，得Q(1，－4).∵点Q(1，－4)在y＝ax2－2ax－3的图象 上，∴a－2a－3＝－4.解得a＝1. ∴该二次函数的表达式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4. 将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为y＝(x －1)2－4＋5＝(x－1)2＋1. ∵0≤x≤4，∴当x＝1时，函数的最小值为1； 当x＝4时，函数的最大值为(4－1)2＋1＝10. ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (3)设y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2).若4 ＜x2－x1＜6，求a的取值范围. 解：(3)∵y＝ax2－2ax－3的图象与x轴交点为 (x1，0)，(x2，0)(x1＜ x2)， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝－ . ∵x2－x1＝ ， ∴x2－x1＝ ＝2 . ∵4＜x2－x1＜6， ∴4＜2 ＜6，即2＜ ＜3. ∴ ＜a＜1. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 04 创新实践∙展示素养 创新型问题：定义新运算与二次函数 (2024∙实验外语校)对于实数a，b，定义新运算a&b＝ ab－a(a≥b)， －ab－b(a＜b)，下列结论： ①2&3＝4； ②若a&b＝b&a，则a＝b＝0； ③若x1，x2为关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－3＝0的两根，且满 足0＜x1－x2＜3，则x1&(x2－3)＋x2&(x1－3)＝－6； ④若函数y＝(1－2x)&(x－2)的图象与直线y＝m有三个不同的交点， 则－ ＜m≤0. 其中正确的有(　A　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 A 首页 目录 素养六 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 请完成《基础练习本》P23~25素养练测11 本讲内容结束 $