第一章整式的乘除 单元测试卷2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第一章整式的乘除单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(每题3分,共30分) 1．据央视新闻消息，2025年全年动画电影票房突破250亿，创中国影史动画电影票房最高纪录．数据用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，需掌握科学记数法的形式为（其中，为整数），确定和的值是解题关键． 【详解】解：． 故选：B． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算法则，解题的关键是掌握幂的运算法则． 需根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则逐一验证选项． 【详解】解：A. ，该选项正确； B. ，该选项错误； C. ，该选项错误； D. ，该选项错误； 故选：A． 3．要使的展开式中项系数为1，则的值为（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用多项式乘多项式运算法则化简，再利用含项的系数为1，进而得出答案． 【详解】解： ， 的展开式中项系数为1， ， 解得：． 故选：D． 4．下列多项式相乘的结果是的为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握整式乘法的运算法则是关键． 根据整式乘法的运算法则计算各选项结果，与题干中的多项式对比即可． 【详解】解：多项式乘多项式法则为， 计算各选项： 对于选项A：，不符合题意； 对于选项B：，符合题意； 对于选项C：，不符合题意； 对于选项D：，不符合题意． 故选：B． 5．已知式子的结果中不含项，则a的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，掌握知识点是解题的关键． 先将式子展开，再根据结果中不含项，令项的系数为零求解即可． 【详解】∵ ， ∵式子的结果中不含项， ∴， ∴． 故选：D． 6．五张如图所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在长方形中，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差的绝对值为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键． 用含，，的代数式表示左上角与右下角的阴影部分的面积，从而得到，因为当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，所以可推得前的系数值为0，则问题可解． 【详解】解：由题意有，，， ． 当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变， ， ． 故选：A． 7．观察下列各式，寻找规律．已知，计算： ，， ，，… 则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字类规律题，考查了整式乘法，认真观察、仔细思考，弄清题中的规律是解决这类问题的方法.首先利用已知的等比数列求和公式，将转化为；接着根据的幂的个位数字周期规律(周期为)，判断出的个位数字为，进而推出的个位数字为；最后通过分析的奇偶性，得出该式的个位数字为． 【详解】解：依据变化规律，可得：， ∴（当)， 令，，则 . 求 的个位数字， ∵的幂的个位周期为4（3，9，7，1），且 ，余数为1， ∴的个位为， ∴的个位为， ∵为偶数，除以后个位为， ∴和的个位数字为． 故选：C． 8．如果m增加它的得到n（，），而n减少它的得到m，那么p与q的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，百分比的计算．根据百分比变化的定义，列出方程并求解p与q的关系即可求解． 【详解】解：由题意得，且， ∴， ∵， ∴，即， 则， ∴ ， ∴， 故选：C． 9．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 10．如果整式和整式满足：整式的次数是次，那么整式的次数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的概念，整式的运算，设整式的次数为和整式的次数为，由整式的次数是次，然后分，，，且最高次项抵消，两种情况分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设整式的次数为和整式的次数为， ∵整式的次数是次， ∴，， 则 ， ∴整式的次数可能是次或次， ，且最高次项抵消，则 （偶数）， ∴整式的次数不可能是， 综上可得：整式的次数不可能是， 故选：． 二、填空题(每题3分,共18分) 1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式的乘法运算，解题的关键是掌握单项式乘法法则． 根据单项式乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法，先计算积的乘方，再将两个单项式相乘． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 3．若中不含m的一次项，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，要求表达式展开后不含的一次项，需使的一次项的系数为零． 【详解】解： ， 不含的一次项， ， ． 故答案为 ：． 4．观察下列各式： ； ； ； ； …… 则的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及多项式乘多项式，根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， ； ； ； ； …… 所以用含n的等式可表示为：． 令，得， 所以， ， 故答案为：． 5．已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ． 【答案】－3 【分析】本题考查了整式的乘法与代数式化简，掌握若代数式的值与某个字母无关，则该字母对应项的系数为0是解题的关键． 计算，化简后得到关于的多项式，根据值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，从而求解． 【详解】解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 6．定义：是多项式A化简后的项数．例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式，若，则称B是A的“极好多项式”．若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握相应的运算法则是关键． 根据多项式的乘法及项数确定求解即可． 【详解】解： ． 是A的“极好多项式”， ， 即只有两项， ． 故答案为：． 三、解答题(每题9分,共72分) 1．计算 (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算，多项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则为解题关键 （１）先算零指数幂，负整数指数幂，再算加减法即可； （２）根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可 【详解】（1）解： ； （2） 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则，掌握知识点是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式，单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可； （2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了单项式的乘法．先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可． 【详解】解： 4．计算：． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法与整式加减运算．首先分别计算两个括号内的乘积，使用单项式与多项式相乘的法则展开，再进行去括号和合并同类项，注意符号处理，尤其是减号后面的括号需变号． 【详解】解：原式 5．小明计算一道代数式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 【答案】(1)m的值为2，n的值为3． (2) 【分析】（1）先对小明抄错指数后的整式乘法式子，利用同底数幂的乘法法则进行化简，再结合化简结果与已知结果的指数对应相等，列出方程，求解得到、的值； （2）计算正确答案的分析解题思路是：将（1）中求出的、的值代入原式，再利用同底数幂的乘法法则进行整式乘法运算，得到正确结果． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 即， 所以解得 所以的值为2，的值为3． （2）解：原式 由（1）可知，， 所以原式． 一题多解法由（1）可知，， 所以原式 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 6．阅读材料：人教版八年级上册教材118页为大家介绍了杨辉三角． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数；等等． 利用上面的规律，完成以下问题： (1)的展开式为_____． (2)的展开式中共有_____项，从右往左第二项的系数是_____． (3)计算：． (4)代数推理：已知为整数，求证：能被50整除． 【答案】(1) (2)， (3)64 (4)见解析 【分析】本题考查整式乘法的应用以及杨辉三角，能够通过杨辉三角得到规律是解题关键； （1）根据规律写出第6行的6个数对应展开式中各项的系数； （2）根据规律得到的展开式共有项，所有项的系数成对称关系，进而可解题； （3）先通过规律写出的展开式，然后令代入即可； （4）令和令代入（1）中展开式，求出的展开式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：根据杨辉三角第6行的6个数分别为，，，，， ∴， 故答案为：． （2）解：根据规律可知的展开式共有项， ∴的展开式中共有10项， 又根据题意可总结出所有项的系数成对称关系， ∴从右往左第二项的系数与从左往右第二项的系数相等， 根据题干规律可发现每个展开式的系数从左往右第二项的系数都为， ∴的展开式从左往右第二项的系数为， ∴的展开式从右往左第二项的系数为； 故答案为：，． （3）解：通过规律可知， 令得到， ∴． （4）解：当时，， 当时，， 得：， ∴， ∵为整数， ∴能被整除， 故能被50整除． 7．观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【答案】(1) (2) (3)运算规律为：，说明见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，结合发现的规律列出式子计算即可得解； （2）根据题目给出的等式，结合（2）的题目信息列出式子即可发现规律； （3）根据题目给出的等式，即可发现规律，运用整式的乘法运算即可证得结论． 【详解】（1）解：， ， ，…… ， 故答案为：； （2）解：由题目知：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且， ， 故答案为：； （3）解：，，，，… 且由题目知：设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数）， 可得运算规律为：， 说明如下： ， ． 8．【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 【理解应用】 （1）仿照上面的竖式运算方法计算：； （2）若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； （3）如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加得到一个新长方形，且长方形的周长是长方形的周长的3倍． （ⅰ）求（用含的代数式表示）： （ⅱ）长方形的面积和另一个一边长为的长方形的面积相等，求长方形已知边长的邻边长． 【答案】（1）；（2）；（3）（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据展示的乘法计算方法解答即可； （2）根据展示的乘法计算方法解答即可； （3）（ⅰ）根据题意，长方形B的长为，宽为，根据周长关系列出等式，解答即可； （ⅱ）把a代入，得到长方形的宽，根据面积公式，除法运算解答即可。 本题考查了多项式的四则运算，列代数式，长方形的周长和面积，熟练掌握四则运算是解题的关键。 【详解】（1）解：根据题意，得 ，； （2）解：根据题意，得 ； （3）解：（ⅰ）根据题意，得长方形B的长为，宽为， 由长方形的周长是长方形周长的3倍， ， 解得：， （ⅱ）长方形的面积为：， 长方形已知边长的邻边长为。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第一章整式的乘除单元测试卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（每题3分，共30分） 1.据央视新闻消息，2025年全年动画电影票房突破250亿，创中国影史动画电影票房最 高纪录.数据25000000000用科学记数法可表示为() A.25x109 B.2.5x100 C.2.5x10 D.0.25x10 2.下列计算正确的是() A.a.a=a B.(a')"=a C.(ab)2=ab2 D.a÷a3=a2 3.要使x+2刘--的展开式中2项系数为1，则@的值为(） A.-1 B.2 C.0 D.1 4.下列多项式相乘的结果是 x2-x-6 的为()· A.(x-2x+3) B.(x+2(x-3) C.(x-6(x+1 D.(x+6(x-l 5.已知式子2r+x+a-山的结果中不含产项，则a的值为() 1 A.0 B.2 C.-3 D.2 blab 6.五张如图所示的长为“，宽为 的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在长 方形ABCD中，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部 分的面积的差的绝对值为$，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变， 则a,b满足的关系式为() 试卷第1页，共3页 图1 图2 A.a=2b B.a=3b C.3a=2b D.2a=3b+1 7.观察下列各式，寻找规律.已知x≠1，计算： (x-101+x)=x2-1(x-1)1+x+x2)=x3-1 (x-1)1+x+x2+x3)=x4-1(x-101+x+x2+x3+x)=x3-1 +3+32+33+…+3100 则 的个位数字是() A.4 B.3 C.1 D.0 得到n(m>0p>0 D 8.如果m增加它的 ，而n减少它的% 得到m,那么p与q的 关系是() A.p=9 B.p=-9 100p C.g=100+P 100g D.p=100+9 9.已知4=2m+m-a,B=-5m、C=10m+5m2-3m+4 若B+ 的值与m无关， 则a的值为() A.5 3 B.5 C.3 D.5 10.如果整式A和整式B满足：整式A+B的次数是5次，那么整式A:B的次数不可能是 () A.12 B.11 C.10 D.9 二、填空题（每题3分，共18分） 1.计算： -2gy3.3x2y= 2.计算：(2ab'(←ac= 试卷第2页，共3页 3.若m2m-”川中不含m的一次项，则”=一 4.观察下列各式： (x-(x+1)=x2-1 (x-10x2+x+1=x3-1 (x-1x3+x2+x+1=x-1 (x-10(x+x3+x2+x+1=x-1。 则2026+22025+2204+…+2+2+1的结果为一 5.已知M=-,N=-,P=+3+5.若MN+的值与的取值无关，则0的 .若 值为 6.定义： (4是多项式A化简后的项数.例如多顶式A=产+2-3，则(4=3.一个 多项武A乘多项式B化简得到多项式武CC=4:B),若(4)=(C,则称B是4的“极好 多项式”，若A=x-3,B=x2-a+9均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”， 则a=一 三、解答题（每题9分，共72分） 1.计算 (①）-2+2026°+ (2-2a+3(a-4) 2.计算： 04w-3y+2y6y+1) (2)x+(3x--xx+2) 试卷第3页，共3页 3.计算： (-ab2c3)2.(-a2b)3 (x-2y(2x+y)-3x(x-y) 4.计算： 5.小明计算一道代数式乘法题2xy)-7xy。 时，由于将第一个单项式中的3m+1 抄成了2m+,将第二个单项式中的”-6抄成了6-”，结果得到14y (1)根据上述信息，分别计算出m,n的值. (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案. 题多解法由(1)可知m=2,n=3, 所以原式=-2'y,7xy5 =-14x4y 6.阅读材料：人教版八年级上册教材118页为大家介绍了杨辉三角 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到， 我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列.他说：“实际上我们祖国伟大人民 在人类史上，有过无比的睿智的成就.”其中“杨辉三角”就是一例。 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用 三角形解释二项和的乘方规律.杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世 纪上半叶)发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三 角” 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两 四六四 数之和.事实上，这个三角形给出了a+b(n=0,123,4小的展开式（按a的次数由 大到小的顺序)的系数规律.例如，此三角形中第3行的3个数1,2,1，恰好对应着 试卷第4页，共3页 (a+b2=a2+2ab+b2 展开式中的各项的系数；第4行的4个数1,3,3,1，恰好对应 若a+b=d+3知h+3ab+展开式中各项的系数：等等。 利用上面的规律，完成以下问题： )a+°的展开式为一 ②a+b”的展开式中共有项，从右往左第二项的系数是。 (3)计算： 56-6×55×7+15×54×72-20×53×73+15x52×74-6×5×75+76 ④代数推理，已知*为整数，求证，(x+-x-5能祓50整除 7.观察下列等式： 152=225=100×1×2+25, 252=625=100×2×3+25, 352=1225=100'3'4+25, … ()特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空。75= (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m,个位上数字为5，m为整数，且0<m<10, 用含m的等式表示上述运算的一般规律为_： (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：36×34=1224,41×49=2009， 52×58=3016,67×63=4221,….他发现结果也存在类似的运算规律.若设其中一个两 位数十位上的数字为a,个位上的数字为b(其中a,b为小于10的正整数)，请你用含字 母α，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性. 8.【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项 式的加、减、乘、除的运算方法.如图①②③④. x+2 2xr+3 ×)x-3 x-32x2-3x-9 3x+2 3x2+2x+1 2x2-6x +)2x-5 -x+0x-5 -3x-6 3x-9 5x-3 2x2+2x+6 x2+2x 3x-9 x2-x-6 0 .∴.(3x+2)+(2x-5)=5x-3 .(3x2+2x+1)-(x2-5)=2x2+2x+6 (x+2x3)=x2-x6 .(2x2-3x9)(-3)-2x+3 ① ② ③ ④ 试卷第5页，共3页 【理解应用】 (1)仿照上面的竖式运算方法计算： (3x+1(x-4) x2+x-2 (2)若两个多项式的积为 其中一个多项式为 3x+2 ，请用竖式的运算方法求 出另一个多项式： (3)如图，一个长为r+2),宽为-2的长方形A,将它的长增加8，宽增加“得到 个新长方形B,且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍. x-2 -x+2一8 (i)求a(用含x的代数式表示)： (i)长方形B的面积和另一个一边长为x-2)的长方形C的面积相等，求长方形C已知 边长的邻边长. 试卷第6页，共3页