精品解析：江苏无锡市梁溪区2025-2026学年九年级上学期数学期末卷

2025－2026学年第一学期期末试卷 九年级数学 考试时间：120分钟 满分分值：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. sin45°的值等于（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知的半径为，若，则点A与的位置关系是（     ） A. 点A在外 B. 点A在上 C. 点A在内 D. 不能确定 3. 与的相似比为，则与的周长比为（ ） A B. C. D. 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为过点，且平行于轴直线 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是 5. 下列语句中，正确的是（ ） A. 圆的对称轴是直径 B. 等弧所对的圆心角相等 C. 平分弦的直径垂直于这条弦 D. 圆的内接正五边形的边长等于圆的半径 6. 如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 小明问这样一个问题：“有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．”在深度思考后，给出的正确答案是（ ） A. 1 B. C. D. 1或 8. 如图，菱形中，，点、分别在、上，，，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. 9 D. 10 9. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 10. 如图，抛物线经过，对称轴为过点且平行于轴的直线．有如下结论；①；②；③对于任意正数，总有；④对于的每一个确定的值，若一元二次方程（为常数，且）的根为整数，则满足条件的的值有且只有三个．其中正确的结论是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．其中第18题第一空1分，第二空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11 已知，则______． 12. 一圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为________． 13. 若关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是___________． 14. 在“书香菁园”读书活动中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为（黄金比）．已知这本书的长为，则它的宽为______ ． 15. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，则这四名同学中成绩最稳定的是_________． 16. 已知中，，则______． 17. 锐角中，，则面积的取值范围是______（用含的代数式表示）． 18. 已知矩形，，，为延长线上的一点，连接， （1）若时，的值为______； （2）当在延长线上运动时，的最小值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程： （1） （2） 21. 如图，，与交于点E，且，，． （1）求的长． （2）求证：． 22. 在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出如下两幅统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中，初赛成绩为1.65m所在扇形图形的圆心角为_ _°； （2）补全条形统计图； （3）这组初赛成绩的中位数是 m； （4）根据这组初赛成绩确定8人进入复赛，那么初赛成绩为1.60m的运动员杨强能否进入复赛？为什么？ 23. 实验是学习化学的重要手段，为了加强学生实践操作能力，在学习完相关章节的知识后，化学老师安排了4个制取气体的实验．老师在一个不透明的箱子里放有4张相同的纸条，有2张纸条写着制取实验，1张纸条写着制取实验，1张纸条写着制取实验．要求每位同学随机抽取一张纸条，看清实验要求后放回箱子，摇匀后下一个同学再抽取． （1）求小华抽到的实验所制取的气体能使澄清的石灰水变浑浊的概率； （2）请用列表或画树状图的方法求小华和小红抽到的实验所制取的气体都能使带火星的木条复燃的概率． 24. 无锡南长街某文创店售卖的惠山泥人摆件，平均每天可销售30件，每件盈利60元．为迎接无锡梅花节，吸引更多游客，该店决定降价促销．经调研发现，每件泥人摆件每降价2元，平均每天可多售出3件．设每件泥人摆件降价元（，且为偶数） （1）降价促销后，该店每件泥人摆件盈利______元，平均每天的日销售量增加______件：（用含的代数式表示） （2）该店想要实现泥人摆件日盈利额达到2250元，且让顾客获得实惠，则每件泥人摆件应降价多少元？ （3）根据实际情况，该店每天制作的泥人摆件不超过57个，泥人摆件日盈利额的最大值是多少元？ 25. 某丝绸布料厂里有许多剩余的三角形边角料，找出一块，测得（如图），现要从这块三角形上剪出一个半圆，做成文创小挂件，要求：使半圆与三角形的两边、相切，切点分别为、，且与交于点． （1）在图中设计出符合要求的方案示意图．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）中，，，连接，求出的长度． 26. 已知四边形内接于，对角线是的直径． （1）如图1，连接，若，求证：平分； （2）如图2，为内一点，满足．若，求弦的长． 27. 为测量水平操场上旗杆的高度，九年级各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为______m； （2）如图2，小红站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小红的眼睛距地面高度，小红到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小俊所在的学习小组，打算采用图3的方法测量惠山古镇映月里广场阿炳雕像的高度．他们带有总长的皮尺与长度为的标杆，但他们到实地发现雕像前面有一喷泉池，他们所带的皮尺测不出喷泉池的宽度．他们设计以下测量方案：如下图，标杆竖直放在处，眼睛与地面距离恰好为的同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得；标杆竖直放在处，该同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得．已知点、、、、在一条直线上，，请你根据学习小组测量出的数据，计算阿炳像的高度． 28. 在平面直角坐标系中，一次函数图象分别与轴，轴交于点、，点是线段上一点，与不重合．二次函数（是常数，且）的图象经过点，顶点是，将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，、分别是、的对应点，且点落在轴正半轴上，点的纵坐标为． （1）______； （2）①求点的坐标； ②求原抛物线函数表达式； （3）已知新抛物线与轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足任意实数总成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末试卷 九年级数学 考试时间：120分钟 满分分值：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. sin45°的值等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】sin45°=． 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，容易题.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值. 2. 已知的半径为，若，则点A与的位置关系是（     ） A. 点A在外 B. 点A在上 C. 点A在内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系． 若⊙O的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在⊙O上；当时，点P在⊙O内；当时，点P在⊙O外．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴点A在外 故选：A 3. 与的相似比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长比等于相似比”是解题关键． 直接利用“相似三角形的周长比等于相似比”即可得出答案． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴与的周长比为． 故选：D． 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为过点，且平行于轴的直线 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线． 根据二次函数顶点式的性质分析各选项即可． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，无最小值， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，函数的最大值为， ∴A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 5. 下列语句中，正确的是（ ） A. 圆的对称轴是直径 B. 等弧所对的圆心角相等 C. 平分弦的直径垂直于这条弦 D. 圆的内接正五边形的边长等于圆的半径 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的认识，垂径定理和圆内接正多边形．根据弧与圆心角的关系，垂径定理和圆的对称轴求解判断即可． 【详解】解：A、圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段而非直线，该选项不符合题意； B、等弧是能够完全重合的弧，在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，该选项符合题意； C、平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，若弦为直径，平分它的直径不一定垂直于该弦，该选项不符合题意； D、圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，正五边形的边长不等于圆的半径，该选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质．根据平行线的性质，可得，根据圆内接四边形的性质，可得，由此可解． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：B． 7. 小明问这样一个问题：“有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．”在深度思考后，给出的正确答案是（ ） A. 1 B. C. D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，可通过设未知数，根据题目描述的运算关系列出一元二次方程，再利用因式分解法求解方程得到答案． 【详解】解：设这个数为 ∵根据题意，该数的平方减去该数加1的结果等于这个数， ∴列方程得：， 移项整理得：， 因式分解得：， 解得：， ∴符合条件的数是1， 故选：A． 8. 如图，菱形中，，点、分别在、上，，，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的判定及性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，连接证明是解题的关键． 先证是等边三角形．设，则，．再证，进而证明，根据对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：如图，连接， 菱形中，， ，，， ， 是等边三角形． 设， ，， ，． ，， ， 又， ， ，即， 解得或， 当时，，不合题意，舍去， ， 即菱形的边长为9， 故选：C． 9. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键． 连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值． 【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故选：D． 10. 如图，抛物线经过，对称轴为过点且平行于轴的直线．有如下结论；①；②；③对于任意正数，总有；④对于的每一个确定的值，若一元二次方程（为常数，且）的根为整数，则满足条件的的值有且只有三个．其中正确的结论是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系等．根据开口方向，与y轴的交点位置，对称轴位置，可得 ，，，可判断①；根据时，，可判断②；根据时，y取最大值，最大值为，可判断③；根据抛物线与x轴的交点为，，推出当时，，可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下，与y轴的交点位于y轴的正半轴， ，， 对称轴为过点且平行于轴的直线， ， ， ，故①正确； 抛物线经过，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 时，， ，故②错误； 由图可知，当时，y取最大值，最大值， ， ， ，故③正确； 抛物线与x轴的交点为，， 当时，， 交点的横坐标为整数的情况有，2或，1或，0，或，共4种情况， 满足条件的的值有且只有4个．故④错误； 综合可知，正确的有①③， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．其中第18题第一空1分，第二空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值． 将所求分式拆分为两个分式之和，利用已知条件代入计算． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 一圆锥母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形．利用计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故答案是：． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，由此列出方程求解． 【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴判别式 ， 解得 ， 故答案为：． 14. 在“书香菁园”读书活动中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为（黄金比）．已知这本书的长为，则它的宽为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金比． 根据宽与长的黄金比关系，直接利用比值公式计算宽即可 【详解】解：设宽为， 由题意得， 解得， 故答案为：． 15. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，则这四名同学中成绩最稳定的是_________． 【答案】丁 【解析】 【分析】本题主要考查方差的意义，熟练掌握方差的意义是解题关键． 根据方差的意义，即“方差越小，数据波动越小”即可求解． 【详解】解：∵，，，， 丁的方差最小， 成绩最稳定的是丁， 故答案为：丁． 16. 已知中，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，含角的直角三角形． 过A点作于D点，则，是含角的直角三角形，根据的性质作答即可． 【详解】解：如图，作出，过A点作于D点， 在直角三角形中，，， ∴， 在直角三角形中，， ∴． 故答案为：4． 17. 锐角中，，则面积的取值范围是______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据题意进行分类讨论，若，若，分别求出三角形面积，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：若， ∵， ， ， 若， ∵， ，， ， 是锐角三角形， 面积的取值范围是． 故答案为：． 18. 已知矩形，，，为延长线上的一点，连接， （1）若时，的值为______； （2）当在延长线上运动时，的最小值为______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、相似三角形的性质及判定、图形的旋转： （1）为等腰直角三角形，根据勾股定理分别求得，的长度即可； （2）如图所示，以点为旋转中心，将顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，取线段的中点为点，在线段上取一点，使，证明，求得，然后分别求得，，结合，即可求得答案． 【详解】解：（1）根据题意可知，为等腰直角三角形． ∴． ∴，． ∴． ∴． （2）如图所示，以点为旋转中心，将顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，取线段的中点为点，在线段上取一点，使． 根据题意可知，，，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又，， ∴． ∵线段的中点为点，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． ∴最小值为． 故答案为：； 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值的混合运算，二次根式的运算． （1）先计算零指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【小问1详解】 解：      ； 【小问2详解】 解：       ． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）由因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： ∴， 21. 如图，，与交于点E，且，，． （1）求的长． （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据题目灵活选取相似三角形的判定方法． （1）由可得，由相似三角形的性质即可求得结果； （2）证明，再根据，即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 22. 在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出如下两幅统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中，初赛成绩为1.65m所在扇形图形的圆心角为_ _°； （2）补全条形统计图； （3）这组初赛成绩的中位数是 m； （4）根据这组初赛成绩确定8人进入复赛，那么初赛成绩为1.60m的运动员杨强能否进入复赛？为什么？ 【答案】（1）54°；（2）补全图形见解析；（3）1.60；（4）不一定，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）用整体1减去其它所占的百分比，即可求出a的值；用360°乘以初赛成绩为1.65m所占的百分比即可； （2）根据跳1.50m的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以跳170m的人数所占的百分比，求出跳170m的人数，从而补全统计图； （3）根据众数和中位数的定义分别进行解答即可； （4）根据高于1.60m的人数以及成绩为1.60m的人数进行判断即可得． 【详解】（1）根据题意得：1-20%-10%-25%-30%=15%；则a的值是15； 初赛成绩为1.65m所在扇形图形的圆心角为：360°×15%=54°； （2）跳1.70m的人数是： ×20%=4（人）， 补图如下： （3）将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是1.60m， 则这组数据的中位数是1.60m． （4）不一定能进入复赛．因为高于1.60m的有7人，确定8人进入复赛，还有一名需要在1.60m的选手中选择，而初赛成绩为1.6m的有6人，因此初赛成绩为1.60m的运动员杨强能不一定能进入复赛好． 23. 实验是学习化学的重要手段，为了加强学生实践操作能力，在学习完相关章节的知识后，化学老师安排了4个制取气体的实验．老师在一个不透明的箱子里放有4张相同的纸条，有2张纸条写着制取实验，1张纸条写着制取实验，1张纸条写着制取实验．要求每位同学随机抽取一张纸条，看清实验要求后放回箱子，摇匀后下一个同学再抽取． （1）求小华抽到的实验所制取的气体能使澄清的石灰水变浑浊的概率； （2）请用列表或画树状图的方法求小华和小红抽到的实验所制取的气体都能使带火星的木条复燃的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求概率． （1）先明确符合“制取的气体能使澄清石灰水变浑浊”的纸条数量与总纸条数量，再利用概率公式计算即可； （2）列出表格，进而根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：已知箱子里共有4张相同的纸条，其中能使澄清石灰水变浑浊的气体为，对应的纸条仅有1张， 可知小华抽到的实验所制取的气体能使澄清石灰水变浑浊的概率为； 【小问2详解】 解：将2张写着制取实验的纸条分别记为、，写着制取实验的纸条记为，写着制取实验的纸条记为，列表如下： (，) (，) (，) (，) (，) (，) (，) (，) (，) (，) (，) (，) (，) (，) (，) (，) 由表格可知，所有等可能的结果共有16种，其中小华和小红抽到的实验所制取的气体都能使带火星的木条复燃（即两人都抽到制取的实验）的结果有4种， ∴概率为． 24. 无锡南长街某文创店售卖的惠山泥人摆件，平均每天可销售30件，每件盈利60元．为迎接无锡梅花节，吸引更多游客，该店决定降价促销．经调研发现，每件泥人摆件每降价2元，平均每天可多售出3件．设每件泥人摆件降价元（，且为偶数） （1）降价促销后，该店每件泥人摆件盈利______元，平均每天的日销售量增加______件：（用含的代数式表示） （2）该店想要实现泥人摆件日盈利额达到2250元，且让顾客获得实惠，则每件泥人摆件应降价多少元？ （3）根据实际情况，该店每天制作的泥人摆件不超过57个，泥人摆件日盈利额的最大值是多少元？ 【答案】（1）， （2）30元 （3）2394元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据每件盈利的初始值与降价金额的关系，以及降价金额和销售量增加量的比例关系，直接列出代数式即可； （2）依据日盈利额=每件盈利×日销售量的等量关系列一元二次方程求解，结合让顾客获得实惠的条件选取合适的解即可； （3）先求出日盈利额关于降价金额的二次函数，再根据日销售量的限制条件确定自变量的取值范围，结合二次函数的增减性求出最大值即可． 【小问1详解】 解：每件泥人摆件原盈利60元，降价x元后，每件盈利为元． 每件降价2元时，日销售量增加3件，因此降价x元时，日销售量增加件． 故答案为：，； 【小问2详解】 解： 根据题意，列方程得． 方程两边同乘2消去分母得 ． 整理得 ． 解得，． ∵要让顾客获得实惠 ∴，且30为偶数，符合的条件． 答：每件泥人摆件应降价30元； 【小问3详解】 解： 设日盈利额为y元． 根据题意得 （，且为偶数）． ∵每天制作的泥人摆件不超过57个， ∴． 解得：． ∵且x为偶数， ∴，且x为偶数． ∵二次函数中，  ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∵在范围内，y随x的增大而增大 ∴当时，y取得最大值． 将代入函数式得 ． 答：泥人摆件日盈利额的最大值是2394元． 25. 某丝绸布料厂里有许多剩余的三角形边角料，找出一块，测得（如图），现要从这块三角形上剪出一个半圆，做成文创小挂件，要求：使半圆与三角形的两边、相切，切点分别为、，且与交于点． （1）在图中设计出符合要求的方案示意图．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）中，，，连接，求出的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆的切线，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质： （1）作的平分线，角平分线与的交点即为点，以点为圆心，以长为半径作圆弧，圆弧与的交点即为点，圆弧与的另一个交点即为点． （2）如图所示，连接，根据题意可知，，，证明，可求得，证明，求得． 【小问1详解】 如图所示，即为所求． 【小问2详解】 如图所示，连接，根据题意可知，，． 在和中 ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 26. 已知四边形内接于，对角线是的直径． （1）如图1，连接，若，求证：平分； （2）如图2，为内一点，满足．若，求弦的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的综合题，圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数，平行四边形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）由垂径定理的推论证出，则可得出结论； （2）延长交于M，延长交于N，证明四边形是平行四边形，则，再由正切的定义求解即可． 【小问1详解】 证明：， ∴， ， 即平分； 【小问2详解】 解：延长交于M，延长交于N， ∵，， ， ∵是的直径， ， ，， ∴，， 四边形是平行四边形， ， ∵ ∴ ∴． 27. 为测量水平操场上旗杆的高度，九年级各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为______m； （2）如图2，小红站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小红的眼睛距地面高度，小红到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小俊所在的学习小组，打算采用图3的方法测量惠山古镇映月里广场阿炳雕像的高度．他们带有总长的皮尺与长度为的标杆，但他们到实地发现雕像前面有一喷泉池，他们所带的皮尺测不出喷泉池的宽度．他们设计以下测量方案：如下图，标杆竖直放在处，眼睛与地面距离恰好为的同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得；标杆竖直放在处，该同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得．已知点、、、、在一条直线上，，请你根据学习小组测量出的数据，计算阿炳像的高度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，投影，矩形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由投影可得，进而证明，根据对应边成比例即可求解； （2）由题意得，进而证明，根据对应边成比例即可求解； （3）直线与，，分别交于点R，T，W，可得矩形，，，，由此求出相关线段长度，证明，，根据对应边成比例即可求解． 【小问1详解】 解：为的影子，为的影子， ， ， 又， ， ， ， 即旗杆的高度为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图2， 由题意知，， ， ，即， ， 即旗杆的高度为； 【小问3详解】 解：如图，直线与，，分别交于点R，T，W， 由题意得，四边形，，，均为矩形， ，，，，， ， 设，， ，， ， ，即， 解得， 同理可证， ，即， ， 解得， ， 即阿炳像的高度为． 28. 在平面直角坐标系中，一次函数图象分别与轴，轴交于点、，点是线段上一点，与不重合．二次函数（是常数，且）的图象经过点，顶点是，将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，、分别是、的对应点，且点落在轴正半轴上，点的纵坐标为． （1）______； （2）①求点的坐标； ②求原抛物线的函数表达式； （3）已知新抛物线与轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足任意实数总成立，求实数取值范围． 【答案】（1） （2）①；② （3）的取值范围为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数有关的性质、平移的性质、不等式组及一元二次方程的解法： （1）将代入求得的值，从而可得的长； （2）①过点作轴于点，由平移的性质可得，原抛物线中两点的纵坐标的差与新抛物线中两点的纵坐标的差相等，据此可求得点的坐标；②根据点坐标可求抛物线表达式； （3）根据平移的性质及点G的坐标可求出新抛物线的函数表达式，进而求得点D的坐标，最后根据二次函数的对称性、增减性及分类讨论思想即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：对于一次函数，令，得： ， ， ； 故答案： 【小问2详解】 解：①如图，过点作轴于点， 点落在轴正半轴上，点的纵坐标为， ， ∵将原二次函数的图像平移后得到新抛物线，，分别是的对应点， ， 即， ， ， 将代入， 得， ∴点的坐标为． ②二次函数的图象顶点是， 设原抛物线的函数表达式为， ∵原抛物线过点， ， 解得：， ∴原抛物线的函数表达式为． 【小问3详解】 解：∵点的坐标为，点的纵坐标为， ∴原抛物线向下平移个单位， ∴可设平移后新抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴平移后新抛物线的函数表达式为， 令，则， 点， ①当点E在点D的左边时，点D关于直线的对称点为， ， ∴， ， ， 解得：， ②当点在点的右边时，此时恒成立， 即， ， ， 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $