7.第二单元 第7讲 分式方程及其应用-【学本课堂】2026年重庆中考数学精讲本配套课件

第二单元　方程与不等式　 第7讲　分式方程及其应用 2026重庆数学 《学本课堂》 目 录 1 回归教材∙依标扣本 2 基础自查∙巩固素养 3 综合思考∙提升素养 4 创新实践∙展示素养 课 标 要 求 1.能解可化为一元一次方程的分式方程. 2.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 知 识 导 图 首页 目录 01 回归教材∙依标扣本 分式方程及其解法 分 式 方 程 及 其 解 法 定义：① ⁠中含有未知数的方程叫分式方程 解法 步骤 (1)去分母，化为整式方程； ［注意：不要漏乘没有分母的项］ (2)解整式方程； 分母　 (3)检验 方法1：把未知数的值代入最简公分母，最简公分母≠0，为方程的解； 方法2：把未知数的值代入原方程，左边＝右边，为方程的解 (4)写根　　［口诀：一化二解三检验四写根］ ［口诀：一化二解三检验四写根］ 增根 定义：满足分式方程去分母后的整式方程且使分式方程分母为 ② ⁠的未知数的值叫分式方程的增根 产生原因：分式方程去分母时，两边同时乘了一个等于0的最 简公分母 0　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 分式方程的实际应用 分式 方程 的实 际应 用 一般步骤： 实际问题 列分式方程 解方程 检验 答 常见 类型 行程问题： ＝时间， ＝速度　 ［双检验：(1)检验是否是所列分式方程的解； (2)检验是否符合题意］ 工程问题： ＝工作时间， ＝③ ⁠ 购买(销售)问题： ＝数量， ＝单价， ＝折扣， ＝标价 工作效率　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 02 基础自查∙巩固素养 概念型问题 1. 分式方程的定义： (1)观察分析下列方程：①x＋ ＝3；②x＋ ＝5；③x＋ ＝7，请利 用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是 ⁠ ⁠. x＋　 　＝n＋(n＋1)　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)下列关于x的方程是分式方程的是(　C　) A. ＝ B. －3＝ C. ＝3 D. x＝1 2. 分式方程的解：方程 ＝1的解是 ⁠. C x＝－1　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 计算型问题 1. 解分式方程：(2024∙开州区)解下列分式方程： (1) － ＝－2； 解：(1)方程两边乘(x－2)，得 3＋x＝－2(x－2).解得x＝ . 检验：当x＝ 时，x－2≠0. 故原方程的解为x＝ . 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2) ＝ . 解：(2)方程两边乘(x2－1)，得 2(x＋1)＝4.解得x＝1. 检验：当x＝1时，x2－1＝0. 则x＝1是原方程的增根. 故原方程无解. 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 换元法解分式方程： 阅读下面材料，解答后面的问题： 解方程： － ＝0. 解：设y＝ ，则原方程化为y－ ＝0.方程两边乘y，得y2－4＝0.解 得y＝±2.经检验，y＝±2都是方程y－ ＝0的解. ∴当y＝2时， ＝2，解得x＝－1； 当y＝－2时， ＝－2，解得x＝ . 经检验，x＝－1或x＝ 都是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x＝－1或x＝ . 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 上述这种解分式方程的方法称为换元法.问题： (1)在方程 － ＝4中，设 　 　　＝y，则原方程可化为 　y－ ，原方程的解为 　x＝ 或x＝－ ； y－ ＝4　 x＝ 或x＝－ 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)模仿上述换元法解方程： － －1＝0. 解：(2)原方程化为 － ＝0. 设y＝ ，则原方程化为y－ ＝0. 方程两边乘y，得y2－1＝0.解得y＝±1. 经检验，y＝±1都是方程y－ ＝0的解. 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 当y＝1时， ＝1，该方程无解； 当y＝－1时， ＝－1.解得x＝－ . 经检验，x＝－ 是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x＝－ . 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 方法型问题 1. 分式方程无解：如果关于x的分式方程 ＋ ＝2无解，那么m的 值是(　C　) A. m＝1 B. m＝－1 C. m＝1或m＝－1 D. m≠1且m≠－1 C 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 特殊解问题： (1)已知关于x的分式方程 － ＝3的解为负数，则k的值为 (　A　) A. k＜－4 B. k＞－4 C. k＜－4且k≠－ D. k＞－4且k≠－ (2)若关于x的方程 ＝1的解是正数，则m的取值范围是 ⁠ ⁠. A m＜－1 且m≠－2　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 与不等式组综合： (1)若关于x的不等式组 ≤x＋2， x＋1≥－x＋a至少有两个正整数解，且关于x的分式方程 ＝2－ 的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为(　B　) A. 8 B. 14 C. 18 D. 38 B 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)关于x的一元一次不等式组 ≥ －1， x＋a＜12 的解集为x≤3，且关于y的分式方程 ＋ ＝－1的解是正整数，则 所有满足条件的整数a的值之和为 ⁠. 18　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 03 综合思考∙提升素养 建模型问题：由实际问题抽象出分式方程 1. 小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6 000元油费 行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同，且每百公里 的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费.设纯电汽 车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 ⁠. ＝ 　 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等，则江水的 流速为(　D　) A. 5 km/h B. 6 km/h C. 7 km/h D. 8 km/h D 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 某商店计划今年的春节购进A，B两种纪念品若干件.若花费480元购 进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的 .已知每件 A种纪念品比每件B种纪念品多4元，设购买一件B种纪念品需要x元， 则下列所列方程正确的是(　C　) A. ＝ × B. ＝ × C. ＝ × D. × ＝ C 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 4. (2024∙大渡口区、实验外语校)已知电动汽车平均每千米的行驶费用 比燃油车平均每千米的行驶费用少0.4元，当两种汽车的行驶费用均为 300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍.求电动汽车平均 每千米的行驶费用.设电动汽车平均每千米的行驶费用为x元，则根据 题意可列出方程为(　D　) D A. 3× ＝ C. ＝3× B. ＝3× D. ＝3× 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 5. (2024∙南开)2024年3月24日，长安汽车重庆马拉松在美丽的海棠烟雨 公园鸣枪起跑.甲、乙两人参加了40千米的比赛，甲每小时比乙多跑2千 米，最终甲比乙早1小时到达.设乙的速度为每小时x千米，则可列方程 为(　C　) A. ＝ ＋1 B. ＝ －1 C. ＝ ＋1 D. ＝ －1 C 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 6. 如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家 朱世杰所著.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩 人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”.大意是：现请人代 买一批椽，这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少 拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能 买多少株椽？(椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆)设这批椽有x 株，则符合题意的方程是(　C　) C A. ＝3 B. ＝3x－1 C. 3(x－1)＝ D. 3(x－1)＝ 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 探究型问题 1. 行程问题：我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先进 的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快 速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍， 它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小 时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里. 根据题意，得 － ＝22.解得x＝2. 经检验，x＝2是原方程的根，且符合题意. 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 工程问题：智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品 牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人 可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器人的每一个 机械手平均a秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹 果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (1)求a的值； 解：(1)由题意，得 － ＝25. 解得a＝8.经检验：a＝8是原方程的解，且符合题意，∴a的值为8. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成. 每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人 同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10 000个？ 解：(2)1小时＝3 600s.设需要x个这样的机器人. 由题意，得 ×4x≥10 000.解得x≥ . ∵x为正整数，∴x的最小值为6. 答：至少需要6个这样的机器人. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 销售问题：某景区需要购买A，B两种型号的帐篷.已知用1 800元购 买A种型号帐篷的数量与用3 000元购买B种型号帐篷的数量相等，且B 种型号帐篷的单价比A种型号帐篷的单价多400元. (1)A，B两种型号帐篷的单价各是多少元？ 解：(1)设A种型号帐篷的单价是x元， 则B种型号帐篷的单价是(x＋400)元. 由题意，得 ＝ .解得x＝600. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 经检验：x＝600是原方程的解，且符合题意. ∴x＋400＝1 000. 答：A种型号帐篷的单价是600元，B种型号帐篷的单价是1 000元. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷 均需购买)，且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的 ，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总 费用是多少元？ 解：(2)设购买A种型号帐篷m顶，总费用为W元，则购买B种型号帐篷 (20－m)顶. 由题意，得20－m≥ m.解得m≤15. 又∵两种型号的帐篷均需购买，∴0＜m≤15. 由题意，得W＝600m＋1 000(20－m)＝－400m＋20 000. ∵－400＜0，∴W随m的增大而减小. ∴当m＝15时，W取最小值，W最小＝－400×15＋20 000 ＝14 000，此时20－m＝5. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 答：当购买A种型号帐篷15顶，B种型号帐篷5顶时，总费用最低，最低 总费用为14 000元. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 04 创新实践∙展示素养 创新型问题：分式方程推理 (2024∙凤鸣山)已知三个函数：y1＝x－2，y2＝3x＋1，y3＝ .下列 说法： ①已知y2－y1＝ax，若此时关于x的方程无解，则a＝2； ②若 为整数，则满足条件的整数x的值的和为8； ③若y2－y1＋y3＝6，则 ＝ . 其中正确的个数是(　C　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C 首页 目录 素养六 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 请完成《基础练习本》P13~14素养练测7 本讲内容结束 $