第十八讲：二元一次方程组的概念（寒假预习衔接讲义）（知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学下册人教版

【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第十八讲：二元一次方程组的概念 （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：认识二元一次方程(组) 一个方程中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程． 一个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组． 二元一次方程与二元一次方程组： 特点：①有两个未知数；②含有未知数的式子都是整式；③含有未知数的项的次数都是1. 知识点02：二元一次方程(组)的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解． 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解． 知识点03：知识结构 考点1：二元一次方程的定义 【典型例题】 下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 根据定义依次判断即可． 【详解】解：A、方程中含有分式，不是整式方程，故此选项错误；   B、方程中含有3个未知数，不符合题意，故此选项错误；   C、含有2个未知数，整理后含未知数的次数的项的最高次数是2，不符合题意，故此选项错误；   D、符合二元一次方程定义，故此选项正确． 故选D． 【变式训练1】 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程是指只含两个未知数，且含未知数的项的次数是1的整式方程，据此逐一判断即可得答案． 【详解】解：A、 含有3个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； B、项的次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； C、是分式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； D、符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故该选项符合题意． 故选：D． 考点2：二元一次方程的解 【典型例题】 下列每对数值中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解，关键是理解二元一次方程的解的概念． 二元一次方程的解有无数个，将选项分别代入方程，使方程左右相等的解才是方程的解． 【详解】解：A．把代入方程得， ∴不是方程的解，不符合题意； B．把代入方程得 ∴不是方程的解，不符合题意； C．把代入方程得 ∴是方程的解，符合题意； D．把代入方程得 ∴不是方程的解，不符合题意； 故选C． 【变式训练1】 二元一次方程在正整数范围内的解有（    ）组． A．3 B．4 C．5 D．无数 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解．由二元一次方程的特点逐一写出方程的正整数解从而可得答案． 【详解】解：∵，为正整数，， ∴或或或或， ∴正整数范围内的解有5个． 故选：C． 考点3：判断是否是二元一次方程组 【典型例题】 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：方程组需含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知项的最高次数为，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可. 【详解】解：A选项：方程组中含有三个未知数， 不是二元一次方程组， 故A选项不符合题意； B选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是， 不是二元一次方程组， 故B选项不符合题意； C选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是， 不是二元一次方程组， 故C选项不符合题意； D选项：方程组中含有两个未知数，未知项的最高次数是， 是二元一次方程组， 故D选项符合题意． 故选：D． 【变式训练1】 下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数都应是一次的整式方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：①方程组中的方程不是整式方程，故方程组不是二元一次方程组； ②方程组中的方程不是一次方程，故方程组不是二元一次方程组； ③方程组中含有三个未知数，故方程组不是二元一次方程组； ④方程组是二元一次方程组； ⑥方程组是二元一次方程组； ⑦方程组是二元一次方程组； ∴二元一次方程组有④⑤⑥，共3个， 故选：C． 考点4：二元一次方程组的解 【典型例题】 下列哪组的值是方程组的解？ ①        ②        ③        ④ 【答案】③ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键；通过分别验证每组解代入二元一次方程组中，看方程组是否成立即可． 【详解】解：①把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解； ②把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解； ③把代入方程组得： ，， ∴是方程组的解； ④把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解． 【变式训练1】 已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可． 【详解】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； 故选：B． 考点5：利用二元一次方程的解求参数 【典型例题】 方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（　　） A．4，1 B．5，1 C．3， D．5，2 【答案】B 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意把代入②中，得到，把，代入①中，计算即可． 【详解】解： ， 把代入②中，得， 解得， 把，代入①中，得， ∴被遮盖的两个数分别为5，1． 故选：B． 【变式训练1】 已知是关于的二元一次方程组的一组解，则的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将代入方程组求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程组的一组解， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 一、单选题 1．下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程． 根据二元一次方程的定义进行判断． 【详解】解：A、该方程含有个未知数，故本选项不合题意； B、该方程中含有1个未知数，并且含有未知数最高次数是，故本选项不合题意； C、该方程分母含未知数，不是整式方程，故本选项不合题意； D、该方程中含有个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，属于二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握方程含有2个未知数，且每个未知数的系数不等于0且次数等于1是解题的关键． 