专题 8.2 立方根（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.2 立方根（知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】立方根与开立方 1 【题型 1】根据定义求下列各数的立方根 1 【知识点二】立方根的表示与运算 3 【题型 2】立方根概念与性质的理解 3 【题型 3】求一个数的立方根（用立方根的符号表示） 5 【题型 4】已知一个数的立方根，求这个数 7 【题型 5】立方根的应用 9 【题型 6】立方根与平方根的综合运算 11 二.中考真题 13 （一）选择题（2题） 13 （二）填空题（6题） 14 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】立方根与开立方 （1）立方根：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫作的立方根或三次方根. （2）开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开平方. （3）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【题型 1】根据定义求下列各数的立方根 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键． （1）（2）（3）（4）利用立方根的定义即可得到结果． 【详解】（1）解：因为，所以的立方根是； （2）解：因为，所以的立方根是； （3）解：因为， 所以的立方根是； （4）解：因为， 所以的立方根是． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）平方根与立方根相同的数是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了平方根和立方根， 根据平方根和立方根的定义解答即可. 【详解】解：因为正数的平方根有两个，互为相反数，任何实数都有一个立方根， 所以正数的平方根和立方根不能相同. 因为负数没有平方根， 所以负数的平方根和立方根不能相同. 只有0的平方根是0，立方根是0. 故答案为：0. 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）2是 的立方根； 的立方根是． 【答案】 8 【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值即可． 【详解】解：∵， ∴2是8的立方根， ∵， ∴的立方根是． 故答案为8，． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根的性质和概念，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据，再结合立方根的知识进行作答，即可求解； （2）根据，再结合立方根的知识进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴的立方根为， 即； （2）解：∵， ∴的立方根为， 即． 【知识点二】立方根的表示与运算 （1） 一个数的立方根，记为：，读作“三次根号”，其中叫作被开方数；3是根指数。.其中3不能省略不写. （2） 立方根的性质： 【题型 2】立方根概念与性质的理解 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用立方根的性质对选项逐一判断，即可求解． 【详解】解：A．的立方根是，故选项正确； B．的立方根是，故选项正确； C．0的立方根是0，故选项正确； D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误． 故选：D 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的定义与计算，掌握通过计算立方值来验证立方根的正确性是解题的关键． 逐一验证每个立方根表达式是否正确． 【详解】解：对于第一个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第二个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第三个：∵ ，∴ ，错误； 对于第四个：∵ ，∴ ，∴ 错误； 综上，正确的个数为． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列等式：①；②；③；④，不成立的是 ．（请填写序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的性质和运算法则． 利用立方根的性质和运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：①，成立； ②，成立； ③，不成立； ④，成立． 故答案为：③． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习），则的值为（   ） A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义和性质，以及代数式求值，通过立方根的性质求出x的值，再代入代数式求值． 【详解】解：∵， ∴或1或， 解得或1或3， 当时，； 当时，； 当时，； ∴的值为0或2或6． 故选：D． 【题型 3】求一个数的立方根（用立方根的符号表示） 【例题3】（25-26七年级下·全国·周测）计算下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)1 (4) 【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键． （1）根据以及立方根的定义进行计算即可； （2）根据以及立方根的定义进行计算即可； （3）根据以及立方根的定义进行计算即可； （4）根据以及立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）若a是的平方根，则（    ） A．－3 B． C．或 D．3或－3 【答案】C 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，掌握先计算平方得到基础值，再求平方根确定的可能值，最后求立方根是解题的关键． 先计算 的值，得到 9，则 是 9 的平方根，即或，再求的立方根即可． 【详解】解：∵  ， ∴ 是 9 的平方根，即 ， 当 时，， 当 时，， ∴ 或 ， 故选： C． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·月考）设a为非负有理数，b是有理数，规定，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，求一个数的算术平方根和立方根，由新定义得，由算术平方根和立方根，并结合新定义分步求解即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式3】（2025八年级上·北京·专题练习）求下列各数的立方根： (1) (2) (3)0.125 【答案】(1) (2) (3)0.5 【分析】本题考查立方根的定义，理解立方根的定义是解答的关键． （1）（2）（3）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：因为，所以的立方根是，即； （2）解：因为，所以的立方根是，即； （3）解：因为，所以的立方根是，即． 【题型 4】已知一个数的立方根，求这个数 【例题4】（25-26八年级上·江西抚州·月考）已知某正数的两个平方根分别是和，且的立方根为，求和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握一个正数的平方根有2个，它们互为相反数是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义求出a，b的值即可得出答案． 【详解】解：因为某正数的两个平方根分别是和， 所以， 解得， 因为的立方根为， 所以， 解得， 所以，． 【变式1】（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 【答案】C 【分析】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键． 根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·广东江门·期中）已知的平方根是，的立方根是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方根定义、立方根定义定义等知识，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 根据题意求出值，再代入计算即可． 【详解】解：的平方根是， ， ； 的立方根是， ， ； ； 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知某个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a与b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根的定义，立方根的定义． （1）根据平方根的定义，立方根的定义作答即可； （2）先求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵某个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：； ∵的立方根是2， ∴， 即， 解得：； （2）解：， ∴的平方根为． 【题型 5】立方根的应用 【例题5】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 【变式1】（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 【答案】A 【分析】此题主要考查了立方根，正确掌握立方根的定义是解题关键． 根据正方体体积比求出边长比，再根据表面积与边长平方成正比，求出表面积比． 【详解】解：设正方体的边长为，则体积， 则正方体的体积为， 正方体的边长为． 正方体的表面积为， 正方体的表面积为， ． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）已知球体的体积，若一个球的体积，则它的半径 ． 【答案】6 【分析】本题考查了立方根的应用，熟记立方根的定义是解题的关键； 根据球体的体积代入公式，再根据立方根计算即可得解． 【详解】解：∵球体的体积公式为，球的体积， ∴， ∴ 故答案为：6． 【变式3】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得，； （2）解：， ， ， ， ． 【题型 6】立方根与平方根的综合运算 【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的相关内容是解题的关键； 根据题意列出符合题意的式子分别求出m、n的值，即可求得的平方根． 【详解】解：由题意，得， ． ， 解得， ，， ． ， 的平方根为． 【变式1】（23-24七年级下·广东汕头·期中）的绝对值是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ； 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的相关性质，灵活准确的利用绝对值，立方根、算术平方根是关键．根据算术平方根、立方根、绝对值的概念进行求解． 【详解】解：的绝对值是； 的立方根是； ， 的算术平方根是， 故答案为：，，． 【变式2】（23-24七年级下·四川绵阳·月考）已知、、在数轴上的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】先根据数轴的性质可得，从而可得，再计算算术平方根与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可知，， ，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 【变式3】（23-24七年级下·福建莆田·期中）李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 【答案】的立方根为，过程见解析 【分析】本题考查了算术平方根，平方根和立方根的综合，熟练掌握算术平方根，平方根和立方根的性质是解题的关键． 根据平方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后将其代入中计算后根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵的平方根是，6是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为． 二.中考真题 （一）选择题（2题） 1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）﹣8的立方根是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在 【答案】C 【分析】根据立方根的定义进行解答． 【详解】∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故选C． 【点睛】本题主要考查了立方根，解决本题的关键是数积立方根的定义． 2．（2023·湖南娄底·中考真题）从，3.1415926，，，，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出，是无理数，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，3.1415926，，，，，中无理数有：，， ∴从，3.1415926，，，，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是； 故选A 【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根，无理数的含义，利用概率公式求解简单随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键． （二）填空题（6题） 3．（2025·江西·中考真题）化简： 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为2． 4．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查实数的混合混算，先进行开方和乘方运算，再进行加法运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：3． 5．（2025·浙江·中考真题）计算： ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 6．（2023·湖南·中考真题）的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，先计算的值，再求其立方根即可，掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：因为表示的算术平方根， 所以 ， 所以的立方根是 ，即的立方根是， 故答案为：． 7．（2023·四川内江·中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ． 【答案】 【分析】利用相反数，立方根的性质求出及c的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．（2023·安徽·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】根据求一个数的立方根，有理数的加法即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.2 立方根（知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】立方根与开立方 1 【题型 1】根据定义求下列各数的立方根 1 【知识点二】立方根的表示与运算 2 【题型 2】立方根概念与性质的理解 2 【题型 3】求一个数的立方根（用立方根的符号表示） 2 【题型 4】已知一个数的立方根，求这个数 3 【题型 5】立方根的应用 3 【题型 6】立方根与平方根的综合运算 4 二.中考真题 4 （一）选择题（2题） 4 （二）填空题（6题） 4 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】立方根与开立方 （1）立方根：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫作的立方根或三次方根. （2）开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开平方. （3）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【题型 1】根据定义求下列各数的立方根 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）平方根与立方根相同的数是 ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）2是 的立方根； 的立方根是． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根． (1)； (2)． 【知识点二】立方根的表示与运算 （1） 一个数的立方根，记为：，读作“三次根号”，其中叫作被开方数；3是根指数。.其中3不能省略不写. （2） 立方根的性质： 【题型 2】立方根概念与性质的理解 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列等式：①；②；③；④，不成立的是 ．（请填写序号） 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习），则的值为（   ） A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 【题型 3】求一个数的立方根（用立方根的符号表示） 【例题3】（25-26七年级下·全国·周测）计算下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）若a是的平方根，则（    ） A．－3 B． C．或 D．3或－3 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·月考）设a为非负有理数，b是有理数，规定，则 ． 【变式3】（2025八年级上·北京·专题练习）求下列各数的立方根： (1) (2) (3)0.125 【题型 4】已知一个数的立方根，求这个数 【例题4】（25-26八年级上·江西抚州·月考）已知某正数的两个平方根分别是和，且的立方根为，求和的值． 【变式1】（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 【变式2】（24-25七年级下·广东江门·期中）已知的平方根是，的立方根是，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知某个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a与b的值； (2)求的平方根． 【题型 5】立方根的应用 【例题5】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【变式1】（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 【变式2】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）已知球体的体积，若一个球的体积，则它的半径 ． 【变式3】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）解方程： (1) ； (2)． 【题型 6】立方根与平方根的综合运算 【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【变式1】（23-24七年级下·广东汕头·期中）的绝对值是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ； 【变式2】（23-24七年级下·四川绵阳·月考）已知、、在数轴上的位置如图，化简： ． 【变式3】（23-24七年级下·福建莆田·期中）李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 二.中考真题 （一）选择题（2题） 1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）﹣8的立方根是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在 2．（2023·湖南娄底·中考真题）从，3.1415926，，，，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（    ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 3．（2025·江西·中考真题）化简： 4．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算： ． 5．（2025·浙江·中考真题）计算： ． 6．（2023·湖南·中考真题）的立方根是 ． 7．（2023·四川内江·中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ． 8．（2023·安徽·中考真题）计算： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $