精品解析：湖北十堰市郧阳中学等校2025-2026学年高二上学期期末数学独立作业

高二上期末数学独立作业 一､单选题 1. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ） A B. C. D. 3. 袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计，恰好第三次就停止概率为（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列，的前n项和分别为，，若则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数和直线，那么“直线与曲线相切”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 最早测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足若数列为单调递增数列，则λ的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的上，下焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，过的倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等差数列 C. D. 10. 已知四面体满足则（ ） A. 直线与垂直 B. 二面角平面角的余弦值为 C. 直线与直线夹角的正弦值为 D. 四面体体积为 11. 已知动点是双曲线上的点，点是的左，右焦点，是双曲线的左，右顶点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则面积为4 B. 点到两渐近线的距离之积为 C. 点在双曲线的右支时，的最大值为 D. 设的面积为，则为定值 三､填空题 12. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为__________. 13. 已知双曲线的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，，点在双曲线的右支上，且成等差数列，则双曲线的离心率为__________. 14. 记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”.若函数，数列为牛顿数列.设，已知，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____. 四､解答题 15. （1）已知函数的导函数为，且求： （2）求过原点且与曲线相切的直线方程. 16. 数列是等比数列，等差数列的前项和为，满足，，，. （1）求数列、的通项公式； （2）令，设数列的前项和为，求证：. 17. 已知，点P满足：．设点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程． （2）若直线l过点且与曲线C有两个不同的交点，求直线l斜率的取值范围． 18. 如图甲所示，已知在长方形中，且E为BC的中点，将图甲中沿折起，使得如图乙. （1）求证：平面平面； （2）若点是线段上的动点，且满足. ①若求平面与平面夹角的余弦值； ②若平面与平面的夹角为求λ的值. 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形，动点R在线段AB上，动点Q在延长线上，满足直线与直线交于P点，已知，. （1）证明：动点P点所在曲线方程为双曲线； （2）在C的右支上任取一点以P₀为切点作C的切线（切线方程为交两条渐近线于，两点，过两点分别作两条渐近线的平行线交于，过作直线的平行线，分别交两条渐近线于再过两点分别作两条渐近线的平行线交于，一直反复操作，可得 （i）证明点O，，，…在同一条直线上； （ii）设以此类推，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上期末数学独立作业 一､单选题 1. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】A：，正确； B：，正确； C：，错误； D：，正确； 故选：C. 2. 若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由焦点在y轴上的双曲线方程的结构特征列出关于m的不等式组求解即得. 【详解】因方程表示焦点在y轴上的双曲线， 则有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：D 3. 袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由古典概型的概率计算方法求解即可. 【详解】由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有： 共4个基本事件， 根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为， 故选：C. 4. 设等差数列，的前n项和分别为，，若则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用等差数列的性质、等差数列的前项和公式，得出结论． 【详解】因数列均为等差数列， 则. 故选：A 5. 已知函数和直线，那么“直线与曲线相切”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出直线与相切时的充要条件，可得答案. 【详解】设函数和直线的切点坐标为， 则，可得， 所以当时，直线与曲线相切； 即“直线与曲线相切”是“”的必要条件； 当时，直线与也相切， “直线与曲线相切”不是“”的充分条件. 因此“直线与曲线相切”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据梯形中位线定理，结合圆台体积公式进行求解即可. 【详解】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为， 所以平地降雪厚度的近似值为. 故选：C 7. 已知数列满足若数列为单调递增数列，则λ的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出，然后化简，然后根据单调性列出不等式求解即可. 【详解】由于数列满足， 当时，，当时，， 故，即也适合，故， 则， 由于数列为单调递增数列，即， 即， 则恒成立，故应大于的最大值. 当时，取得最大值-3，所以. 故选：D. 8. 已知椭圆的上，下焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，过的倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意以及椭圆的几何性质得，，以及抛物线的标准方程以及其在点处的切线方程，进而即可求解. 【详解】解：由题可知，直线AB的斜率k为， 设，则椭圆的离心率， 所以，，即焦点坐标为， 所以抛物线方程为， 故在点处的切线方程为， 令，， 因为， 所以是首项2，公比的等比数列， 即 故选：A. 二､多选题 9. 已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列等差数列 B. 数列为等差数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等比数列的定义可判断A选项；利用等差数列的定义可判断B选项；结合AB选项中两个数列的通项公式可求得数列的通项公式，可判断C选项；利用分组求和法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，所以， 则是首项为，公比为的等比数列，A错； 对于B选项，因为，所以，且， 所以数列为首项为，公差为的等差数列，B对； 对于C选项，由A选项可得①， 由B选项可得②， 联立①②可得，C对； 对于D选项，，D对. 故选：BCD. 10. 已知四面体满足则（ ） A. 直线与垂直 B. 二面角平面角的余弦值为 C. 直线与直线夹角的正弦值为 D. 四面体的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】构造长方体，由长方体的特征可判定A项，建立空间直角坐标系，借助空间向量可判定B、C项，利用割补法计算体积可判定D项. 【详解】如图，构造长方体，因， 则可得，此时四面体符合题目条件. 建立空间直角坐标系，则， 对于A，由长方体的特征可知，又底面为正方形， 即，所以，故A正确； 对于B，易知，，， 设平面和平面的法向量分别为，， 则，故可取； 则，故可取. 设锐二面角的平面角为，则，故B错误； 对于C，易知， 则直线与直线夹角的余弦值为，故C错误； 对于D，由图易知四面体的体积等于长方体的体积减去四个大小相同的三棱锥的 体积，即，故D正确. 故选：AD 11. 已知动点是双曲线上的点，点是的左，右焦点，是双曲线的左，右顶点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为4 B. 点到两渐近线的距离之积为 C. 点在双曲线右支时，的最大值为 D. 设的面积为，则为定值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，结合勾股定理即可求解，由面积公式即可求解A；根据点到直线的距离公式即可求解B；根据双曲线定义得，即可消元，结合对勾函数的性质求解C；根据和差角的正切公式，结合斜率公式以及面积公式即可求解D. 【详解】对于选项A：因为双曲线，故可得， 当时，， 故，则，故A错误； 对于选项B：设点，则， 又因为双曲线渐近线为， 故到两渐近线的距离之积为，故B正确； 对于选项C：因为，可得， 则, 因为，故在单调递增， 则当时，取最大值，故C错误； 对于选项D：不妨设点在轴上方，则， 则， 又，， 故，又， 故； 当点在轴下方时，同理可得； 综上所述：为定值，故D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：，又，，结合双曲线方程化简. 三､填空题 12. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】因为函数可导，且满足， 所以 ，所以， 所以函数在处的导数为. 故答案为： 13. 已知双曲线左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，，点在双曲线的右支上，且成等差数列，则双曲线的离心率为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的定义以及等差数列的定义和性质可求. 【详解】由题意知，， 因为点在双曲线的右支上，所以， 法一：因为成等差数列， 设公差为，则，所以， 所以，即成等差数列，且公差， 所以，即， 所以双曲线的离心率 法二：因为成等差数列，所以， 即，即，所以双曲线的离心率. 故答案为： 14. 记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”.若函数，数列为牛顿数列.设，已知，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由导函数，可得，通过化简得 ，则，可求出数列的通项公式与前项和为，参变分离可得对任意的恒成立，利用对勾函数的性质求出即可. 【详解】因为，则，则， 由，所以， 所以， 即数列是以2为首项、2为公比的等比数列，所以，， 因为对任意的恒成立，又且单调递增， 所以对任意的恒成立，令， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又，且，故对于都有, 因此， 所以，所以的最大值为． 故答案为：. 四､解答题 15. （1）已知函数的导函数为，且求： （2）求过原点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的运算法则可得答案； （2）利用导数的几何意义以及直线的点斜式方程可得答案. 【详解】（1）， 两边求导， 当时，， 解得， 所以， 所以. （2）, 设切点为, 故切线的斜率， 切线方程为， 因为切线过原点， 所以， 即, 解得或 所以切线方程为， 即切线方程为. 16. 数列是等比数列，等差数列的前项和为，满足，，，. （1）求数列、的通项公式； （2）令，设数列的前项和为，求证：. 【答案】（1），； （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）运用等差数列和等比数列的基本量公式代入已知条件计算出结果. （2）化简数列的表达式,运用裂项相消法计算出的表达式,然后证明结果. 【详解】解：（1）设等比数列的公比为,等差数列的公差为. 由,,,, 得,即,∴,, 故,. （2） ∴. ∵,递增,,,∴,即 . 【点睛】本题考查了等比数列和等差数列基本量的计算,代入公式即可计算出结果,在数列求和中有一些方法：裂项相消法、错位相减法等,需要熟练掌握并运用方法来解题. 17. 已知，点P满足：．设点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程． （2）若直线l过点且与曲线C有两个不同的交点，求直线l斜率的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据双曲线的定义可知曲线C是以为焦点，的双曲线的左支．从而确定即可求方程； (2) 设直线l的方程为，联立直线方程和曲线方程，整理，结合两个交点情况可求. 【小问1详解】 由题可得：曲线C是以为焦点，的双曲线的左支． 则，由，得：， 故曲线C的方程为． 【小问2详解】 显然直线的斜率存在，设直线l的方程为； 令直线l与曲线C的两个交点分别为． 联立得． ①当，即时，直线l与曲线C至多有一个交点，不符合题意． ②当，即时，． 又直线l与曲线C有两个不同交点，则，且，解得：． 所以直线l斜率的取值范围为． 18. 如图甲所示，已知在长方形中，且E为BC的中点，将图甲中沿折起，使得如图乙. （1）求证：平面平面； （2）若点是线段上的动点，且满足. ①若求平面与平面夹角的余弦值； ②若平面与平面的夹角为求λ的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面平面； （2）①以为原点建立空间直角坐标系，求得平面和的法向量，再利用面面角的向量法求解；②由求得出，进而求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量法列出求解. 【小问1详解】 在矩形中，由，且为的中点，得， 则，，即，而， 且平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 ①由（1）知，过点作直线平面，则直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 则，取，得， 而平面的法向量，设平面与平面所成夹角为， 则，所以平面与平面所成夹角的余弦值为. ②由，得，， 则，设平面的法向量， 则，取，得， 而平面的法向量，平面与平面的夹角， 则，解得， 所以. 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形，动点R在线段AB上，动点Q在延长线上，满足直线与直线交于P点，已知，. （1）证明：动点P点所在曲线方程为双曲线； （2）在C的右支上任取一点以P₀为切点作C的切线（切线方程为交两条渐近线于，两点，过两点分别作两条渐近线的平行线交于，过作直线的平行线，分别交两条渐近线于再过两点分别作两条渐近线的平行线交于，一直反复操作，可得 （i）证明点O，，，…在同一条直线上； （ii）设以此类推，证明： 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知有，进而依次得到、，再写出直线、方程，求出它们的交点，即可得； （2）（i）将方程与双曲线渐近线方程联立即可得到交点坐标，最后根据三点共线即可得到轨迹方程； （ii）根据点到直线距离公式和两点距离公式即可得到，设，从而得直线，与双曲线渐近线方程联立得，再利用等比数列的定义得到，最后应用等比数列前n项和，即可证. 【小问1详解】 由题设及图知， 由动点在线段上，且，则，易知， 由动点在延长线上，且，则，易知， 所以， 联立方程有，则，故， 综上，，则， 所以动点点所在曲线方程为双曲线，得证； 【小问2详解】 （i）直线方程为， 双曲线的渐近线，联立，得和. 则交点， ，且， ， ，而， ，可得三点共线且方程为， 由于， ， ， ， ， ， 共线， 共线， 共线， 共线且轨迹方程为，得证； （ii），直线方程，则， ， 所以， 设，直线，所以， 与分别联立，得和， 则， ， 即， ，又， ，则， 所以，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $