2.第一单元 第2讲 代数式及整式运算与因式分解-【学本课堂】2026年重庆中考数学精讲本配套课件

第一单元　数与式　 第2讲　代数式及整式运算与因式分解 2026重庆数学 《学本课堂》 目 录 1 回归教材∙依标扣本 2 基础自查∙巩固素养 3 综合思考∙提升素养 4 创新实践∙展示素养 课 标 要 求 1.借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义. 2.能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特 定的问题查阅资料，找到所需的公式；会把具体数代入代数式进行 计算. 3.了解整数指数幂的意义和基本性质. 4.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单 的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于 一次式之间和一次式与二次式的乘法). 首页 目录 课 标 要 求 5.理解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab＋b2， 了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理. 6.能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分 解(指数为正整数). 7.了解代数推理. 首页 目录 知 识 导 图 首页 目录 01 回归教材∙依标扣本 代数式及其求值 代 数 式 及 其 求 值 代数式：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、 乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式 列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运 算符号的式子表示出来 代数式 求值 直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式进行计算 整体代 入法 (1)观察已知条件和所求代数式的关系； (2)将所求代数式变形后与已知代数式成倍数或分 数关系，一般会用提 公因式法、平方差公式法、完全平方公式法进行变形； (3)把已知代数式看成一个整体代入所求代数式求值 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 整式的相关概念 整 式 的 相 关 概 念 单项式 定义：数与① ⁠的积叫单项式 注意 单独一个数或一个② 也是单项式， 如－a，0都是单项式. 系数：单项式中的数字因数 次数：单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数 字母　 字母　 对于单独的一个非零的数，规定它的次数为0. 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 整式：单项式和多项式统称为整式　 3　 整 式 的 相 关 概 念 多项式 定义：几个单项式的和叫多项式 项：多项式中每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫常数项 次数：多项式中次数最高项的次数叫这个多项式的次数，如a＋2ab2＋25的次数是③ ⁠　 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类 项.几个常数项也是同类项 　　　 ［“两个无关”：与系数无关，与字母的顺序无关］ 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 整式的运算 整 式 的 运 算 加减 合并同类项：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变 ［口诀：“－”都变，“＋”不变］ 去(添)括号：a＋(b＋c)＝a＋b＋c，a－(b＋c) ＝a－b－c 同底数幂的乘法：am∙an＝④ ，底数不变， 指数⑤ ⁠ 同底数幂的除法：am÷an＝⑥ ，底数不变， 指数⑦ ⁠ 幂的乘方：(am)n＝⑧ ，底数不变，指数⑨ ⁠ 积的乘方：(ab)n＝⑩ ，各因式分别乘方的积 am＋n　 相加　 am－n　 相减　 amn　 相乘　 anbn　 幂的 运算 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 单×单：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 乘法 整 式 的 运 算 单×多：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 多×多：(a＋b)(m＋n)＝⑪ ⁠ am＋an＋bm＋bn　 a2－b2　 a2±2ab＋b2　 乘法 公式 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑫ ⁠ 完全平方公式：(a±b)2＝⑬ ⁠ 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 单÷单：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 多÷单：(am＋bm)÷m＝⑭ ⁠ a＋b　 整 式 的 运 算 除法 (1)先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算 括号里面的； (2)同级运算按照从左到右的顺序进行计算 混合运算 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 因式分解 因 式 分 解 定义：把一个多项式化成几个⑮ 的形式，这种变形叫因式分解，与整式乘法互为逆运算 ［注意：若多项式第一项的符号是“－”，则公因式的符号一般为负］ 口诀：一提(公因式)，二数(数项数)，三用(用公式)，四分组 方法 整式的积　 m(a＋b＋c)　 可能含有多项式. 提公因 式法 公因式 的确定 系数：取各项系数的最大公因数 字母：取各项相同字母的最低次幂 ma＋mb＋mc＝⑯ 　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 十字相乘法：x2＋(a＋b)x＋ab＝⑲ (如图) 分组分解法：四项可以二、二分组，也可以三、一分组 (a＋b)(a－b)　 (a±b)2　 (x＋a)(x＋b)　 因 式 分 解 方法 公式法 能含有多项式. 平方差公式：a2－b2＝⑰ ⁠ 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝⑱ ⁠　　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 02 基础自查∙巩固素养 概念型问题 1. 代数式： (1)(2024∙育才)下列式子，符合代数式书写格式的是(　A　) A. B. 2 b C. m×7 D. x＋y人 A 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)甲、乙同学关于“代数式2(x＋y)”的意义叙述，判断正确的是 (　B　) 甲：x的2倍与y的和； 乙：苹果每千克x元，香蕉每千克y元，苹果和香蕉各买2千克的总花 费. A. 只有甲的正确 B. 只有乙的正确 C. 甲、乙的都正确 D. 甲、乙的都不正确 B 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 列代数式：冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山 楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦 需要的山楂总个数用代数式表示为 ⁠. 5m＋3n　 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 代数式的值： (1)若2x－3y＝2，则6y－4x＋1＝ ⁠. (2)数学家发现一个有趣的现象：由于行走习惯或身体结构等原因，人 在走路时一只脚伸出的步子总要比另一只脚伸出的步子长，设步差为 d，就是这小小的d，导致这个人会走出一个半径为r的圆.经过大量的 数据研究，得到r关于d的函数关系为r＝ .当小明的步差约 为 m时，他会走出半径约为7 m的圆. －3　 0.02　 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 4. 同类项： (1)(2024∙巴蜀)若x2my3与－5x4yn是同类项，则m＋n的值为(　D　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 (2)若单项式20xm－ny14与 x3y3m－8n可以合并成一项，则mn的值 是 ⁠. D 　 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 5. 合并同类项： (1)(2024∙南开)下列单项式中，与5xy2的和为单项式的是(　D　) A. xy B. －xy C. 5x2y2 D. －2xy2 (2)化简：－x2＋2x2＝ ⁠. D x2　 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 6. 去括号与添括号：下列去括号(或添括号)变形正确的是(　D　) A. a－(b＋c)＝a－b＋c B. a＋2(b＋c)＝a＋2b＋c C. a＋ab－b＝a＋(ab＋b) D. a－3b＋3c＝a－3(b－c) D 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 7. 单项式：(2025∙八中)单项式－ x2y2的次数是(　D　) A. B. － C. 2 D. 4 D 8. 多项式：下列说法正确的是(　B　) A. －2a2b与5ab2是同类项 B. 多项式2a3b－ab是四次二项式 C. 多项式3ab3－5a2－1的常数项是1 D. 单项式－ x3y2的系数是－ B 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 9. 整式：(2024∙育才)下列各式中，不．是．整式的是(　B　) A. 0 B. C. x－2y D. xy B 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 计算型问题 1. 整式的加减： (1)计算3x－x－5x的结果为 ⁠. (2)对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交 换它们的位置，称为“换系数操作”. 例如，对3x2－2x－3进行“换系数操作”后，所有可能的结果为2x2－ 3x－3，3x2－2x－3，3x2＋3x＋2，则将(x＋1)8展开得到多项式a8x8 ＋a7x7＋a6x6＋…＋a2x2＋a1x＋a0，对它进行“换系数操作”后的所 有多项式的常数项和为 ⁠. －3x　 20　 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 同底数幂相乘： (1)计算a3∙a4的结果是(　B　) A. 2a7 B. a7 C. 2a4 D. a12 (2)若2x＝4，2y＝8，则x＋y＝ ⁠. B 5　 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 幂的乘方： (1)(2024∙南岸区)计算(a3)2的结果是(　D　) A. 3a2 B. 2a3 C. a5 D. a6 (2)若2x＝3，则22x＋1的值为 ⁠. D 18　 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 4. 积的乘方： (1)下列运算正确的是(　C　) A. a∙a3＝a3 B. a6÷a2＝a3 C. (ab)2＝a2b2 D. (a3)2＝a5 (2)计算：0.252 025×(－4)2 025＝ ⁠. C －1　 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 5. 同底数幂的除法： (1)下列计算正确的是(　D　) A. a2＋a3＝a5 B. a2∙a3＝a6 C. (－a2)3＝a6 D. a12÷a3＝a9 (2)若已知am＝2，an＝3，则a2m－n的值为　 . D 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 6. 整式的乘法与除法：(2024∙两江新区)下列计算错误的是(　D　) A. － a8b5÷(－ ab)2＝－8a6b3 B. 3m(2m2－5mn)＝6m3－15m2n C. (3x2＋2xy－ y)×3x2y＝9x4y＋6x3y2－x2y2 D. (b＋a)(b－a)＝a2－b2 D 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 7. 完全平方公式： (1)多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么 加上的单项式可以是 (填一个即可). (2)若关于x的二次三项式x2＋(2k＋4)x＋k2是完全平方式，则k的值 是 ⁠. 4x　 －1　 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 8. 平方差公式：(2024∙江北区)若(x＋3)(x－3)＝x2－k成立，则k的值为 (　C　) A. 3 B. 6 C. 9 D. －9 C 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 9. 因式分解： (1)已知实数a，b满足a＋b＝2，则a2－b2＋4b＝ ⁠. (2)分解因式： ①a2b－4b3； 解：①a2b－4b3＝b(a2－4b2)＝b(a＋2b)(a－2b). ②(x2＋9)2－36x2. 解：②(x2＋9)2－36x2＝(x2＋9＋6x)(x2＋9－6x)＝(x＋3)2(x－3)2. 4　 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 10. 整式的化简与求值： 　(1)化简：(x＋1)2－x(x＋2). 解：原式＝x2＋2x＋1－x2－2x＝1. 　(2)化简求值：x(5－x)＋x2＋3，其中x＝2. 解：原式＝5x－x2＋x2＋3＝5x＋3. 当x＝2时，原式＝5×2＋3＝13. 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 解：原式＝ y2－4x2y－(4y2－6yx2＋xy－y2－xy) ＝ y2－4x2y－(3y2－6yx2) ＝ y2－4x2y－3y2＋6yx2 ＝－ y2＋2x2y. 当x＝－ ，y＝－1时，原式＝－ ×(－1)2＋2×(－ )2×(－1)＝－ . (3)先化简，再求值： y2－4x2y－［4y2＋(－6yx2＋xy－y2)－xy］，其 中x＝－ ，y＝－1. 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (4)先化简，再求值：(x＋2y)2＋(x－3y)(－x－3y)－y(2x＋y)，其中x ＝3，y＝－ . 解：原式＝x2＋4xy＋4y2＋9y2－x2－2xy－y2 ＝2xy＋12y2. 当x＝3，y＝－ 时，原式＝2×3×(－ )＋12×(－ )2＝0. 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 方法型问题 1. 完全平方公式的几何背景： (1)下列图形阴影部分的面积能够直观地解释(x－1)2＝x2－2x＋1的是 (　A　) A　　　 B　 C　　　　 D A 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)(2024∙江北区)如图，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根 据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a，b的恒等式 为(　C　) C A. a2－b2＝(a＋b)(a－b) B. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C. (a－b)2＝(a＋b)2－4ab D. a2＋ab＝a(a＋b) 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 平方差公式的几何背景： (1)(2024∙大渡口区)如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小 正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式 是(　A　) A A. (a＋b)(a－b)＝a2－b2 B. (a－b)2＝a2－2ab＋b2 C. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D. a2＋ab＝a(a＋b) 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 (2)在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重 新拼成一个图形，以下拼法中，不．能．验证平方差公式的是(　D　) A B C D D 首页 目录 素养1 素养2 素养3 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 03 综合思考∙提升素养 建模型问题 1. 化简求值模型：先化简，再求值：(a＋1)(a－1)＋a2＋1，其中a＝ . 解：原式＝a2－1＋a2＋1＝2a2. 当a＝ 时，原式＝2×()2＝6. 首页 目录 素养4 素养5 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 流程图模型：(2024∙一中)如图是一个运算程序的示意图，如果第一 次输入x的值为1 024；那么第2 024次输出的结果为(　C　) A. 64 B. 16 C. 4 D. 1 C 首页 目录 素养4 素养5 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 中国数学史：【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下 《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a＋b)n2展开式的系数规 律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：(a＋b2)4＝a4＋4a3b＋ 6a2b2＋4ab3＋b4. 【应用体验】已知(x＋2)4＝x4＋mx3＋24x2＋32x＋16， 则m的值为 ⁠. 8　 首页 目录 素养4 素养5 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 探究型问题 1. 数列规律探究： (1)按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，…，第n个代数 式是(　A　) A. (2n－1)a B. (2n＋1)a C. (n＋1)a D. 2 025a (2)观察下列关于x的分式，探究其规律： ， ， ， ，…，按着上 述规律，第n个分式是 ⁠. A 　 首页 目录 素养4 素养5 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 数字规律探究：(2024∙实验外语校)如图，下列各正方形中四个数之 间均具有相同的规律，根据此规律，第n个正方形中的d＝－1 278，则 n的值为(　C　) A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 C 首页 目录 素养4 素养5 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 图形规律探究：(2025∙西附)如图，用大小完全相同的正六边形和正 三角形能够进行拼接，彼此之间既不留下空隙，又不互相重叠，称为平 面镶嵌.其中第①个图案中有10条边，第②个图案中有14条边，第③个 图案中有18条边……按此规律排列下去，第⑥个图案中边的总数为 (　B　) A. 26 B. 30 C. 34 D. 38 B 首页 目录 素养4 素养5 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 04 创新实践∙展示素养 创新型问题：代数推理 (2025∙巴川)已知关于x的整式M：ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e，其中a， b，c，d，e为整数，且a＜b＜c＜d＜e，下列说法：①M的项数不 可能小于等于3；②若e＝0，则M不可能分解为一个整式的平方；③若 a＋b＋c＋d＋e＝18，且a，b，c，d，e均为正整数，则满足条件 的M共有4个.其中正确的个数是(　C　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C 首页 目录 素养6 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 请完成《基础练习本》P3~4素养练测2 本讲内容结束 $