第二章 相交线与平行线 章节（15知识详解+28典例分析）2025-2026学年北师大版七年级数学下册同步讲义与测试

第二章 相交线与平行线 章节（15知识详解+28典例分析） 【知识点01】相交线与平行线 1. 在同一平面内, 两条直线的位置关系有相交和平行两种.判断两直线相交的依据 2. 相交线 若两条直线只有一个公共点, 我们称这两条直线为相交线.如图2.1-1，直线AB与CD相交于点O. 3. 平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.无公共交点 如图2.1-2，直线AB与直线CD平行. 注意：平行线是指“两条直线”, 而不是两条线段或射线. 线段或射线平行是指它们所在的直线平行. 【知识点02】对顶角 1. 定义 在图2.1 -3中，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角. 特别提醒：对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个. 2. 性质 对顶角相等. 特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等； (2)相等的两个角不一定是对顶角. 【知识点03】补角和余角 1.补角 一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角. 数学语言：若∠1＋∠2＝180°，就说∠1是∠2的补角或∠1与∠2互为补角，如图2.1-5 所示. 2. 余角 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角 . 数学语言：若∠3＋∠4＝90°，就说∠3是∠4的余角或∠3与∠4互为余角，如图2.1-6所示. 3. 一个角的补角(或余角)可以有多个，但它们的度数是相等的. 互补、互余是指具有一定数量关系的两个角，一个角或三个及三个以上的角之间不存在互补或互余的关系，如∠1＋∠2＋∠3＝90°，但不能说这三个角互余. 【知识点04】补角、余角的性质 1. 性质 同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角 相等. 2. 示例 (1)如果∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，那么∠2＝∠3； (2)如果∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4. 【知识点05】垂直的定义及垂线的画法 1. 定义 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 特别解读：垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角. 2.表示符号 通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直. 直线AB与直线CD垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于CD”. 3. 垂线的画法 经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线的步骤如下表： 步骤 内容 示图 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点P作直线l的垂线 二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 【知识点06】垂线的性质 1. 垂线的性质 (1)性质1：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (2)性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 2. 点到直线的距离 如图2.1 -12，过点A作直 线l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线l的距离. 垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一条线段，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度. 【知识点07】同位角 1. 定义 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角分别在被截的两条直线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. 特别解读 1. 同位角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系. 2. 在“三线八角”中，有4 对同位角. 2. 位置特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，在两条被截直线同一方 形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 【知识点08】平行线的判定方法1 1. 方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简述：同位角相等，两直线平行. 2.表达方式 如图2.2-2， 因为∠1＝∠2(已知)，所以a∥b(同位角相等，两直线平行). 两直线平行，用符号“∥”表示. 例如，直线a与直线b 平行，记作a∥b. 【知识点09】平行线的基本事实及其推论 1. 借助三角尺画平行线 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤： 一落：把三角尺的一边落在已知直线上； 二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺； 三移：把三角尺沿着直尺移动使其经过已知点； 四画：沿三角尺之前落在已知直线上的一边画直线. 此直线即为已知直线的平行线. 2. 平行线的基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 注意：平行线的基本事实的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线. 3. 平行线的基本事实的推论 平行于同一条直线的两条直线平行. 即如果a∥c，b∥c，那么a∥b.平行线的传递性 【知识点10】内错角、同旁内角 1. 内错角 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角都在被截的两条直线之间，并且分别在截线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角. 2. 同旁内角 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角都在被截的两条直线之间，且它们都在截线的同一侧，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角. 3. 位置特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 内错角 在截线两侧，在两条被截直线之间 形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同旁内角 在截线同侧，在两条被截直线之间 形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) 【知识点11】平行线的判定方法2，3 1. 方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简述：内错角相等，两直线平行. 表达方式 如图2.2-6，因为∠1＝∠2(已知)，所以a∥b(内错角相等，两直线平行). 2. 方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简述：同旁内角互补，两直线平行. 表达方式 如图2.2-7，因为∠ 1＋∠ 2＝180°(已知)，所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行). 【知识点12】过直线外一点作已知直线的平行线 过直线 AB外一点P作直线AB的平行线的作法与示范如下： 作法 示范 1. 在直线 AB上任取一点 O，过点 O，P 作直线 CD 2. 以点P为顶点，以PD为一边，在直线 CD的右侧作∠DPN＝∠DOB. PN边所在的直线 MN就是要作的直线 【知识点13】平行线的性质1 1. 性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 . 简述：两直线平行，同位角相等. 2.表达方式：如图，因为a∥b(已知)，所以∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等). 【知识点14】平行线的性质2 1. 性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述：两直线平行，内错角相等. 2. 表达方式 如图，因为a∥b(已知)，所以∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等). 【知识点15】平行线的性质3 1. 性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简述：两直线平行，同旁内角互补. 2. 表达方式 如图2.3-5，因为a∥b(已知)，所以∠1＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补). 【题型一】平面内两直线的位置关系 1．（2024·河北·模拟预测）如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查的知识点是平行公理（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）；解题的关键是利用平行公理，分析出过点的条直线中最多有条与直线平行，进而确定相交直线的最少数量． 【详解】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 过点的条直线中最多有条与直线平行，至少有条与直线相交． 故选C． 2．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：① ；② ． 【答案】 相交 垂直 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查同一平面内两直线的位置关系，掌握同一平面内两直线的位置关系是解题的关键． 【详解】解：同一平面内两直线的位置关系为平行与相交，两条直线相交的特殊情况是垂直． 故答案为：相交；垂直． 【题型二】立体图形中平行的棱 3．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】立体图形中平行的棱 【分析】本题考查了平行线的定义，结合图形与平行线的定义求解即可． 【详解】解：在正方体中，与棱平行的是，，， 故选D 4．（2024七年级下·全国·专题练习）如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【答案】见解析 【知识点】立体图形中平行的棱 【分析】此题考查平行线的意义，注意前提条件，是在同一平面内．利用平行的定义：在同一平面内，不相交（也不重合）的两条直线叫做平行线平行线，由此探讨得出答案即可． 【详解】解：如图的直线与既不相交也不平行，因为直线与不在同一个平面内．    【题型三】相交线 5．按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相交线 【分析】根据相交线的概念、点与直线的位置关系进行判断即可． 【详解】解：A．符合条件， B．不符合点P不在直线c上； C．不符合点P在直线a上； D．不符合直线a、b、c两两相交； 故选：A． 【点睛】本题考查的是相交线、点与直线的位置关系，正确理解题意、认识图形是解题的关键． 6．观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ． 【答案】45 【知识点】相交线 【分析】根据直线两两相交且不交于同一点，可得答案． 【详解】解：每条直线都与其他九条直线有一个交点，即9个交点，十条直线一共有9×10 =90个交点，因为每个交点都重复了一次，所以十条直线相交最多的交点个数有90÷2=45， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了相交线，n条直线与其它每条直线都有一个交点，可有（n−1）个交点，n条直线有n（n−1）个交点，每个交点都重复了一次，n条直线最多有 个交点． 【题型四】对顶角的定义 7．（22-23七年级下·内蒙古阿拉善盟·期中）下面四个图形中，与是对顶角的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查对顶角的定义，解决本题的关键是熟记对顶角的定义． 根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，即可解答． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有第3个图中的是对顶角，其余的图中的角都不是． 故选：A． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 【答案】6对，分别是与；与；与；与；与；与 【知识点】对顶角的定义 【分析】此题考查对顶角的定义，根据对顶角的定义找出对顶角即可． 【详解】解：图中对顶角有：与；与；与；与；与；与； 共6对． 【题型五】对顶角相等 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等，利用该性质结合角度和的条件求解角度是解题的关键． 利用对顶角相等的性质，结合已知角度和的条件，列等式求解． 【详解】解：∵和是对顶角 ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：B． 10．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）如图，直线，相交于点，平分，于，，求的度数． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，涉及了垂直的定义、对顶角相等等知识点，根据得，推出；结合平分得，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【题型六】求一个角的余角 11．（24-25七年级下·山西晋中·期末）的余角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了余角的定义，正确理解余角的定义是解题的关键．根据余角的定义，若两个角的和为，则这两个角互为余角．题目中给出的是，求其余角，即用减去即可． 【详解】解：余角是指两个角的度数之和为．已知一个角为，设它的余角为则根据定义有：， 解得：， 因此，65°的余角是25°， 故选：C． 12．与互为余角，若，则 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． 根据余角的定义求解即可． 【详解】解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型七】求一个角的补角 13．（24-25七年级下·广东湛江·期末）已知，则的补角是 ． 【答案】/157度 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题主要考查了求角的补角，根据补角的定义：和为的两个角，由此计算即可解答． 【详解】解：∵的补角， ∴的补角 故答案为： 14．（24-25七年级下·吉林白城·期中）如图所示，直线，被直线，所截，已知与，与，与分别互补，且，试求，，的度数． 【答案】，， 【知识点】求一个角的补角、对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角相等、求一个角的补角，熟练掌握补角的定义是解题关键．先根据对顶角相等可得，再根据补角的定义求解即可得． 【详解】解：∵， ∴由对顶角相等得：， ∵与互补， ∴； ∵与互补， ∴； ∵与互补， ∴． 【题型八】与余角、补角有关的计算 15．（24-25七年级下·全国·月考）如果的余角等于，则的补角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查余角和补角． 根据题意，先求，再计算补角即可． 【详解】解：∵的余角等于， ∴， ∴的补角为：． 故选：． 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）下面是对“如果和都是的余角，那么”的说理过程．请在括号内填上依据． 理由： 因为（已知）， 所以（等式的基本性质）． 因为（   ）， 所以（   ）， 所以（   ）． 【答案】已知，等式的基本性质，等量代换 【知识点】与余角、补角有关的计算、等式的性质1 【分析】本题考查余角性质、推理步骤的应用，根据各步前后式的逻辑关系写出推理依据是解题关键 ． 根据各步前后式的逻辑关系写出依据即可． 【详解】解：理由： 因为（已知）， 所以（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以（等式的基本性质）． 所以（等量代换）． 故答案为：已知，等式的基本性质，等量代换． 【题型九】同(等)角的余(补)角相等的应用 17．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图所示，都是以为顶点的直角，能解释的理由是（　　） A．同角的余角相等 B．平角的定义 C．对顶角相等 D．同角的补角相等 【答案】A 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，根据同角的余角相等即可得到答案． 【详解】解：∵都是以为顶点的直角， ∴， ∴（同角的余角相等）， 故选：A． 18．（24-25七年级下·全国·期末）如图所示，如果将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，若，那么 ． 【答案】20° 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了余角，解题的关键是利用了同角的余角相等的性质． 根据同角的余角相等可得． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型十】垂线的定义理解 19．（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ． 【答案】/35度 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角相等、垂线的定义，解题的关键是利用对顶角相等求出相关角的度数，结合垂线的性质计算目标角． 先根据对顶角相等求出的度数，再由垂直得出为直角，用减去即可得到的度数． 【详解】解：∵直线相交于点O， ∵， ∵， ∴(垂线的定义)， ∴， 故答案为：． 20．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线与相交于点，于点，若，求的度数． 【答案】 【知识点】对顶角相等、垂线的定义理解 【分析】本题考查对顶角相等，垂直的定义，熟悉相关定义并能分析其中的数量关系是解决本题的关键． 根据对顶角相等求出，再根据垂直的定义求出，最后根据即可求解． 【详解】解：，， ， 又， ， ． 【题型十一】画垂线 21．（24-25七年级下·河北唐山·期中）下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个（    ） 题目：过点P画出线段的垂线 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】画垂线 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解垂线段的概念及作法．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据题意：她做对了2个，分别是（1）和（3）， 故选：C． 22．（24-25七年级下·甘肃定西·月考）如图，已知直线a，b，点P在直线a上，过点P分别作直线a，b的垂线PA，PB，分别与直线b交于点A，B． 【答案】见解析 【知识点】画垂线 【分析】本题考查了垂线的作法．根据过直线外一点作已知直线的垂线和过直线上一点作已知直线的垂线分别画出即可． 【详解】解：如图所示，为直线a的垂线，为直线b的垂线． ． 【题型十二】垂线段最短 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在________处，其依据是（    ） A．处，经过一点有无数条直线 B．处，垂线段最短 C．处，两点之间，线段最短 D．处，两点确定一条直线 【答案】B 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：根据题意，若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”． 故选：． 24．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，要把水渠中的水引到点，在渠岸上找一点开沟，使沟最短？画出点的位置，并说明理由． 【答案】见解析 【知识点】垂线段最短 【分析】要找到使沟最短的点，根据“直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短”这一性质，过点作的垂线段，垂足即为所求的点 ． 本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握“直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短”是解题的关键． 【详解】解：如图，点为所求．      理由：直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短． 【题型十三】点到直线的距离 25．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，则下列线段的长度中代表点M到直线l的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，， ∴代表点M到直线l的距离的是线段的长度． 故选：C． 26．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点． (1)过点画出的垂线，交直线于点； (2)过点画，垂足为点； (3)点到直线的距离是线段___________的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】点到直线的距离、画垂线 【分析】本题考查了垂线的做法以及点到直线的距离． （1）过点P作与直线所成角为的直线，并记作与的交点为点E，由此可画． （2）过点P作与直线所成角为的直线，并记作与的交点为点F，由此可画． （3）根据点到直线距离的定义可得答案． 【详解】（1）解：过点画出的垂线，交直线于点，如图， （2）解：过点画，垂足为点，如图， （3）解：因为， 所以， 所以点到直线的距离是线段的长, 故答案为：． 【题型十四】同位角、内错角、同旁内角 27．（25-26七年级下·全国·周测）如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了内错角的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，根据定义判断即可． 【详解】解：由两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角可得： A、与构成内错角，符合题意； B、与构成同旁内角，不符合题意； C、与构成同位角，不符合题意； D、与构成同旁内角，不符合题意． 故选：A． 28．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是同位角的角共有 个． 【答案】3 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查同位角的概念，关键是掌握同位角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解：如图， 与成同位角的角有，，，共个， 故答案为：． 【题型十五】同位角相等两直线平行 29．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图，在直线外取一点P，经过点P作的平行线，这种画法的依据是（    ） A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，由图可根据同位角相等，两直线平行进行判定． 【详解】解：如图， 根据，由同位角相等，两直线平行，即可判断， 故选：B． 30．（22-23七年级下·河南信阳·月考）能判定的同位角有 组． 【答案】 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】根据“同位角相等，两直线平行”找出所有与有关的同位角即可解答． 【详解】解：如，则； 如，则； 如，则； 如，则． ∴能判定的同位角有4组 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行线判定定理，理解同位角的概念是解答本题的关键． 【题型十六】用直尺、三角板画平行线 31．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）已知直线和外一点P，经过P点画直线平行，可根据 来画． 【答案】同位角相等，两直线平行 【知识点】用直尺、三角板画平行线、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定方法，根据同位角相等，两直线平行来画图，即可求解． 【详解】解：已知直线和外一点P，经过P点画直线平行，可根据同位角相等，两直线平行来画； 故答案为：同位角相等，两直线平行． 32．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在方格纸中，有两条线段，，利用方格纸完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了网格作图，作已知直线的平行线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格的性质，过点作的平行线，即可作答． （2）结合网格的性质，过点作的平行线，与直线交于点，即可作答． 【详解】（1）解：过点作的平行线，如图所示： （2）解：如图所示； 【题型十七】平行公理的应用 33．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，则点在同一直线上，理由是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行解答即可，掌握平行公理是解题的关键． 【详解】解：理由是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 34．（24-25七年级下·全国·随堂练习）工人师傅在铺设电缆时，为了检查三条电缆是否平行，只检查了其中两条电缆是否与第三条平行．你认为这种做法对吗？请给出合理解释． 【答案】这种做法是对的．理由如下：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解答此题的关键．根据平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：这种做法是对的．理由如下： ∵平行于同一条直线的两条直线互相平行， ∴为了检验三条电线是否互相平行只检查了其中两条是否与第三条平行即可． 故答案为：这种做法是对的．理由如下：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【题型十八】平行公理推论的应用 35．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，若，， 则与的位置关系是 【答案】平行 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，根据平行于同一直线的两直线平行即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：平行． 36．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），B（2，－1），C（－1，1）． (1)求A，B两点之间的距离； (2)若，且CD＝2，求点D的坐标． 【答案】(1)4 (2)（－1，3）或（－1，－1） 【知识点】平行公理推论的应用、坐标与图形 【分析】（1）根据坐标系中点的特征即可求得求A，B两点之间的距离； （2）根据平行线的传递性可得轴，从而由点C（－1，1），且CD＝2可求得点D的坐标． 【详解】（1）解：∵A（2，3），B（2，－1） ∴轴， ∴AB＝｜3－（－1）｜＝4 （2）解：∵轴，， ∴轴． ∵C（－1，1）， ∴设D的坐标为（－1，y） ∵CD＝2， ∴｜y－1｜＝2 ∴y－1＝±2， ∴y＝3或－1 ∴点D的坐标为（－1，3）或（－1，－1） 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的特征以及平行线的传递性，熟练掌握平面直角坐标系内点的特征是解题的关键． 【题型十九】内错角相等两直线平行 37．（23-24七年级下·河南漯河·月考）如图，给出下列四个条件：①；②；③；④，其中能使的条件是（   ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③④ 【答案】C 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握数形结合思想的应用、弄清截线与被截线是解题的关键． 根据平行线的定义可判定①；运用内错角相等、两直线平行可判定②③④． 【详解】解：由不等同于，故①不符合题意； 由，根据内错角相等、两直线平行可得，即②符合题意； 由，根据内错角相等、两直线平行可得，即③不符合题意； 由，根据内错角相等、两直线平行可得，即④符合题意； 所以能使的条件是②④． 故选：C． 38．（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）如图：如果，可以推出 ． 【答案】 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的性质，根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：，． 【题型二十】同旁内角互补两直线平行 39．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）老师让同学们验证教室里黑板的上，下边缘是否平行．小明画出了如图所示的示意图，并用量角器测量，的度数，则解决这个问题所应用的数学原理是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同位角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：由题意，解决这个问题所应用的数学原理是同旁内角互补，两直线平行； 故选D． 40．如图，一条街道的两个拐角，，这时街道与平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】根据同旁内角互补两直线平行；判断即可； 【详解】解：．理由如下： ，， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握同旁内角互补两直线平行是解题关键． 【题型二十一】两直线平行同位角相等 41．如图所示，直线被直线所截，若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是求出的度数． 根据平行线的性质得到，根据平角的定义即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， 故选：C． 42．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图所示，，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质（同位角相等），解题的关键是识别两组平行线被截线所形成的同位角，通过等量代换求出的度数． 两次利用“两直线平行则同位角相等”即可求得结果． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：. 【题型二十二】两直线平行内错角相等 43．（24-25七年级下·福建宁德·月考）已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 44．（23-24七年级下·广西防城港·期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，如果第一次的拐角是，第二次的拐角是多少度？为什么？ 【答案】第二次的拐角是，见解析 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解． 由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答． 【详解】， 理由是：∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， ∴拐弯前、后的两条路平行 ∴．（两直线平行，内错角相等） 【题型二十三】两直线平行同旁内角互补 45．如图，已知直线、被直线，所截，若，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】两直线平行同旁内角互补、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定：同位角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．由，得出，、为同位角，所以.由，，得出，所以 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 46．（24-25七年级下·江西赣州·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，的顶点均落在格点上，请按下列要求用无刻度的直尺作图． (1)在图1中，作，使； (2)在图2中，在直线上找点E，连接，使线段最短，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，垂线段最短 【知识点】两直线平行同旁内角互补、垂线段最短、格点作图题 【分析】本题考查了方格纸作图， （1）根据可得，过点A作平行线即可； （2）根据垂线段最短作垂线即可； 【详解】（1）解：如图1中，即为所求： （2）解：如图2中，线段即为所求．理由：垂线段最短 【题型二十四】根据平行线的性质探究角的关系 47．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，作平行线是解题的关键； 分别过点C、D作，则，则，；由，由此即可求得三个角间的关系． 【详解】解：如图，分别过点C、D作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 即， 故答案为：． 48．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，与相等吗？试说明理由． 【答案】．理由见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】利用平行线的性质来推导．已知两组对边分别平行，可以通过同旁内角互补的性质，建立与和其他角的关系，从而得出与的数量关系． 【详解】解：∵ ， ∴． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）和补角的性质（同角的补角相等），解题关键是通过平行线的性质，找到与与公共角的互补关系，进而利用补角的传递性证明两角相等． 49．（22-23七年级下·北京西城·期中）已知：如图，直线，直线与、分别交于E、F两点．过F作射线平分，交于点G．射线上有一动点P，过P作，交直线于点Q．        (1)如图1，当经过点E时，求证：平分； (2)当点P在运动过程中，作的角平分线，交射线于点M，试探究与的数量关系，请写出你的猜想并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）根据是角平分线，可得得到，由根据，得到，则为等腰三角形，又因为为垂线，可得为角平分线，从而证得结论； （2）分两种情况讨论，当点在的延长线上时，令，分别用表示出与，然后再代换即可找到它们之间的关系；当点在线段上时，在四边形中根据四边形内角和以及外角定理可以得到，然后再结合与之间的关系，通过代换可找到与的数量关系． 【详解】（1）证明：    ∵， ∴， 又∵为角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴平分． （2）解：如下图，当在的延长线上时，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， 由：， ∴， 当点在线段上时，    由图一可知，①， 即：②， ， 即：③， 由①②③可知： ④， 又∵， ∴， 有， ， 由④⑤可知 ， ， 即， 综上：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练运用平行线的性质是求解的关键． 【题型二十五】根据平行线的性质求角的度数 50．（2024·广东·模拟预测）如图是敏敏绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面分别为与，入射光线m与反射光线n平行，若入射光线m与镜面的夹角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解答本题的关键． 由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得，求出，由可得． 【详解】解：如图， 由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 51．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，某工程队从点出发，沿北偏西方向铺设管道．由于某些原因，段不适宜铺设管道，需改变方向．从点沿北偏东方向继续铺设段，到达点又改变方向，从点继续铺设段．当的度数为多少时，所铺设的管道？此时与有怎样的位置关系？ 【答案】当时，所铺设的管道，此时 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】结论：利用平行线的性质解决问题即可． 【详解】解：由题意，得， ． 若，则， ，即． 故当时，所铺设的管道，此时． 【点睛】本题考查平行线的判定，方向角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【题型二十六】平行线的性质在生活中的应用 52．（24-25七年级下·河北沧州·期中）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为（    ） A．第一次左拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次右拐 D．第一次左拐，第二次右拐 【答案】D 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两条直线平行的性质两条直线平行，同位角相等，再根据题意得两次拐的方向不相同，但角度相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵第一次拐的角是，第二次拐的角是，由于仍在原来的方向上平行前进， ∴， ∴第一次与第二次拐的方向不相同，即第二次右拐， 故选：． 53．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 【答案】两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等； 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质完成证明过程，即可求解． 【详解】解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 所以（平角的定义）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等；． 【题型二十七】根据平行线判定与性质求角度 54．（24-25七年级下·广东江门·月考）如图，已知，，，则 ． 【答案】/60度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质，此类题目过拐点作平行线是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用． 过点E作，然后根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 55．（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点B作，则，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）①如图所示，过点B作，则，由平行线的性质可推出；再求出，；过点D作，则，则，据此由角的和差关系可得答案；②仿照（2）①求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，过点D作，则， ∴， ∴ ； ②如图所示，过点B作，过点D作，则，    同理可得，， ∵，， ∴， ∴ ． 【题型二十八】根据平行线判定与性质证明 56．（2022七年级下·广东揭阳·竞赛）如图，，，，那么与的位置与大小关系是（    ） A．是同位角且相等 B．是同位角但不相等 C．不是同位角但相等 D．不是同位角且不相等 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，准确根据已知条件分析判定平行线是重要解题步骤；根据，得到，可得到，再根据，得到，即可得到． 【详解】，， （垂直于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又， （两直线平行，内错角相等）， ， ， 又从图中可得到和不是同位角， 但不是同位角． 故答案选． 57．如图，已知D是CA延长线上一点，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，DF与AB相交于点G，且∠D=∠3，请说明AE平分∠BAC． 【答案】证明见解析． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】先证明AE∥DF，根据平行线的性质推出∠D=∠1，∠2=∠3，即可推出∠1=∠2，从而证明AE平分∠BAC． 【详解】解：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB=∠DFB=90°， ∴AE∥DF， ∴∠D=∠1，∠2=∠3， ∵∠3=∠D， ∴∠1=∠2， ∴AE平分∠BAC． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线定义等知识点，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键． 58．已知∠CDA=∠CBA，DE 平分∠CDA，BF 平分∠CBA．且∠1=∠2，请说明 DE//FB 的理由． 解：因为 DE 平分∠CDA（           ） 所以（        ） 因为 BF 平分∠CBA（           ） 所以（          ） （ 完 成 以 下 说 理 过 程 ） 【答案】见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】根据角平分线定义和已知求出∠1=∠3，推出∠2=∠3，根据平行线的判定推出即可． 【详解】∵DE平分∠CDA(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵BF平分∠CBA(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵∠CDA=∠CBA(已知)， ∴∠1=∠3(等量代换)， ∵∠1=∠2(已知)， ∴∠2=∠3(等量代换)， ∴DE//FB(同位角相等，两直线平行)． 【点睛】本题考查了平行线的判定和角平分线定义的应用，注意：同位角相等，两直线平行. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 相交线与平行线 章节（15知识详解+28典例分析） 【知识点01】相交线与平行线 1. 在同一平面内, 两条直线的位置关系有相交和平行两种.判断两直线相交的依据 2. 相交线 若两条直线只有一个公共点, 我们称这两条直线为相交线.如图2.1-1，直线AB与CD相交于点O. 3. 平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.无公共交点 如图2.1-2，直线AB与直线CD平行. 注意：平行线是指“两条直线”, 而不是两条线段或射线. 线段或射线平行是指它们所在的直线平行. 【知识点02】对顶角 1. 定义 在图2.1 -3中，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角. 特别提醒：对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个. 2. 性质 对顶角相等. 特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等； (2)相等的两个角不一定是对顶角. 【知识点03】补角和余角 1.补角 一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角. 数学语言：若∠1＋∠2＝180°，就说∠1是∠2的补角或∠1与∠2互为补角，如图2.1-5 所示. 2. 余角 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角 . 数学语言：若∠3＋∠4＝90°，就说∠3是∠4的余角或∠3与∠4互为余角，如图2.1-6所示. 3. 一个角的补角(或余角)可以有多个，但它们的度数是相等的. 互补、互余是指具有一定数量关系的两个角，一个角或三个及三个以上的角之间不存在互补或互余的关系，如∠1＋∠2＋∠3＝90°，但不能说这三个角互余. 【知识点04】补角、余角的性质 1. 性质 同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角 相等. 2. 示例 (1)如果∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，那么∠2＝∠3； (2)如果∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4. 【知识点05】垂直的定义及垂线的画法 1. 定义 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 特别解读：垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角. 2.表示符号 通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直. 直线AB与直线CD垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于CD”. 3. 垂线的画法 经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线的步骤如下表： 步骤 内容 示图 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点P作直线l的垂线 二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 【知识点06】垂线的性质 1. 垂线的性质 (1)性质1：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (2)性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 2. 点到直线的距离 如图2.1 -12，过点A作直 线l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线l的距离. 垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一条线段，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度. 【知识点07】同位角 1. 定义 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角分别在被截的两条直线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. 特别解读 1. 同位角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系. 2. 在“三线八角”中，有4 对同位角. 2. 位置特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，在两条被截直线同一方 形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 【知识点08】平行线的判定方法1 1. 方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简述：同位角相等，两直线平行. 2.表达方式 如图2.2-2， 因为∠1＝∠2(已知)，所以a∥b(同位角相等，两直线平行). 两直线平行，用符号“∥”表示. 例如，直线a与直线b 平行，记作a∥b. 【知识点09】平行线的基本事实及其推论 1. 借助三角尺画平行线 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤： 一落：把三角尺的一边落在已知直线上； 二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺； 三移：把三角尺沿着直尺移动使其经过已知点； 四画：沿三角尺之前落在已知直线上的一边画直线. 此直线即为已知直线的平行线. 2. 平行线的基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 注意：平行线的基本事实的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线. 3. 平行线的基本事实的推论 平行于同一条直线的两条直线平行. 即如果a∥c，b∥c，那么a∥b.平行线的传递性 【知识点10】内错角、同旁内角 1. 内错角 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角都在被截的两条直线之间，并且分别在截线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角. 2. 同旁内角 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角都在被截的两条直线之间，且它们都在截线的同一侧，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角. 3. 位置特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 内错角 在截线两侧，在两条被截直线之间 形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同旁内角 在截线同侧，在两条被截直线之间 形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) 【知识点11】平行线的判定方法2，3 1. 方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简述：内错角相等，两直线平行. 表达方式 如图2.2-6，因为∠1＝∠2(已知)，所以a∥b(内错角相等，两直线平行). 2. 方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简述：同旁内角互补，两直线平行. 表达方式 如图2.2-7，因为∠ 1＋∠ 2＝180°(已知)，所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行). 【知识点12】过直线外一点作已知直线的平行线 过直线 AB外一点P作直线AB的平行线的作法与示范如下： 作法 示范 1. 在直线 AB上任取一点 O，过点 O，P 作直线 CD 2. 以点P为顶点，以PD为一边，在直线 CD的右侧作∠DPN＝∠DOB. PN边所在的直线 MN就是要作的直线 【知识点13】平行线的性质1 1. 性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 . 简述：两直线平行，同位角相等. 2.表达方式：如图，因为a∥b(已知)，所以∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等). 【知识点14】平行线的性质2 1. 性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述：两直线平行，内错角相等. 2. 表达方式 如图，因为a∥b(已知)，所以∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等). 【知识点15】平行线的性质3 1. 性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简述：两直线平行，同旁内角互补. 2. 表达方式 如图2.3-5，因为a∥b(已知)，所以∠1＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补). 【题型一】平面内两直线的位置关系 1．（2024·河北·模拟预测）如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：① ；② ． 【题型二】立体图形中平行的棱 3．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【题型三】相交线 5．按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（　　　） A． B． C． D． 6．观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ． 【题型四】对顶角的定义 7．（22-23七年级下·内蒙古阿拉善盟·期中）下面四个图形中，与是对顶角的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 【题型五】对顶角相等 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）如图，直线，相交于点，平分，于，，求的度数． 【题型六】求一个角的余角 11．（24-25七年级下·山西晋中·期末）的余角是（   ） A． B． C． D． 12．与互为余角，若，则 ． 【题型七】求一个角的补角 13．（24-25七年级下·广东湛江·期末）已知，则的补角是 ． 14．（24-25七年级下·吉林白城·期中）如图所示，直线，被直线，所截，已知与，与，与分别互补，且，试求，，的度数． 【题型八】与余角、补角有关的计算 15．（24-25七年级下·全国·月考）如果的余角等于，则的补角等于（   ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）下面是对“如果和都是的余角，那么”的说理过程．请在括号内填上依据． 理由： 因为（已知）， 所以（等式的基本性质）． 因为（   ）， 所以（   ）， 所以（   ）． 【题型九】同(等)角的余(补)角相等的应用 17．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图所示，都是以为顶点的直角，能解释的理由是（　　） A．同角的余角相等 B．平角的定义 C．对顶角相等 D．同角的补角相等 18．（24-25七年级下·全国·期末）如图所示，如果将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，若，那么 ． 【题型十】垂线的定义理解 19．（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ． 20．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线与相交于点，于点，若，求的度数． 【题型十一】画垂线 21．（24-25七年级下·河北唐山·期中）下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个（    ） 题目：过点P画出线段的垂线 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 22．（24-25七年级下·甘肃定西·月考）如图，已知直线a，b，点P在直线a上，过点P分别作直线a，b的垂线PA，PB，分别与直线b交于点A，B． 【题型十二】垂线段最短 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在________处，其依据是（    ） A．处，经过一点有无数条直线 B．处，垂线段最短 C．处，两点之间，线段最短 D．处，两点确定一条直线 24．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，要把水渠中的水引到点，在渠岸上找一点开沟，使沟最短？画出点的位置，并说明理由． 【题型十三】点到直线的距离 25．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，则下列线段的长度中代表点M到直线l的距离的是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点． (1)过点画出的垂线，交直线于点； (2)过点画，垂足为点； (3)点到直线的距离是线段___________的长． 【题型十四】同位角、内错角、同旁内角 27．（25-26七年级下·全国·周测）如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是同位角的角共有 个． 【题型十五】同位角相等两直线平行 29．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图，在直线外取一点P，经过点P作的平行线，这种画法的依据是（    ） A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 30．（22-23七年级下·河南信阳·月考）能判定的同位角有 组． 【题型十六】用直尺、三角板画平行线 31．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）已知直线和外一点P，经过P点画直线平行，可根据 来画． 32．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在方格纸中，有两条线段，，利用方格纸完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【题型十七】平行公理的应用 33．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，则点在同一直线上，理由是 ． 34．（24-25七年级下·全国·随堂练习）工人师傅在铺设电缆时，为了检查三条电缆是否平行，只检查了其中两条电缆是否与第三条平行．你认为这种做法对吗？请给出合理解释． 【题型十八】平行公理推论的应用 35．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，若，， 则与的位置关系是 36．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），B（2，－1），C（－1，1）． (1)求A，B两点之间的距离； (2)若，且CD＝2，求点D的坐标． 【题型十九】内错角相等两直线平行 37．（23-24七年级下·河南漯河·月考）如图，给出下列四个条件：①；②；③；④，其中能使的条件是（   ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③④ 38．（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）如图：如果，可以推出 ． 【题型二十】同旁内角互补两直线平行 39．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）老师让同学们验证教室里黑板的上，下边缘是否平行．小明画出了如图所示的示意图，并用量角器测量，的度数，则解决这个问题所应用的数学原理是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同位角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 40．如图，一条街道的两个拐角，，这时街道与平行吗？为什么？ 【题型二十一】两直线平行同位角相等 41．如图所示，直线被直线所截，若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 42．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图所示，，若，则的度数为 ． 【题型二十二】两直线平行内错角相等 43．（24-25七年级下·福建宁德·月考）已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 44．（23-24七年级下·广西防城港·期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，如果第一次的拐角是，第二次的拐角是多少度？为什么？ 【题型二十三】两直线平行同旁内角互补 45．如图，已知直线、被直线，所截，若，，则的度数为 ． 46．（24-25七年级下·江西赣州·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，的顶点均落在格点上，请按下列要求用无刻度的直尺作图． (1)在图1中，作，使； (2)在图2中，在直线上找点E，连接，使线段最短，并说明理由． 【题型二十四】根据平行线的性质探究角的关系 47．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，则，，的大小关系是 ． 48．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，与相等吗？试说明理由． 49．（22-23七年级下·北京西城·期中）已知：如图，直线，直线与、分别交于E、F两点．过F作射线平分，交于点G．射线上有一动点P，过P作，交直线于点Q．        (1)如图1，当经过点E时，求证：平分； (2)当点P在运动过程中，作的角平分线，交射线于点M，试探究与的数量关系，请写出你的猜想并加以证明． 【题型二十五】根据平行线的性质求角的度数 50．（2024·广东·模拟预测）如图是敏敏绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面分别为与，入射光线m与反射光线n平行，若入射光线m与镜面的夹角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 51．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，某工程队从点出发，沿北偏西方向铺设管道．由于某些原因，段不适宜铺设管道，需改变方向．从点沿北偏东方向继续铺设段，到达点又改变方向，从点继续铺设段．当的度数为多少时，所铺设的管道？此时与有怎样的位置关系？ 【题型二十六】平行线的性质在生活中的应用 52．（24-25七年级下·河北沧州·期中）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为（    ） A．第一次左拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次右拐 D．第一次左拐，第二次右拐 53．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 【题型二十七】根据平行线判定与性质求角度 54．（24-25七年级下·广东江门·月考）如图，已知，，，则 ． 55．（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 【题型二十八】根据平行线判定与性质证明 56．（2022七年级下·广东揭阳·竞赛）如图，，，，那么与的位置与大小关系是（    ） A．是同位角且相等 B．是同位角但不相等 C．不是同位角但相等 D．不是同位角且不相等 57．如图，已知D是CA延长线上一点，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，DF与AB相交于点G，且∠D=∠3，请说明AE平分∠BAC． 58．已知∠CDA=∠CBA，DE 平分∠CDA，BF 平分∠CBA．且∠1=∠2，请说明 DE//FB 的理由． 解：因为 DE 平分∠CDA（           ） 所以（        ） 因为 BF 平分∠CBA（           ） 所以（          ） （ 完 成 以 下 说 理 过 程 ） 1 学科网（北京）股份有限公司 $