6.第二单元 第6讲 一元二次方程及其应用-【学本课堂】2026年重庆中考数学精讲本配套课件

第二单元　方程与不等式　 第6讲　一元二次方程及其应用 2026重庆数学 《学本课堂》 目 录 1 回归教材∙依标扣本 2 基础自查∙巩固素养 3 综合思考∙提升素养 4 创新实践∙展示素养 课标 要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数 的一元二次方程. 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实 根是否相等. 3.了解一元二次方程的根与系数的关系. 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 首页 目录 知识 导图 首页 目录 01 回归教材∙依标扣本 一元二次方程及其解法 一元 二次 方 程 及 其 解 法 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是① ⁠的整式方程 一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2　 解法 解法 适用情况 方程的根 直接开 平方法 x2＝m(m≥0) x1＝ ，x2＝－ (x＋n)2＝p(p≥0) x1＝ －n， x2＝－ －n 配方法 可化为(x＋n)2＝p(p≥0) 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 解法 适用情况 方程的根 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0) x＝② ⁠ 因式分 解法 ax2＋bx＋c＝a(x－m)(x－n)＝0(a≠0) x1＝m，x2＝n 　 一元 二次 方 程 及 其 解 法 解法 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 一元二次方程根的判别式 一元 二次 方程 根的 判别 式　 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是Δ＝b2－4ac 与 根 的 关 系 (1)Δ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；　　　 (2)Δ③ 0⇔一元二次方程有两个相等的实数根； →［切记： 不能说方 程有一个 实数根］ (3)Δ④ 0⇔一元二次方程无实数根　　　　　　　　　 ＝　 ＜　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 一元二次方程根与系数的关系 一元 二次 方程 根与 系数 的关 系 关系：x1，x2为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根， 则x1＋x2＝⑤ ⁠， 　　x1x2＝⑥ 运用 平方型： ＋ ＝(x1＋x2)2－2x1x2，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2 －4x1x2 括号型：(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 － 　 　 分式型： ＋ ＝ ， ＋ ＝ ＝ 绝对值型：｜x1－x2｜＝ ＝ ＝ 因式分解型： x2＋x1 ＝x1x2(x1＋x2) →［注意：Δ≥0是前提条件］ 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 一元二次方程的实际应用 一元 二次 方程 的实 际应 用 步骤：实际问题 实际问 题的解 常 见 类 型 变化 率问 题 找等量关系 设未知数 列一元二 次方程 解一元二 次方程 一元二次 方程的根 设原来的量为a，变化后的量为b.　　 在求解时一般使用直接开平方法. 当连续两次增长，平均每次增长率为x时，则有a(1＋x)2 ＝b； 当连续两次下降，平均每次下降率为x时，则有 ⑦ ⁠ a(1－x)2＝b　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 传播问题：与变化率问题类似，若开始数量为a，每轮传染中每个个体传染的数量为x，经2轮传染后的数量为b，则有 a(1＋x)2＝b 面积 问题 一元 二次 方程 的实 际应 用 常 见 类 型 (1)如图1，设空白部分的宽为x，则S阴影＝ ⑧ ⁠ (2)如图2、图3、图4，设空白部分的宽为x，则S阴影 ＝⑨ ⁠ ⁠ (a－2x)(b－2x)　 (a－x)(b－x)　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 一元 二次 方程 的实 际应 用 常 见 类 型 (1)常用公式：利润＝售价－成本，总利润＝每件利润×销售量 (2)“每每型”问题中，单价每涨a元，少卖b件.若涨价y元，则少卖的数量为 ×b件 (1)若x人中每两人之间握手一次(x队每两队之间比赛一场)，握手总次数为m(总比赛场数为m)，则⑩ ＝m (2)若全班有x人，每人向其他人送一份礼物，共送m份礼物，则x(x－1)＝m 　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 02 基础自查∙巩固素养 概念型问题 1. 一元二次方程的定义： (1)(2024∙育才)下列方程是一元二次方程的是(　A　) A. x2－2x＋3＝0 B. 2x＋y＝1 C. y＝x2－1 D. ＝1 (2)关于x的方程(m－1)x｜m＋1｜＋3x－2＝0是一元二次方程，则m的值 为 ⁠. A －3　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 一元二次方程的一般形式： (1)关于x的一元二次方程(k－3)x2＋5x＋k2－9＝0中常数项为0，则k等 于(　B　) A. 3 B. －3 C. ±3 D. 9 (2)将方程3x2－8x＝10化为一元二次方程的一般形式是 ⁠ ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项 是 ⁠. B 3x2－8x－10 ＝0　 3　 －8　 －10　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 一元二次方程的解： (1)已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则m的值为 ⁠. (2)已知m是一元二次方程x2＋2x－5＝0的根，则－4m－2m2＋10的值 为 ⁠. 2　 0　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 计算型问题 1. 直接开平方法： (2024∙南开)解方程：16(x－1)2＝25. 解：方程变形为(x－1)2＝ ，x－1＝± . ∴x1＝ ，x2＝－ . 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 配方法： 解方程：(x＋1)(x－3)＝－4. 解：整理，得x2－2x＋1＝0. ∴(x－1)2＝0，则x－1＝0或x－1＝0. ∴x1＝x2＝1. 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 公式法： (2024∙育才)解方程：3x2－4x＋2＝0. 解：∵a＝3，b＝－4，c＝2， ∴Δ＝(－4)2－4×3×2＝－8＜0. ∴方程没有实数解. 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 4. 因式分解法： 解方程：x2－7x＝－12. 解：移项，得x2－7x＋12＝0. 因式分解，得(x－4)(x－3)＝0. ∴x－4＝0或x－3＝0. ∴x1＝4，x2＝3. 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 方法型问题 1. 根的判别式： (1)关于x的方程x2－3x＋m＋2＝0没有实数根，则m的取值范围 为 . (2)若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x－1＝0有两个不相等的实数 根，则m的最小整数值是 ⁠. m＞ 　 2　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (3)关于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的 取值范围是(　D　) A. m≤4 B. m≥4 C. m≥－4且m≠2 D. m≤4且m≠2 D 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 根与系数的关系：小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程 时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1； 小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2 和－5.则原来的方程是(　B　) A. x2＋6x＋5＝0 B. x2－7x＋10＝0 C. x2－5x＋2＝0 D. x2－6x－10＝0 3. 整体代入思想：已知y2－x＝0，x2－3y2＋x－3＝0，则x的值 为 ⁠. B 3　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 03 综合思考∙提升素养 建模型问题 1. 实际问题抽象出一元二次方程： (1)(2025∙一中)随着夏季到来，西瓜进入丰收季，某地西瓜的供应量持续 增加，导致市场价格两次降低，每次降低的百分率相同.已知西瓜原价 为每千克12.5元，经过两次降价后现价为每千克8元，则每次降低的百 分率是 ⁠. (2)(2025∙南开)随着经济复苏，某公司2025年第一季度的月利润逐月增 加，若该公司一月份的利润是100万元，三月份的利润121万元，则该公 司这两个月利润的平均增长率为 ⁠. 20％　 10％　 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 利用配方比较大小：已知a，b满足等式x＝a2－6ab＋9b2，y＝4a －12b－4，则x，y的大小关系是(　D　) A. x＝y B. x＞y C. x＜y D. x≥y D 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 含参一元二次方程模型： (1)已知两个关于x的一元二次方程：x2＋bx＋c＝0(b，c均为常数)， x2＋bx＋c＝x－3.其中，方程x2＋bx＋c＝0的一个根是x＝3，方程 x2＋bx＋c＝x－3有两个相等的实数根，则b的值是 ⁠. (2)若关于x的一元一次不等式组 至少有2个整数解，且关于y的一元二次方程ay2＋2y－1＝0有两个不相 等的实数根，则所有满足条件的整数a的值之积是 ⁠. －5　 24　 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 4. 实际应用：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB ＝8 cm，AD＝10 cm，BC＝16 cm.动点M从点B出发，以2 cm/s的速 度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1 cm/s的 速度沿边CB向终点B运动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点 也随之停止运动.设运动的时间为t s.当t＝2 s时，点M，N的位置如图 所示.有下列结论： ①当t＝6时，CN＝DM； ②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26 cm2； ③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39 cm2. 其中，正确结论的个数是(　C　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 探究型问题 1. 变化率问题：(2024∙大渡口区)公安交警部门提醒市民，骑车出行必 须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份 到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4 月份到6月份销售量的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； 解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x. 依题意，得150(1＋x)2＝216. 解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2(不合题意，舍去). 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20％. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)若该品牌头盔的进价为30元/个，在市场中测算，当售价为40元/个 时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量 将减少10个，为使月销售利润达到10 000元，而且尽可能让顾客得到实 惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 解：(2)设该品牌头盔的实际售价为y元/个. 依题意，得(y－30)［600－10(y－40)］＝10 000. 整理，得y2－130y＋4 000＝0. 解得y1＝80(不合题意，舍去)，y2＝50. 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 循环问题：(2024∙铜梁区)一次同学聚会，每两人之间互赠1件礼物， 共有礼物30件.设x人参加聚会，则可列方程为(　D　) A. x(x＋1)＝30 B. x(x－1)＝30 C. x(x＋1)＝30 D. x(x－1)＝30 D 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 传染问题：(2024∙实验外语校)甲流病毒是一种传染性极强的急性呼 吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现.在“甲 流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染 平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”.则关 于x的方程为(　C　) A. x＋x(x＋1)＝256 B. x2＋x＝256 C. 1＋x＋x(x＋1)＝256 D. (x＋1)＋(x＋1)2＝256 C 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 4. 几何相关：为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩 形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可 列方程(　C　) A. 5x2＝6 B. 5(1＋x2)＝6 C. x(5－x)＝6 D. 5(1＋x)2＝6 C 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 5. 销售问题：某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每 件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平 均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元. (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； 解：(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x. 根据题意，得125(1－x)2＝80. 解得x1＝0.2＝20％，x2＝1.8(不合题意，舍去). 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20％. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100 件，求最少购进多少件甲种商品. 解：(2)设购进y件甲种商品，则购进(100－y)件乙种商品. 根据题意，得(125－25×2)y＋80(100－y)≤7 800. 解得y≥40.∴y的最小值为40. 答：最少购进40件甲种商品. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 04 创新实践∙展示素养 创新型问题：方程的推理 (2025∙一中)已知多项式A＝x2＋x＋n，多项式B＝x2＋ex＋f，其中 n，e，f均为正整数，下列说法： ①若n＝f＝1，且关于x的方程A＝B有无数个解，则e＝1； ②若e＝2，则存在实数x使得A＋B＝0； ③若p＝1＋n，q＝1＋e＋f，且pq＋p＋q＝14，则满足条件的多项 式B共有3个. 其中正确的个数是(　B　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 B 首页 目录 素养六 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 请完成《基础练习本》P11~12素养练测6 本讲内容结束 $