根据二元一次方程的定义得到关于m、n的方程组求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴，解得：． 故选D． 3．在①，②，③，④中，解是的有（    ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解．将代入各方程组，验证是否每个方程均成立，即可得出答案． 【详解】解：① 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； ② 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ③ 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ④ 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； 综上可知，解是的有①和④， 故选：C． 4．若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程得到关于a的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得：， 故选：B． 5．若二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解．理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键；已知方程组的解满足两个方程，先利用第一个方程求出未知数a的值，再将方程组的解代入各选项验证是否成立即可得解． 【详解】解：因为二元一次方程组的解是， 所以， 解得， 所以方程组的解为， 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 6．若关于的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据二元一次方程的定义求参数的值，根据二元一次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 7．方程组的解为，则被■盖住的数分别是（   ） A．1， B．3，1 C．2，3 D． ，4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是理解二元一次方程组的解的意义，代入法求解． 把代入先求出y，再代入求出■即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴代入, 得， 解得， 把代入， 得， ∴被■盖住的数分别是1，． 故选：A． 8．已知二元一次方程的一个解是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 先将代入得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵二元一次方程的一个解是， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 9．如果是方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 直接将代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．若是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题关键是整理方程后，保证含项的系数不为． 要使方程是关于，的二元一次方程，需先整理方程，保证，的系数不为，且方程含两个未知数． 【详解】解：将原方程移项得，合并同类项得， ∵这是关于，的二元一次方程， ∴的系数，即. 故答案为：. 11．已知关于x，y的二元一次方程组的解为则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，正确进行计算是解题关键． 将方程组的解代入原方程组，得到关于和的方程，解出和的值，再计算的值即可． 【详解】解：将代入二元一次方程组，得 由方程②得：，解得 将代入方程①得：，解得 ∴解得： ∴． 故答案为：7． 12．在①②③中， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程组的解．（填序号） 【答案】 ①③ ②③ ③ 【分析】本题考查二元一次方程组解的概念，明确二元一次方程组的解是同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值是解题的关键． 根据定义，分别把三组方程的解代入二元一次方程验证判定即可． 【详解】解：将代入方程成立，②代入得，方程不成立， 将代入方程成立，①代入，方程不成立， 将①②③分别代入，只有③能够使得方程组的等式成立． 故答案为：①③；②③；③． 13．已知二元一次方程．当时， ；当时， ． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键；将给定值代入方程，求解另一个未知数即可． 【详解】解：当时，代入方程，得：，解得：； 当时，代入方程，得：，解得：； 故答案为1；2． 14．已知下列方程： ①；②；③；④；⑤．其中， 是二元一次方程．（填序号） 【答案】②⑤ 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程）逐一判断各方程即可得到答案． 【详解】解：①中，项的次数为2，不符合定义； ②是整式方程，含有两个未知数，且未知数的次数均为1，符合定义； ③不是整式方程，不是二元一次方程； ④中项的次数为2，不符合定义； ⑤整理后为，是整式方程，且含有未知数的项的次数均为1，符合定义． 故答案为：②⑤． 15．若关于，的二元一次方程有一个解是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，灵活运用方程的解的定义是解题的关键．根据二元一次方程解的定义，将解代入方程，进而求出字母的值． 【详解】把，代入方程， 得， 即， 移项得， 即， 两边同除以， 得． 故答案为：． 16．若方程是关于，的二元一次方程，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的定义，准确把握“含有两个未知数，且未知数的次数都为”这一核心条件是解题的关键．根据二元一次方程的定义，分别对未知数，的次数建立等式和，进而求出和的值． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， ，， 解得：，， 故答案为：，． 17．小亮在解方程组时，发现解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，其中★ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的未知数的值叫二元一次方程组的解． 将已知代入方程中，即可求解y的值． 【详解】解：把代入得：， 解得 故， 故答案为：． 18．在平面直角坐标系中，若第一象限的点满足，且均为整数，则满足条件的点有 个． 【答案】2 【分析】解方程，求得整数解或，即为第一象限的点． 【详解】解：将方程变形得： 在第一象限，且均为整数. 为偶数，为偶数. 为奇数. 当时， 即 当时, ，即 即满足条件的点有2个. 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，以及坐标与象限，解决问题的关键是熟练掌握二元一次方程的解． 三、解答题 19．已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 【答案】不是，见解析 【分析】将和代入二元一次方程，得到的方程组，求得的值，再检验即可． 【详解】解：不是．理由如下： 将和分别代入方程，得 由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得， 所以原二元一次方程为． 将代入，得， 所以不是方程的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，只要满足方程的左右两边相等，即可知是原方程的解． 20．若是方程的一个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解、代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．将代入方程得到，代入即可求解． 【详解】解：因为是方程的一个解， 所以， 所以． 21．若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】14 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入，得出关于a和b的二元一次方程组，求解得出a，b的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：把代入得： 解得： ∴ 22．有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 【答案】小恒的解答过程是错误的，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先明确二元一次方程组解的定义，在指出小恒的错误，最后将给定的解带入方程组的两个方程进行检验. 【详解】解：小恒的解答过程是错误的． 理由如下： 将代入方程中， 左边=，右边， 左边=右边； 将代入方程中， 左边=，右边=5. 左边≠右边； 不是方程组的解． 23．若关于x，y的二元一次方程（k为常数）． (1)当，时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解的意义是解题的关键． （1）把、的值代入即可求出的值； （2）先把方程整理为，再根据题意得出，即可求出的值，继而求出的值，从而得到方程的固定解． 【详解】（1）解：当，时，， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， 不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解， ， ， ， ， 二元一次方程的固定的解是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第十八讲：二元一次方程组的概念 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：认识二元一次方程(组) 一个方程中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程． 一个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组． 二元一次方程与二元一次方程组： 特点：①有两个未知数；②含有未知数的式子都是整式；③含有未知数的项的次数都是1. 知识点02：二元一次方程(组)的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解． 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解． 知识点03：知识结构 考点1：二元一次方程的定义 【典型例题】 下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 A． B． C． D． 考点2：二元一次方程的解 【典型例题】 下列每对数值中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 二元一次方程在正整数范围内的解有（    ）组． A．3 B．4 C．5 D．无数 考点3：判断是否是二元一次方程组 【典型例题】 A． B． C． D． 【变式训练1】 下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点4：二元一次方程组的解 【典型例题】 下列哪组的值是方程组的解？ ①        ②        ③        ④ 【变式训练1】 已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 考点5：利用二元一次方程的解求参数 【典型例题】 方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（　　） A．4，1 B．5，1 C．3， D．5，2 【变式训练1】 已知是关于的二元一次方程组的一组解，则的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 一、单选题 1．下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 3．在①，②，③，④中，解是的有（    ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 4．若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 5．若二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 6．若关于的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 7．方程组的解为，则被■盖住的数分别是（   ） A．1， B．3，1 C．2，3 D． ，4 8．已知二元一次方程的一个解是，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如果是方程的一个解，则 ． 10．若是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是 ． 11．已知关于x，y的二元一次方程组的解为则的值是 ． 12．在①②③中， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程组的解．（填序号） 13．已知二元一次方程．当时， ；当时， ． 14．已知下列方程： ①；②；③；④；⑤．其中， 是二元一次方程．（填序号） 15．若关于，的二元一次方程有一个解是，则 ． 16．若方程是关于，的二元一次方程，则 ， ． 17．小亮在解方程组时，发现解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，其中★ ． 18．在平面直角坐标系中，若第一象限的点满足，且均为整数，则满足条件的点有 个． 三、解答题 19．已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 20． 若是方程的一个解，求的值． 21．若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 22．有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 23．若关于x，y的二元一次方程（k为常数）． (1)当，时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解． 学科网（北京）股份有限公司 $