5.第二单元 第5讲 一次方程(组)及其应用-【学本课堂】2026年重庆中考数学精讲本配套课件

第二单元　方程与不等式　 第5讲　一次方程(组)及其应用 2026重庆数学 《学本课堂》 目 录 1 回归教材∙依标扣本 2 基础自查∙巩固素养 3 综合思考∙提升素养 4 创新实践∙展示素养 课标 要求 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程； 理解方程解的意义，经历估计方程解的过程；能根据具体问题 的实际意义，检验方程解的合理性. 2.掌握等式的基本性质；能解一元一次方程；掌握消元法，能解 二元一次方程组；*能解简单的三元一次方程组. 知识 导图 首页 目录 01 回归教材∙依标扣本 等式的性质 等 式 的 性 质 性质1：若a＝b，则a±c＝① ，关联方程对应步骤：移项 性质2：若a＝b，则ac＝② ，关联方程对应步骤：去分母； 　　若a＝b(c≠0)，则 ＝③ 　 　，关联方程对应步骤：系数化为1 b±c　 bc　 　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 一元一次方程及其解法 一元 一次 方程 及其 解法 方程的解：能使方程左、右两边的值相等的未知数的值　 ［注意：分母不含有未知数］ 一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 ④ 的整式方程 1　 解法步 骤与注 意事项 步骤 例：2－ (x＋1)＝2x 注意事项 去分母 ⑤ ⁠ 不要漏乘不含分母的项 6－2(x＋1)＝6x 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 一元 一次 方程 及其 解法 解法步 骤与注 意事项 步骤 例：2－ (x＋1)＝2x 注意事项 去括号 ⑥ ⁠ 括号前是“－”号时，去括号后括号内各项均要变号 移项 －2x－6x＝2－6 移项要变号 合并同 类项 －8x＝－4 系数相加，字母及其指数均不变 系数化为1 x＝_x001A_𝟏_x001B_𝟐_x001B_ 分子、分母不要颠倒 6－2x－2＝6x 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 二元一次方程(组)及其解法 二元 一次 方程 (组) 及其 解法 相关 概念 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的 项的次数都是⑦ ⁠的方程 二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有每个未知 数的项的次数都是⑧ ，并且一共有两个方程 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等 的⑨ ⁠ 的值 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的 ⑩ ⁠ 1　 1　 两个未知数　 公共解　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 代入消元法：将一个方程用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入另一个方程 加减消元法：将两个方程中某个未知数的系数化成相等或互为相反数，再加减 二元 一次 方程 (组) 及其 解法 解法 三元一次方程组(*选学) 二元一次方程组 一元一次方程 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 一次方程(组)的实际应用 一次 方程 (组) 的实 际应 用 步骤：(1)审题；(2)设未知数(直接设，间接设)；(3)找等量关系(一般几个未知数就有几个等量关系)；(4)列方程(组)；(5)解方程(组)；(6)检验；(7)答 常见 类型 利润问题：利润＝售价－进价＝进价×利润率， 售价＝标价×折扣 利息问题：利息＝本金×利率×期数 工程问题：工作量＝工作效率×⑪ ⁠ 工作时间　 行程 问题 相遇：甲路程⑫ 乙路程＝总路程 追及：快车路程⑬ 慢车路程＝两地间距离 ＋　 －　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 02 基础自查∙巩固素养 概念型问题 1. 方程的定义： (1)下列不．是．方程的是(　B　) A. a＋a＝2a B. 2x＋3 C. 2x＋1＝5 D. 2(x＋1)＝2x＋2 (2)语句“x的3倍比y的 大7”用方程表示为 　3x＝　 　y＋7　. B 3x＝ y＋7　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 方程的解： (1)已知x＝2是方程3a－2x＝2的解，则a＝ ⁠. (2)做作业时，小明不小心将方程中的一个常数污染，方程变为2(x－3) －■＝x＋5，老师告诉他原方程的解是x＝7，根据老师给的信息，■ 里的值为 ⁠. 2　 －4　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 等式的基本性质： (1)把方程3x－y＝4改写成用含x的代数式表示y，则y＝ ⁠. (2)(2024∙西附)下列运用等式的性质变形错．误．的是(　A　) A. 若a2＝2a，则a＝2 B. 若x＝y，则xc＝yc C. 若x＝y，则 ＝ D. 若x＝y，则5－x＝5－y 3x－4　 A 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (3)一般情况下 ＋ ＝ 不成立，但有些数可以使得它成立，例如： a＝b＝0.我们称使得 ＋ ＝ 成立的一对数a，b为“相伴数 对”，记为(a，b).若(m，n)是“相伴数对”，则m－ n－ ［4m－2(3n－1)］的值为 ⁠. －2　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 4. 一元一次方程的定义： (1)如果关于x的方程(k－1)x｜k｜＝1是一元一次方程，那么k＝ ⁠ ⁠. (2)公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支 点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原 理”：阻力×阻力臂＝动力×动力臂.已知阻力和阻力臂分别为600 N和 1 m，当动力为1 200 N时，动力臂是 m. －1 0.5　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 5. 一元一次方程的解： (1)(2024∙万州区)已知2是关于x的方程 (1－2ax)＝2x＋1的解，则a的 值为(　B　) A. B. － C. 1 D. －1 B 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)整式ax＋b的值随着x的取值的变化而变化，如下表是当x取不同的 值时对应的整式的值： x －1 0 1 2 3 ax＋b －8 －4 0 4 8 则关于x的方程－ax－b＝－4的解是 ⁠. x＝2　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (3)已知关于x的一元一次方程3(x－1)＝ax＋6有正整数解，则所有满足 条件的整数a之和为 ⁠. (4)如果关于x的方程(a＋2)x＝8无解，那么a应满足的条件是 ⁠. －4　 a＝－2 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 6. 二元一次方程的定义： (1)若关于x，y的方程xm－1－2y3＋n＝5是二元一次方程，则m＋n＝ (　A　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (2)下列属于二元一次方程的有(　A　) ①xy＋2x－y＝7；②4x＋1＝x；③ ＋y＝5； ④x＝3y；⑤x2－y2＝2；⑥x＋y＋z. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 A A 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 7. 二元一次方程的解： (1)已知方程2x－y－1＝0的一组解为 则4m－2n＝ ⁠. (2)(2024∙实验中学)已知关于x，y的二元一次方程2x－ky＝9有一组解 为 则k等于(　A　) A. －3 B. 3 C. D. － 2　 A 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 8. 二元一次方程组的定义： (1)若方程组 是关于x，y的二元一次方程组，则a的值 为 ⁠. 0　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)下列方程组是二元一次方程组的是(　B　) A. B. C. D. B 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 9. 二元一次方程组的解： (1)如果关于x，y的二元一次方程组 的解x，y满 足x＋y＝3，那么k的值是 ⁠. 6　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 则(m＋n)26的值为(　A　) A. 1 B. －1 C. 0 D. 26 A 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 计算型问题 1. 解一元一次方程：解下列方程： (1)2(x－1)＝2＋x； 解：(1)去括号，得2x－2＝2＋x. 移项，得2x－x＝2＋2. 合并同类项，得x＝4. 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2) ＝1＋ . 解：(2)去分母，得 0.3(0.5x－0.4)＝0.12＋0.4(0.2x＋0.1). 去括号，得0.15x－0.12＝0.12＋0.08x＋0.04. 移项、合并同类项，得0.07x＝0.28. 系数化为1，得x＝4. 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 解二元一次方程组：(2024∙丰都县)解下列方程组： (1) 解：(1) ①－②，得2y＝4.解得y＝2. 把y＝2代入①，得2x＋3×2＝8.解得x＝1. ∴这个方程组的解是 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2) 解：(2)整理，得 ①－②，得－2y＝6.解得y＝－3. 把y＝－3代入②，得2x＋3＝3.解得x＝0. ∴这个方程组的解是 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 解三元一次方程组：(2024∙梁平区)解三元一次方程组 ③如果消掉未知数z，则应对方程组变形为 (　C　) C A. ①＋③，①×2－② B. ①＋③，③×2＋② C. ②－①，②－③ D. ①－②，①×2－③ 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 方法型问题 1. 含绝对值的一元一次方程：(2024∙黔江区)方程｜x－3｜＝1的解 为 ⁠. 2. 同解方程：(2024∙南开)若关于x的方程2x－4＝－24和x＋2＝m有相 同的解，则m的值是(　B　) A. 10 B. －8 C. －10 D. 8 4或2　 B 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 同解方程组：(2024∙合川区)已知关于x，y的方程组 与 有相同的解，则ab的值为(　A　) A. －4 B. －2 C. 0 D. 2 A 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 03 综合思考∙提升素养 建模型问题 1. 由实际问题抽象出一元一次方程：《九章算术》中有一个问题： “今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起， 问何日相逢？”(凫：野鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时 起飞，经过多少天能够相遇？”)如果设经过x天能够相遇，根据题意， 得(　A　) A. x＋ x＝1 B. x－ x＝1 C. 7x＋9x＝1 D. 9x－7x＝1 A 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 由实际问题抽象出二元一次方程：《九章算术》中曾记载：“今有 牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？” 译文：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两. 问：每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛值金x两，每只羊值金 y两，可列方程组为 ⁠. 　 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 看错模型：(2024∙潼南区)解关于x，y的二元一次方程组 时，一学生把c看错而得到 而正确的解是 则a，b，c的值分别是(　A　) A A. a＝2，b＝3，c＝－2 B. a＝－2，b＝－5，c＝－10 C. a，b不能确定，c＝－2 D. a，b不能确定，c＝－10 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 4. 特殊解模型：(2024∙万州区)使得关于x的不等式组 － ≤－ ＋1，－2x＋1≥4m－1有解，且使得关于y的方程1＋(m－y)＝2(y－2)有非负整数解的所有的整数m的和是 ⁠. －6　 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 探究型问题 1. 工程问题：“众志成城，共克时艰”，某市筹集了大量的救援物 资，用甲、乙两种型号的货车，分两批运往医院和塌方灾害事故现场， 具体运输情况如下表： 第一批 第二批 甲型货车的数量(单位：辆) 3 4 乙型货车的数量(单位：辆) 4 5 已知第一批、第二批每辆货车均满载，第一批累计运输救援物资47吨， 第二批累计运输救援物资60吨. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (1)求甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨救援物资； 解：(1)设甲型货车每辆满载能运x吨救援物资，乙型货车每辆满载能运 y吨救援物资. 依题意，得 解得 答：甲型货车每辆满载能运5吨救援物资，乙型货车每辆满载能运8吨救 援物资. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 解：(2)设应安排m辆甲型货车，n辆乙型货车.依题意，得5m＋8n＝ 150.∴m＝30－ . ∵m，n均为正整数，∴ ∴共有3种运输方案，即 方案1：安排22辆甲型货车，5辆乙型货车； 方案2：安排14辆甲型货车，10辆乙型货车； 方案3：安排6辆甲型货车，15辆乙型货车. (2)该市后续又筹集了150吨救援物资，计划同时使用两种货车一次性运 完(每辆货车都满载)，已知甲型货车每辆运输成本500元/次，乙型货车 每辆运输成本700元/次，请问共有哪几种运输方案？ 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (3)在(2)的运输方案中哪种成本最低？最低成本为多少元？ 解：(3)选择方案1所需费用：500×22＋700×5＝14 500(元)； 选择方案2所需费用：500×14＋700×10＝14 000(元)； 选择方案3所需费用：500×6＋700×15＝13 500(元). ∵14 500＞14 000＞13 500， ∴安排6辆甲型货车，15辆乙型货车，运输成本最低，最低成本为13 500元. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 行程问题：(2024∙南开)一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时， 从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度 是25千米/时. (1)求水流速度和A，B两地之间的航程； 解：(1)设水流速度为x千米/时，A，B两地之间的航程为y千米，则轮 船在顺水中的速度为(x＋25)千米/时，在逆水中的速度为(25－x)千米/ 时.根据题意，得 解得 答：水流速度为5千米/时，A，B两地之间的航程为120千米. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码 头的时间是它从B逆水航行到C码头所用时间的一半，问A，C两地相 距多少千米？ 解：(2)设A，C两地相距m千米，B，C两地相距(120－m)千米.根据 题意，得 ＝ × .解得m＝ . 答：A，C两地相距 千米. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 销售问题：某商店销售A，B两种水果.A种水果标价是14元/千克，B 种水果标价是18元/千克. (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款 46元.购买这两种水果各多少千克？ 解：(1)设购买A种水果x千克，B种水果y千克.根据题意，得 解得 答：购买A种水果2千克，B种水果1千克. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)妈妈让小明再到这家商店买A，B两种水果，要求B种水果比A种水果 多买1千克，合计付款不超过50元.设小明买A种水果m千克. ①若这两种水果按标价出售，求m的取值范围； 解：(2)设小明购买A种水果m千克，则购买B种水果(m＋1)千克. ①根据题意，得14m＋18(m＋1)≤50. 解得m≤1. ∴结合实际可得0＜m≤1. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 ②小明到这家商店后，发现A，B两种水果正在进行优惠活动：A种水果 打七五折；一次购买B种水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过 1千克的部分打七五折(注：“打七五折”指按标价的75％出售).若小明 合计付款48元，求m的值. ②根据题意，得14m×0.75＋18＋18m×0.75＝48. 解得m＝1.25. 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 04 创新实践∙展示素养 创新型问题：应用题 (2025∙江津区)“三八妇女节”来临之际，花店纷纷搞促销活动，小丽发 现某花店有康乃馨、玫瑰两种花束正在参加活动，购买2束康乃馨和3束 玫瑰需要290元，购买4束康乃馨和5束玫瑰需要530元. (1)求康乃馨花束和玫瑰花束的单价分别为多少元？ 解：(1)设康乃馨花束的单价为x元，玫瑰花束的单价为y元. 根据题意，得 解得 答：康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元. 首页 目录 素养六 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)“三八妇女节”当天，花店进行促销活动，将康乃馨花束的单价降 低了2m元，玫瑰花束的单价降低了m元，节日当天康乃馨花束的销量 是玫瑰花束销量的1.2倍，且康乃馨花束的销售额为1 200元，玫瑰花束 的销售额为750元，求m的值. 解：(2)根据题意，得 ＝ ×1.2. 解得m＝5. 经检验，m＝5是原方程的解，且符合题意. ∴m的值为5. 首页 目录 素养六 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 请完成《基础练习本》P9~10素养练测5 本讲内容结束 $