4.第一单元 第4讲 二次根式-【学本课堂】2026年重庆中考数学精讲本配套课件

第一单元　数与式　第4讲　二次根式 2026重庆数学 《学本课堂》 目 录 1 回归教材∙依标扣本 2 基础自查∙巩固素养 3 综合思考∙提升素养 4 创新实践∙展示素养 课标 要求 1.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下 仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则 运算. 2.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 首页 目录 知识 导图 首页 目录 01 回归教材∙依标扣本 二次根式 二 次 根 式 相关 概念 二次根式：一般地，形如 (a≥0)的式子叫二次根式 最简二 次根式 (1)被开方数不含① (也就是说最终结果中分 母不含根号) (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式 性质 分母　 (1) 具有双重非负性，即 ≥0，a≥0 (2)()2＝② (a≥0)； ＝｜a｜＝ a　 ∙ 　 (3) ＝ 　⑤　 ∙ 　(a≥0，b≥0)； ＝⑥ 　 　(a≥0，b＞0) 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 加减法：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 二 次 根 式 运算 乘除法： ∙ ＝⑦ 　 　(a≥0，b≥0)； ＝⑧ 　 　(a≥0，b＞0) 　 　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 无理数的估值 无 理 数 的 估 值 确定无理数 在哪两个相 邻整数之间 (1)先对二次根式平方，如()2＝7； (2)找出与平方后所得的数相邻的两个开得尽 方的整数，如4和9； (3)对以上两个整数开方，得到两个整数， 如 ＝2， ＝3； (4)确定这个二次根式的值在这两个相邻整数之间， 如2＜ ＜3 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 (1)先确定这个二次根式在哪两个相邻整数之间，如2＜ ＜3； (2)求这两个整数的平均数，如 ＝2.5； (3)用平方法比较二次根式和平均数的大小，若二次根式的平方大于平 均数的平方，则离较大的整数近，否则离较小的整数近，如2.52＝6.25 ＜7，则 离⑨ ⁠最近 3　 无 理 数 的 估 值 确定无理数 离哪个 整数最近 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 02 基础自查∙巩固素养 概念型问题 1. 二次根式的定义： (1)(2024∙巴蜀)下列各选项中，是二次根式的是(　D　) A. 10 B. C. D. (2)已知二次根式 的值为4，则x＝ ⁠. D 5　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 二次根式有意义的条件： (1)若 在实数范围内有意义，则x满足的条件为 　x≥－　 　且 ⁠. (2)若代数式 ＋ 在实数范围内有意义，则x的取值范围 是 . x≥－　 　且 x≠1　 －3＜x≤ 　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 二次根式的性质： (1)请写出一个符合条件的实数a的值，使得 ＝a－5在实数范 围内有意义，则a的值可以为 ⁠. (2)已知：2，3，y是一个三角形的三条边，则｜y－1｜＋ 的化简结果是 ⁠. (3)若 ＝ ∙ ，则化简 ＋｜x－4｜的结果 是 ⁠. (4)已知 是正整数，则正整数n的最小值是 ⁠. 6(答案不唯一)　 4　 5　 2　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 4. 最简二次根式： (1)将 化为最简二次根式是 　 . (2)(2024∙两江新区)下列式子是最简二次根式的是(　A　) A. B. C. D. A 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 5. 同类二次根式： (1)若最简二次根式 与 能合并，则x＝ ⁠. (2)(2024∙梁平区)已知最简二次根式 与 是同类二次根式，则a 的值可能是(　B　) A. 16 B. 0 C. 2 D. 任意实数 2　 B 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 6. 分母有理化： (1)计算： ＝ 　 　＋1　. (2)计算 的结果是 　 　＋2　. 　＋1　 　＋2　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 计算型问题 1. 二次根式的乘法： (1)计算： × ＝ ⁠. (2)已知x＝ － ，y＝ ＋ ，则xy＝ ⁠. 6　 1　 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (3)下列各式的计算中，正确的是(　C　) A. ＝ × ＝6 B. ＝3＋4＝7 C. ＝ × ＝9 D. 3 ＝ C 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 二次根式的除法： (1)计算： ÷ × ＝ ⁠. (2)(2024∙丰都县)下列计算正确的是(　D　) A. ＋ ＝ B. ∙ ＝ C. 3 －2 ＝1 D. ÷ ＝2 2　 D 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 二次根式的加减：(2024∙秀山县)下列计算正确的是(　C　) A. ＝－9 B. ＋ ＝ C. －2 ＝－ D. － ＝ C 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 方法型问题 1. 含二次根式的实数混合运算： 计算： ＋(π－1)0－ × . 解：原式＝2＋1－3＝0. 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 二次根式的化简： (1)已知n为正整数，若计算 － 的结果为2 ，则n＝ ⁠. (2)若a＝ － ＋ － ，则a的值所在范围为(　B　) A. a≥0 B. 0＜a＜1 C. 1＜a＜2 D. a＞2 50　 B 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 估算范围： (1)估计(3 ＋ )÷ 的值应在(　C　) A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 (2)估计 (＋ )的值应在(　C　) A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 C C 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 4. 二次根式的计算： (1)计算：① － ＋ ； 解：①原式＝5 －3 ＋7 ＝9 . ②(2 －1)2＋(1＋ )(1－ ). 解：②原式＝8－4 ＋1＋1－3＝7－4 . 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 　(2)已知x＝ －1，y＝ ＋1，求下列各式的值： ①x2＋2xy＋y2； 解：①∵x＝ －1，y＝ ＋1， ∴x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2＝(－1＋ ＋1)2＝(2 )2＝20. ②x2－y2. 解：②∵x＝ －1，y＝ ＋1， ∴x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝［(－1)＋(＋1)］［(－1)－(＋1)］ ＝2 ×(－2)＝－4 . 首页 目录 素养一 素养二 素养三 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 03 综合思考∙提升素养 建模型问题 1. 绝对值与二次根式： (1)如图，将有理数a，b，c表示在数轴上，则化简 － ＋ 的结果为 ⁠. －2b＋c　 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)(2024∙南开)已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： ＋｜b－2｜＋｜b－a｜＝ ⁠. 1－2a　 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. “非负模型”与有意义条件： (1)已知y＝ ＋ ＋9，则 的值为 . (2)(2024∙巴蜀)若a满足｜2 023－a｜＋ ＝a，则a－2 0232的 值为(　D　) A. 0 B. 1 C. 2 023 D. 2 024 6 　 D 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 数形结合模型：(2024∙酉阳县)如图，在长方形ABCD中无重叠地放 入面积分别为16 cm2和12 cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面 积为(　B　) A. (16－8 ) cm2 B. (－12＋8 ) cm2 C. (8－4 ) cm2 D. (4－2 ) cm2 B 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 探究型问题 1. 观察与规律探究：观察下列式子： ＝ ＝1； ＝ ＝3； ＝ ＝6； ＝ ＝10；…. 根据上述规律，计算： ＝ ⁠. 5 050　 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 数学史的探究：古希腊几何学家海伦和我国南宋著名数学家秦九韶 都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如 果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝ ，那么三角形 的面积为S＝ .已知△ABC的三边长分 别为4，5，7，则△ABC的面积为(　A　) A. 4 B. 8 C. 8 D. 16 A 首页 目录 素养四 素养五 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 04 创新实践∙展示素养 创新型问题：近似计算算术平方根 【阅读理解】同学们，我们来学习利用完全平方公式：(a±b)2＝ a2±2ab＋b2近似计算算术平方根的方法. 例如：求 的近似值.因为64＜67＜81，所以8＜ ＜9，则 可 以设成以下两种形式： ① ＝8＋s，其中0＜s＜1； ② ＝9－t，其中0＜t＜1. 首页 目录 素养六 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 小明以①的形式求 的近似值的过程如图. 因为 ＝8＋s，所以67＝(8＋s)2，即67＝64＋16s＋s2.因为s2比较 小，将s2忽略不计，所以67≈64＋16s，即16s≈67－64，得s≈ ＝ ，故 ≈8＋ ≈8.19. 首页 目录 素养六 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 【尝试探究】(1)请用②的形式求 的近似值(结果保留两位小数)； 解：(1)设 ＝9－t，其中0＜t＜1，∴()2＝(9－t)2， ∴67＝81－18t＋t2.∵t2比较小，将t2忽略不计，∴67≈81－18t，∴t≈ ＝ ，∴ ≈9－ ≈8.22. 首页 目录 素养六 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 【比较分析】(2)你认为用哪一种形式得出的 的近似值的精确度更 高，请说明理由. 解：(2)用①的形式得出的 的近似值的精确度更高，理由： ∵8.18×8.18＝66.912 4，8.19×8.19＝67.076 1， ＜ ＜ ，∴8.18＜ ＜8.19＜8.22，∴用①的形式得出的 的近 似值的精确度更高. 首页 目录 素养六 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 请完成《基础练习本》P7~8素养练测4 本讲内容结束 $