专题 8.4 平方根（专项练习）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.4 平方根（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·四川内江·期末）的平方根为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·周测）若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 3．（25-26八年级上·海南海口·期末）已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（   ） A．n+1 B．+1 C． D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）若x是的平方根，则的正的平方根是（    ） A．1 B． C．1或5 D．1或 6．（24-25八年级上·河南郑州·月考）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·云南·模拟预测）已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 10．（25-26八年级上·河南周口·月考）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若开始输入的数据为10，那么第2026步之后，显示的结果是（    ） A．0.01 B．0.1 C． D．100 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）若没有平方根，则x的值可能为 ． 12．（25-26九年级上·河南周口·期中）若，则 ． 13．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知，若，则的值等于 ． 14．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知实数，满足与互为相反数，则的值为 ． 15．（25-26八年级上·上海·月考）已知，则 ． 16．（25-26八年级上·河南南阳·期末）的平方根是 ． 17．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）64的算术平方根是 ． 18．（25-26八年级上·上海·月考）将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)1.69． (2)． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏淮安·期末）解方程： (1)； (2) 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江湖州·期末）若是关于的一元一次方程． (1)求________； (2)求的平方根． 22．（本小题满分10分）（23-24七年级下·广东惠州·期中）阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江西吉安·期末）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.4 平方根（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·四川内江·期末）的平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的计算，先计算的值，再求该值的平方根，注意平方根有正负两个值． 解：∵， ∴的平方根为， 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·周测）若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 【答案】D 【分析】先根据已知方程求出的值，再计算的算术平方根，最后逐一判断选项． 解：∵ = 7， ∴ 两边平方得：． ∴ ． ∴ 的算术平方根为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义与方程求解，解题关键是先通过方程求出的值，再根据算术平方根的定义计算结果，避免混淆“”与“的算术平方根”这两个概念． 3．（25-26八年级上·海南海口·期末）已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 解：∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（   ） A．n+1 B．+1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义．注意一个正数的正的平方根，是这个数的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根． 首先根据算术平方根的概念先求得这个自然数为，再根据算术平方根的定义即可求得与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根． 解：∵一个自然数的算术平方根是n， ∴这个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是． 故选：D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）若x是的平方根，则的正的平方根是（    ） A．1 B． C．1或5 D．1或 【答案】D 【分析】先计算的值，再求其平方根得到，然后计算，最后求的正的平方根（算术平方根）． 本题考查平方根的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键．注意：一个正数的平方根有两个，一个正数的算术平方根只有一个． 解：∵， 又∵ 是的平方根， ∴或． 当时，，的正的平方根为； 当时，，的正的平方根为． ∴的正的平方根是1或． 故选：D． 6．（24-25八年级上·河南郑州·月考）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】D 【分析】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义．根据平方根的性质即可求出答案． 解：与是同一个数的两个不等的平方根， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故选：D． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握其定义和性质是解题的关键． 根据算术平方根的定义和性质，直接计算每个等式的值，判断是否正确即可． 解：A、∵ ， ∴ ，故该选项说法正确，符合题意； B、∵，， ∴，故该选项说法错误，不符合题意； C、∵， ∴在实数范围内无意义，故该选项说法错误，不符合题意； D、∵，， ∴，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 8．（2025·云南·模拟预测）已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的大小估算，求平方根，首先求出，然后估计的整数部分，然后根据选项即可求解． 解：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 9．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用、正方形的面积等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． 根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是、2，再根据阴影部分的周长公式计算即可． 解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 2和4， ∴两个正方形的边长分别是、2， ∴阴影部分的周长为． 故选C． 10．（25-26八年级上·河南周口·月考）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若开始输入的数据为10，那么第2026步之后，显示的结果是（    ） A．0.01 B．0.1 C． D．100 【答案】A 【分析】本题主要结合计算器的使用考查规律，根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论，找到规律是解题的关键． 分别求出第1，2，3，4，5，6步的结果，进而得出规律，根据规律确定答案即可． 解：根据题意可得： 第1步：；第2步：；第3步：； 第4步：；第5步：；第6步：； 第7步：；第8步：…… ∵显示的数是六步一个循环， ∴， ∴第2026步之后荧幕显示的数与第四步相同，显示的结果是， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）若没有平方根，则x的值可能为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据平方根的性质，负数没有平方根，因此 ，解不等式可得 ，从而确定 的可能值． 本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握负数没有平方根是解决本题的关键． 解：∵没有平方根， ∴，即， 解得， 因此 的值可能为2（或其他小于 2.5 的数） 故答案为：2． 12．（25-26九年级上·河南周口·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知，若，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 将转化为，再利用平方根的定义解答． 解：∵， ∴， ， 即x的值等于； 故答案为：； 14．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知实数，满足与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值． 根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求出a和b的值，进而代入计算即可． 解：∵与互为相反数， ∴， ∵且， ∴且， ∴，， ∴． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·上海·月考）已知，则 ． 【答案】 0.338 【分析】此题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，将转化为，然后利用已知的近似值进行计算． 解：因为，所以， 故答案为：0.338． 16．（25-26八年级上·河南南阳·期末）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算乘方，再求平方根即可． 解：的平方根是， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）64的算术平方根是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了算术平方根的概念，根据算术平方根的定义求解即可，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 解：64的算术平方根是， 故答案为：8． 18．（25-26八年级上·上海·月考）将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及代数式求值，根据所给各数的排列方式，发现前n排数的总个数的变化规律，据此可解决问题． 解：由题知， 第1排数的个数为：； 前2排数的总数为：； 前3排数的总数为：； …， 所以前n排数的总数为，且第n排有个数． 当时，，， 所以，数字是第46排，从左往右的89个数． 因为第第46排有个数，且从右到左依次减小， 则，， 所以． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)1.69． (2)． 【答案】(1) (2)/ 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）根据平方根的定义计算即可； （2）先计算出，再根据平方根的定义计算即可． （1）解：∵， ∴的平方根是． （2）解：∵， ∴的平方根是． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏淮安·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义，转化为两个一元一次方程，解方程即可． （1）解： ； （2）解： 则或 或． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江湖州·期末）若是关于的一元一次方程． (1)求________； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，含乘方的有理数混合运算，平方根的定义，熟练掌握相关定义，准确计算为解题关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，，即可得出答案； （2）将代入式子求出结果，再求平方根即可． （1）解：由题意得：， ， 又， ， ； （2）， ， ． 22．（本小题满分10分）（23-24七年级下·广东惠州·期中）阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 【答案】(1)①，；②， (2) (3)①；②；③ 【分析】本题考查算术平方根的计算，读懂题意，理解题中新的运算公式，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）由算术平方根的定义计算即可得到答案； （2）根据规律总结即可得答案； （3）由（2）中直接计算即可得到答案． （1）解：①，， ②，． 故答案为：①，；②， （2）解：∵；， ∴通过计算，我们可以发现． 故答案为： （3）解：①． ②． ③． 故答案为：①；②；③． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江西吉安·期末）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1)见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12 (2)1或100 【分析】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． （1）证明：，，， ，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，可得，解得：（舍去）， ②当时，可得，解得：，经检验符合题意， ③当时，可得，解得：，经检验符合题意． 综上所述，的值为1或100． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． （1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $