专题12菱形寒假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题12菱形寒假预习讲义 · 理解菱形定义，知道它是特殊平行四边形 · 记住菱形3 大特性：四边相等、对角线垂直、平分对角 · 掌握3 种菱形判定方法 · 会用对角线乘积一半求面积 · 分清菱形与矩形、平行四边形的区别 预习必备 知识点梳理 1.菱形的定义 2.菱形的性质 3.菱形的判定 4.菱形的面积公式 5.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.利用菱形性质求解 2.利用菱形性质求线段长 3.利用菱形性质求面积 4.利用菱形性质证明 5.添条件使四边形为菱形 6.证明四边形是菱形 7.用菱形的性质与判定求角度 8.用菱形的性质与判定求线段长 9.用菱形的性质与判定求面积 强化题型 (解答题6题) 【知识点01.菱形的定义】 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 条件：平行四边形 + 一组邻边相等 菱形一定是平行四边形，平行四边形不一定是菱形。 【知识点02.菱形的性质】 菱形具有平行四边形所有性质，还有自身特殊性质： 1. 边的性质 对边平行 四条边都相等（菱形特有） 2. 角的性质 对角相等 邻角互补（与普通平行四边形一样，没有直角） 3. 对角线的性质（重点） 互相平分（平行四边形共性） 互相垂直（菱形特有） 每一条对角线平分一组对角（菱形特有） 4. 对称性 中心对称图形 轴对称图形，有 2 条对称轴（两条对角线所在直线） 【知识点03.菱形的判定】 1. 定义判定 一组邻边相等的平行四边形是菱形 2. 对角线判定 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 注意：必须先是平行四边形，再垂直。 3. 边判定 四条边都相等的四边形是菱形 不需要先证平行四边形，直接判定。 【知识点04.菱形的面积公式】 1.底 × 高（和平行四边形一样） 2.对角线乘积的一半（菱形专用）S×d1×d2​ d1.d2 为两条对角线长。 【知识点05.易错点总结】 1.对角线相等 ➜ 是矩形特征，不是菱形 2.对角线垂直 ➜ 是菱形特征 3.对角线垂直且相等 ➜ 是正方形 4.只说 “对角线垂直的四边形”不能判定菱形 【题型利用菱形性质求角度】 【典例】如图，在菱形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形性质求角度，涉及菱形邻角互补、菱形对角线平分对角等知识，先由菱形邻角互补求出，再由菱形对角线平分对角求解即可得到答案．熟记菱形性质是解决问题的关键． 【详解】解：在菱形中，，则， 是菱形一条对角线， 平分，则， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，这是汽车常备的一种千斤顶的示意图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】根据菱形的性质，解答即可． 本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，所以在菱形中，，即，在中，因为，三角形内角和为，所以，因为菱形的对边平行，即，根据两直线平行，内错角相等，所以． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，即，， 在中，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【题型2.利用菱形性质求线段长】 【典例】已知一菱形的边长为4，则其周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的四边相等，即可得出结果． 【详解】解：菱形的周长为． 故答案为：16． 【跟踪专练1】某中学的剪纸社团想剪出菱形图片作为教学用具，小花同学剪的菱形的两条对角线分别为和，则这个菱形的边长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直平分，边长可通过勾股定理计算． 【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴对角线的一半分别为和． ∴边长 ． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则 【答案】4.8 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，根据菱形的性质和勾股定理得出，进而利用菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型3.利用菱形性质求面积】 【典例】如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查菱形面积的计算，已知对角线长度，由菱形面积等于对角线乘积的一半做计算即可． 【详解】解：，， ． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，先根据点A和点B的坐标得到，再由菱形的性质得到，据此利用菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵，两点的坐标分别是，， ∴， ∵四边形是菱形，且点C，D在坐标轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质是关键．根据菱形的性质得到，由矩形的性质得到，，，设，则在中，则利用勾股定理求出，即．得到，根据菱形的面积求出答案即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， 设，则在中， ∴ ∵， 即， ∴， 即． ∴， ∴菱形的面积为， 故选：C 【题型4.利用菱形性质证明】 【典例】菱形的性质． ①边：菱形的四条边 ．菱形的两组对边都互相平行． ②角：菱形的对角 ，菱形的邻角互补． ③对角线：菱形的对角线相互 ．且每一条对角线平分一组对角． ④对称性：菱形是既是 对称图形又是 对称图形． 【答案】 相等 相等 垂直平分 中心 轴 【解析】略 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质，掌握“菱形的对角线互相垂直平分但不一定相等”是解题的关键．根据菱形的性质依次判断即可． 【详解】A．∵菱形的对角线互相垂直，又∵四边形是菱形，对角线与交于点，∴，该选项正确； B．∵菱形的四条边相等，又∵四边形是菱形，、是菱形的邻边，∴，该选项正确； C．∵菱形的对角线仅满足互相垂直且平分，不一定相等，又∵题目中仅说明四边形是菱形，未说明是正方形，∴无法推出，该选项错误； D．∵菱形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，又∵四边形是菱形，对角线与交于点，∴是的中点，即，该选项正确． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，点 、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点，则下列结论： ；；；； 其中正确的结论是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质和面积，等边三角形的判定和性质；根据菱形的性质，利用证明即可判断①；根据得到，再利用外角的性质以及菱形内角度数即可判断②；通过说明，判断不成立，可判断③；再利用菱形边长即可求出菱形面积，可判断④ 【详解】解：在菱形中，， 为等边三角形， ， 又， ，故①正确； ， ， ∴，故②正确； ， 则在和中， ， ，即， 不成立，故③错误； ，过点作，垂足为， ，， 菱形的面积为：，故④错误； 故正确的结论有①②， 故答案为：①②． 【题型5.添条件使四边形为菱形】 【典例】在中，添加下列条件，能判定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，再添加，不能判定是菱形；选项A不符合题意； 添加，则是矩形，不能判定是菱形；选项B不符合题意； 添加，能判定是菱形；选项C符合题意； 添加，不能判定是菱形；选项B不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形为菱形． 【答案】(或，答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使平行四边形为菱形，根据菱形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：； 根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：； 故答案为：(或，答案不唯一）． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故选项不符合题意； B、过作于，于，如图所示： ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积的面积， 又∵的面积，的面积， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故选项不符合题意； C、∵平行四边形中，， ∴平行四边形是菱形，故选项不符合题意； D、∵平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形，故选项符合题意； 故选：D． 【题型6.证明四边形是菱形】 【典例】如图，四边形的对角线互相垂直，且满足，要使四边形为菱形，可添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：添加的一个条件是，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键；根据矩形和菱形的判定逐项判断即可． 【详解】解：、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是菱形， 故本选项符合题意； 、， 是直角三角形， ， 四边形是平行四边形， 是矩形， 故本选项不符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，过对角线上任意一点，作，，下列结论：①图中共有个菱形；② ；③四边形的面积等于的面积的一半；④四边形的周长等于四边形的周长．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定，掌握菱形的判定与性质是解题的关键．根据，，可得四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线平分，可得，由此可推出，再结合菱形的判定可知平行四边形即为菱形，进而判断①说法错误； 根据菱形的性质，可得、上一些对应条件，则可得出两三角形是否全等，判断②说法正确； 根据只有当为中点，为中点时，比较四边形的面积与的面积的关系，进而得到③说法错误； 根据菱形性质可得，，据此判断④说法正确，从而完成解答． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 同理可得四边形是菱形， 即有3个菱形，菱形、菱形、菱形， ①说法错误； 四边形是菱形， ， 在和中，， ， ②说法正确； 只有当为中点，为中点时，四边形的面积等于的面积的一半， ③说法错误； 易证四边形、四边形是菱形，四边形、四边形是平行四边形， ， ， 同理， 四边形的周长=四边形的周长， ④说法正确； 故答案为：②④． 【题型7.用菱形下性质与判定求角度】 【典例】把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为 ； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为 ． 【答案】 /度 或 【分析】本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案． 翻折变换的性质及正方形的判定进行可得四边形是是菱形，据此分析从而得到最后答案． 【详解】解：（1）一张矩形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形． （2）有一个内角为的菱形，出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 故，a的值等于， 或是， 故答案为：（1）；（2）或. 【跟踪专练1】如图，以点为圆心，适当的长为半径圆弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握菱形的判定． 先由作图得到，再由菱形的判定与性质求解即可． 【详解】解：依题得：， 四边形是菱形， ． 故选：． 【跟踪专练2】在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长、交于H，连接，求证平行四边形为菱形，得出，为全等的等边三角形，证明，即可得出答案． 【详解】解：延长、交于H，连接，   ，， 四边形为平行四边形， ，平分， ，，， 为等腰三角形， ， 平行四边形为菱形， ，且均为等边三角形， ，， ， ， 为等腰三角形， 又四边形为平行四边形， ，，， ， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型8.用菱形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，已知四边形的对角线、互相垂直且互相平分，，则四边形的周长为 ． 【答案】24 【分析】根据四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分，可得四边形ABCD是菱形，根据四边相等可求． 【详解】解：∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分， ∴四边形ABCD是菱形， 则四边形ABCD的周长为4AB＝4×6＝24． 故答案为：24． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质．注意证得四边形ABCD是菱形是解此题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，取边上任意一点D（不与点A重合），连结，作，与交于点F，则下列结论中正确的是（    ） ①当点D位置变化时，F始终为中点； ②当D为中点时， 平分； ③当时，四边形为矩形； A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边的中线，菱形的判定与性质．根据平行四边形的性质可判断①；根据菱形的判定与性质可判断②；根据矩形的判定方法可判断③． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴F始终为中点，故①正确； 当D为中点时，则， ∴四边形是菱形， ∴平分，故②正确； ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形为矩形，故③正确． 故选：D． 【跟踪专练2】如下图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为16，则第3个矩形的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，三角形中位线定理，图形类规律探索，根据相关知识找出一般规律是解题关键．标记各点，并连接对角线交于点O，则四边形是矩形，根据矩形性质，得到是的中点，同理可得、、分别为、、的中点，再根据三角形中位线定理，得出第二个矩形的面积=第一个矩形的面积的，进而推出第n个矩形的面积=第一个矩形的面积的，即可求解． 【详解】解：如图，标记各点，并连接对角线交于点O，则四边形是矩形， ∴对角线、互相平分，即对角线、的交点为， ∴是的中点， 同理可得，、、分别为、、的中点， 又∵、、、分别为、、、的中点， ∴、、、分别为、、、的中位线， ∴、、、， ∴矩形的面积为， 即第二个矩形的面积=第一个矩形的面积的， 同理可得，第三个矩形的面积=第二个矩形的面积的=第一个矩形的面积的， …… 观察发现，第n个矩形的面积=第一个矩形的面积的， ∵第一个矩形的面积为16， ∴第3个矩形的面积为， 故答案为：1． 【题型9.用菱形的性质与判定求面积】 【典例】中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．测得．则该菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键． 根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可． 【详解】四边形是菱形， ， ， ， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，两个等宽的矩形叠合得到四边形，若四边形的面积为8，连接、，设．则与之间的函数关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的面积公式（对角线乘积的一半 ）以及利用矩形性质判定菱形是解题的关键．要找出与的函数关系，先判断四边形的形状，再利用其面积公式结合已知条件推导． ∵是两个等宽矩形叠合，可证四边形是菱形，再根据菱形面积公式建立与的联系． 【详解】解：∵两个矩形等宽， ∴四边形的对边平行， ∴四边形是平行四边形． 过A作，于M、N， 又∵矩形等宽， ∴平行四边形的高相等即， ∵平行四边形面积公式底高， ∴， ∴平行四边形是菱形． ∵四边形面积，，， ∴． ∴ ． 故答案为： 【跟踪专练2】如图，已知，分别以点 、 为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴四边形 是菱形， ∴设 和 交于点O， ∴，， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故选：B． 1．如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】先证△DAF≌△DCE，再证△AEG≌△CFG，最后证△DGE≌△DGF，根据全等三角形的性质即可得到∠DGE＝∠DGF． 【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC＝AB＝BC， ∵AE＝CF， ∴DE＝DF 在△DAF和△DCE中， ， ∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴∠EAG＝∠FCG， 在△AEG和△CFG中， ， ∴△AEG≌△CFG（AAS）， ∴EG＝FG， 在△DGE和△DGF中， ， ∴△DGE≌△DGF（SSS）， ∴∠DGE＝∠DGF． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，是线段上一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由菱形的性质得，，再由直角三角形的在得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ． ， ， ． 3．已知：如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与、分别交于点E、O、F．求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，菱形的判定等知识点，证明简单的线段相等，一般是通过全等三角形来证明的．由四边形是平行四边形，即可得, 易证得, 可得, 即可证得四边形是平行四边形，又由, 即可证得四边形是菱形. 【详解】证明：四边形是平行四边形， , , , , 又, 四边形是平行四边形， , 是菱形. 4．四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）首先证明出，得到，然后结合即可证明； （2）首先由菱形的对称性得到；然后证明出，是等边三角形，得到，求出，得到；然后求出， 得到；然后求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点O， ∴点A和点C关于所在直线对称， ∴； ∵，， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与线段相等的线段有，，，． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键． 5.．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．（画图时仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成） (1)以为边画平行四边形； (2)在（1）中所画平行四边形的面积为________； (3)点E为边与网格线的交点，请在上确定一点G，使得．（保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析 (2)15； (3)图见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理与网格问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）利用平移思想，点向左移动4个单位长度，向上移动1个单位长度，得到格点，连接，即可； （2）连接，易得平行四边形为菱形，勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可； （3）连接，交于点，连接，即可，根据菱形的对称性，得到，对顶角得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求； （2）解：观察可知，， ∴平行四边形为菱形， 连接，如图， 由勾股定理，得：， ∴； （3）解：连接，交于点， 如图，点即为所求： 6．如图1，在中，，，，，相交于点O，且，，连接． (1)求的长． (2)求证：． (3)如图2，设与相交于点P，连接，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了菱形的性质及判定，矩形的性质及判定，勾股定理，解题关键是熟练掌握特殊四边形的判定及性质． （1）由条件先证四边形是菱形，再根据菱形性质及勾股定理，即可求解； （2）由条件先证四边形是矩形，再利用对角线相等即可证明； （3）过点D作于点H，通过菱形的等面积法求出，再利用勾股定理求． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴四边形是平行四边形． 由（1）可知四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴． （3）如图，过点D作于点H， ∴， ∵菱形的面积， ∴， ∴解得， 在中，由勾股定理，得， 由（2）可得四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12菱形寒假预习讲义 · 理解菱形定义，知道它是特殊平行四边形 · 记住菱形3 大特性：四边相等、对角线垂直、平分对角 · 掌握3 种菱形判定方法 · 会用对角线乘积一半求面积 · 分清菱形与矩形、平行四边形的区别 预习必备 知识点梳理 1.菱形的定义 2.菱形的性质 3.菱形的判定 4.菱形的面积公式 5.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.利用菱形性质求解 2.利用菱形性质求线段长 3.利用菱形性质求面积 4.利用菱形性质证明 5.添条件使四边形为菱形 6.证明四边形是菱形 7.用菱形的性质与判定求角度 8.用菱形的性质与判定求线段长 9.用菱形的性质与判定求面积 强化题型 (解答题6题) 【知识点01.菱形的定义】 条件：平行四边形 + 一组邻边相等 菱形一定是平行四边形，平行四边形不一定是菱形。 【知识点02.菱形的性质】 菱形具有平行四边形所有性质，还有自身特殊性质： 1. 边的性质 对边平行 四条边都相等（菱形特有） 2. 角的性质 对角相等 邻角互补（与普通平行四边形一样，没有直角） 3. 对角线的性质（重点） 互相平分（平行四边形共性） 互相垂直（菱形特有） 每一条对角线平分一组对角（菱形特有） 4. 对称性 中心对称图形 轴对称图形，有 2 条对称轴（两条对角线所在直线） 【知识点03.菱形的判定】 1. 定义判定 2. 对角线判定 注意：必须先是平行四边形，再垂直。 3. 边判定 不需要先证平行四边形，直接判定。 【知识点04.菱形的面积公式】 1.底 × 高（和平行四边形一样） 2.对角线乘积的一半（菱形专用）S×d1×d2​ d1.d2 为两条对角线长。 【知识点05.易错点总结】 1.对角线相等 ➜ 是矩形特征，不是菱形 2.对角线垂直 ➜ 是菱形特征 3.对角线垂直且相等 ➜ 是正方形 4.只说 “对角线垂直的四边形”不能判定菱形 【题型利用菱形性质求角度】 【典例】如图，在菱形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，这是汽车常备的一种千斤顶的示意图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，的度数为 ． 【跟踪专练2】如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2.利用菱形性质求线段长】 【典例】已知一菱形的边长为4，则其周长为 ． 【跟踪专练1】某中学的剪纸社团想剪出菱形图片作为教学用具，小花同学剪的菱形的两条对角线分别为和，则这个菱形的边长是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则 【题型3.利用菱形性质求面积】 【典例】如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【跟踪专练1】如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的面积等于 ． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（    ） A．9 B． C． D． 【题型4.利用菱形性质证明】 【典例】菱形的性质． ①边：菱形的四条边 ．菱形的两组对边都互相平行． ②角：菱形的对角 ，菱形的邻角互补． ③对角线：菱形的对角线相互 ．且每一条对角线平分一组对角． ④对称性：菱形是既是 对称图形又是 对称图形． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，点 、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点，则下列结论： ；；；； 其中正确的结论是 ． 【题型5.添条件使四边形为菱形】 【典例】在中，添加下列条件，能判定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形为菱形． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【题型6.证明四边形是菱形】 【典例】如图，四边形的对角线互相垂直，且满足，要使四边形为菱形，可添加的一个条件是 ． 【跟踪专练1】如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，过对角线上任意一点，作，，下列结论：①图中共有个菱形；② ；③四边形的面积等于的面积的一半；④四边形的周长等于四边形的周长．其中正确的是 ．（填序号） 【题型7.用菱形下性质与判定求角度】 【典例】把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为 ； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为 ． 【跟踪专练1】如图，以点为圆心，适当的长为半径圆弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则 ．    【题型8.用菱形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，已知四边形的对角线、互相垂直且互相平分，，则四边形的周长为 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，取边上任意一点D（不与点A重合），连结，作，与交于点F，则下列结论中正确的是（    ） ①当点D位置变化时，F始终为中点； ②当D为中点时， 平分； ③当时，四边形为矩形； A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【跟踪专练2】如下图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为16，则第3个矩形的面积为 ． 【题型9.用菱形的性质与判定求面积】 【典例】中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．测得．则该菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，两个等宽的矩形叠合得到四边形，若四边形的面积为8，连接、，设．则与之间的函数关系是 ． 【跟踪专练2】如图，已知，分别以点 、 为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 1．如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：． 2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，是线段上一点，且，求的度数． 3．已知：如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与、分别交于点E、O、F．求证：四边形是菱形． 4．四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 5.．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．（画图时仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成） (1)以为边画平行四边形； (2)在（1）中所画平行四边形的面积为________； (3)点E为边与网格线的交点，请在上确定一点G，使得．（保留作图痕迹） 6．如图1，在中，，，，，相交于点O，且，，连接． (1)求的长． (2)求证：． (3)如图2，设与相交于点P，连接，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $