第1章整式的乘法素养基础试卷2025-2026学年湘教版七年级数学下册

2025-2026年七年级数学下(湘教版)第1章整式的乘法素养基础试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算，同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握各知识点． 根据合并同类项法则、幂的、积的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则以及单项式乘以单项式运算法则分别判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，故不能合并，故错误； B、∵， ∴与右边不符，故错误； C、∵， ∴正确； D、∵， ∴与右边不符，故错误， 故选：C． 2．（本题3分）已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 3．（本题3分）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的法则逐一进行计算，进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 4．（本题3分）如果的乘积中不含项，则m为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据的乘积中不含项，可得含项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵ ， ∵ 乘积中不含项， ∴， ∴ 故选：A． 5．（本题3分）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质和完全平方公式的应用．由绝对值和平方的非负性，可得且，进而求出和的值，再利用完全平方公式求． 【详解】解：， ，． ，． ． 故选：A． 6．（本题3分）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小曾在复习课堂笔记时发现有一道题：，的地方被墨水弄污了，你认为内应填写（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式乘多项式．先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：∵左边 ． 右边， ∴□内应填写． 故选：A． 7．（本题3分）已知关于x的代数式是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．4 B． C．4或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据代数式为完全平方式，需满足其形式为，据此求解即可． 【详解】解：关于x的代数式为完全平方式， 设其等于，即， ， 当时，，解得； 当时，，解得， 故k的值为4或． 故选：C． 8．（本题3分）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其截成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：∵从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板， ∴图甲中阴影部分的面积为， 图乙中阴影部分的面积为， ∴可以验证成立的式子为． 故选：B． 9．（本题3分）如果，那么代数式的值为（   ） A．14 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，将代数式化简后再整体代入即可得到答案，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】解：， ， ， ， 原式， ， ， 故选： A． 10．（本题3分）观察下列各式，寻找规律．已知，计算： ，， ，，… 则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字类规律题，考查了整式乘法，认真观察、仔细思考，弄清题中的规律是解决这类问题的方法.首先利用已知的等比数列求和公式，将转化为；接着根据的幂的个位数字周期规律(周期为)，判断出的个位数字为，进而推出的个位数字为；最后通过分析的奇偶性，得出该式的个位数字为． 【详解】解：依据变化规律，可得：， ∴（当)， 令，，则 . 求 的个位数字， ∵的幂的个位周期为4（3，9，7，1），且 ，余数为1， ∴的个位为， ∴的个位为， ∵为偶数，除以后个位为， ∴和的个位数字为． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（本题3分）计算：① ．②已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方运算，熟知相关运算法则是解题的关键． ①运用积的乘方法则计算； ②运用幂的乘方法则求出，再根据计算求解即可． 【详解】解：①， 故答案为：； ②∵， ∴，即， ∴， 故答案为：54． 12．（本题3分）若，，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 13．（本题3分）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，平方差公式，正确得出关于、的方程组是解题关键．根据已知得出，由进而得出答案． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 方程组中， ∴． 故答案为：． 14．（本题3分）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 利用完全平方公式展开，然后通过两式相减消去平方项，得到关于的等式化简即可得到答案． 【详解】解：①， ②， 由①②得， 即， 解得， 故答案为：． 15．（本题3分）如图，将图①中阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的面积关系可得到的数学公式是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．分别用代数式表示图①、图②中阴影部分的面积即可． 【详解】解：根据图②可以观察出图①阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图②中，阴影部分的面积为， ∴， 即． 故答案为：． 16．（本题3分）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，给出了二项式的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律．如图所示： 观察这些规律，请写出展开式中项的系数为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了杨辉三角与二项式系数规律，解题的关键是根据杨辉三角的性质，推导出展开式的各项系数． 根据杨辉三角的规律，依次写出和的系数行；的系数为1，4，6，4，1，的系数为1，5，10，10，5，1；在的展开式中，项对应系数行中的第4个数，即10． 【详解】解：由杨辉三角的规律可知的系数为：1，4，6，4，1． 的系数为：1，5，10，10，5，1．在的展开式中，项的系数为10． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题6分）利用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)4． 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）将改写为，然后利用完全平方公式进行计算即可； （2）将原式化为，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（本题6分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（）；（）， 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先计算单项式乘以单项式，积的乘方，然后合并同类项即可； （）先利用平方差公式，完全平方公式进行计算，然后合并同类项，最后把，代入计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当，时， 原式 ． 19．（本题8分）某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，小长方形的长为，宽为． (1)求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） (2)零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，正确计算是解题的关键． （1）用大长方形的面积减去小长方形的面积即可得到零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）； （2）用零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）减去小长方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 答：零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）为； （2）解： ， 答：零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大． 20．（本题8分）已知，． (1)直接写出的结果； (2)求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查了幂的混合运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据同底数幂相乘的运算法则计算即可得出结果； （2）根据幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则得出，整体代入，计算即可得出结果； （3）利用完全平方公式的变形计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，且， ∴， ∴． 21．（本题10分）下面是小明同学进行整式计算的过程，请你认真阅读并完成相应的任务． 计算： 解：原式              第一步                    第二步                      第三步                                 第四步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步用到的乘法公式用字母表示为_______，第二步用到的乘法公式用字母表示为_______； ②第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是______________． 任务二：该整式计算的正确结果为_______． 【答案】任务一：①，，②三；括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号；任务二： 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握是解题的关键． 任务一：①第一步用的是平方差公式，第二步用的是完全平方公式； ②第三步去括号时出现错误； 任务二：正确去括号，合并同类项即可得出答案． 【详解】解：任务一：①第一步用到的乘法公式用字母表示为， 第二步用到的乘法公式用字母表示为， 故答案为：； ②第三步开始出现错误，出现错误的原因括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号， 故答案为：三，括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； 任务二： 解：原式 ， 故答案为：． 22．（本题10分）在写课时作业时，嘉嘉和同桌淇淇针对一道题（如下图）产生了分歧．淇淇的说法正确吗？若正确，请你写出这道题的解答过程；若不正确，请说明理由． 【答案】淇淇的说法正确，解答过程见解析. 【分析】先判断淇淇的说法正确，利用平方差公式与完全平方公式进行整式的乘法运算，再合并，最后把代入计算即可． 【详解】淇淇的说法正确，解答过程如下： ． 当时，原式． 【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值，平方差公式与完全平方公式的应用，熟记两个公式并灵活应用是解本题的关键． 23．（本题12分）定义，如．已知（为常数），． (1)若，求的值； (2)若中的满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，同底数幂相乘，正确理解题意列出式子是解题的关键． （1）根据题意列出方程即可解答； （2）根据，求得，再求得，根据题意列出式子，整体代入即可解答． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（本题12分）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为___________． (2)根据图②所得的公式，若，求的值． (3)如图③，某学校有一块梯形空地于点，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】(1)； (2)； (3)种草区域的面积和为60平方米． 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得，将代入计算即可得出答案； （3）设，则种花区域的面积（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为平方米． 【详解】（1）解：∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又， ； （3）解：设， 于点E，米， （平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年七年级数学下（湘教版）第1章整式的乘法素养基础试卷 考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的) 1.(本题3分)下列运算正确的是() A.2a2+a3=3a B.-a2b2.3ab3=-3a2b6 c.（-a2）'=-a D.（-2ab2=4ab2 2.(本题3分)己知单项式6y2与-。xy的积为mx"y3,则m,n的值为() A.m=-2,n=4 B.m=-18,n=4 C.m=-2,n=3 D.m=-18,n=3 3.(本题3分)下列计算正确的是() A.bab5a B.(-3xx2+x-3=-3x3-3x2+3x C.x2y3(x2+2y2）=xy3+2x2y D.-3x-2)(2x-1=-6x2+x+2 4.（本题3分)如果(x-2)(x2+3mx-m)的乘积中不含x2项，则m为() B.0 D.3 2 5.(本题3分)已知x+y+4+(xy-3)=0,则x2+y2的值为() A.10 B.-10 C.16 D.-16 6.(本题3分)数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小曾在复习课堂笔记时 发现有一道题：-4xy3y-2x+3=-12xy2+口-12xy,的地方被墨水弄污了，你认为内 应填写() A.8x2y B.-8x2y C.8xy D.-8xy2 7.(本题3分)已知关于x的代数式x2+2(k+1)x+25是一个完全平方式，则k的值为() A.4 B.-6 C.4或-6 D.±4 8.(本题3分)从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其截 试卷第1页，共3页 成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个 图形阴影部分的面积，可以验证成立的式子为() 图甲 图乙 A.(a-b12=a2-2ab+b2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.a+= 2 9.（本题3分)如果m2+m=5,那么代数式m(m-2)+m(m+2)+2(m+2)的值为() A.14 B.9 C.-1 D.-6 10.(本题3分)观察下列各式，寻找规律.已知x≠1，计算： (x-101+x)=x2-1,(x-101+x+x2)=x3-1, (x-101+x+x2+x3)=x4-1,(x-101+x+x2+x3+x4)=x3-1,… 则1+3+32+33+…+300的个位数字是() A.4 B.3 C.1 D.0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.(本题3分)计算：①3a2b= ②已知x=3,x=6,则x2a+b= 12.(本题3分)若xm+n=3,y+2=2, 则r小 3x-1m1y=5 y=2,在关于a、b x=1 13.(本题3分)已知关于x、y的二元一次方程组 的解是 2x+1y=6 3a+b)-m(a-b)=5 的二元一次方程组 2(a+b)+ma-b=6中，则a2-B= 14.(本题3分)若(a+b2=25,(a-b)=9,则ab= 15.(本题3分)如图，将图①中阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的面积关系 可得到的数学公式是」 试卷第1页，共3页 Q 图① 图② 16.(本题3分)在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，给 出了二项式(a+b的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律.如图所示： (a+b)°=1 1 (a+b)'=a+b 11 (a+b)2=a2+2ab+b2 121 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 1331 1(▲)（▲）（▲）1 观察这些规律，请写出(a+b)展开式中ab项的系数为 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本题6分)利用乘法公式简便计算： ao0: (2)13142-1316×1312. 18.(本题6分)(1)计算：9aa+(-2a2)3; (2)先化简，再求值：(x-2y)(x+2y)-(x-y)2,其中x=-2,y=-1. 19.(本题8分)某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去 一个小长方形（如图）.其中大长方形的长为(3a-5b)cm,宽为a-b)cm,小长方形的长 为acm,宽为a-2b)cm. 3a-5b a a-b a-2b (1)求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）：（结果需要化简） (②)零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 20.(本题8分)已知aa=a,(a)a)(a'）=a. (I)直接写出x+y的结果： (2)求y的值： (3)当x<y时，求x-y的值， 21.(本题10分)下面是小明同学进行整式计算的过程，请你认真阅读并完成相应的任务. 计算：(2x-3)(2x+3+(2x-1)1-2x】 解：原式=(2x)2-9-(2x-1)2 第一步 =4x2-9-(4x2-4x+1 第二步 =4x2-9-4x2-4x-1 第三步 =-4x-10 第四步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步用到的乘法公式用字母表示为 第二步用到的乘法公式 用字母表示为 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务二：该整式计算的正确结果为 22.(本题10分)在写课时作业时，嘉嘉和同桌淇淇针对一道题（如下图）产生了分歧.淇 淇的说法正确吗？若正确，请你写出这道题的解答过程；若不正确，请说明理由. 只知道y的值，没有告诉x 这道题的答案与x 的值，求不出答案 的值无关，可以求解 已知y=-1,求代数式(x+2y)x-2y) (x+3y)2+6xy的值。 嘉嘉 淇淇 a b 3 =1×4-2×3=-2.已知A= 2x+11 23.(本题12分)定义 =ad-bc,如 24 (n为 x-12x (1)若B=8,求x的值； 试卷第1页，共3页 (2)若A中的2满足3×3"+=32，且A-B=2,求4x2-2x+2025的值. 24.(本题12分)观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为(a+b)2=a2+2ab+b2. d ab 花 草花 ab 图① 图② 图③ (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为 (2)根据图②所得的公式，若a+b=7,ab=4,求a2+b2的值. (③)如图③，某学校有一块梯形空地ABCD,AC⊥BD于点E,AE=DE,BE=CE,该校计划在 △AED和BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为 102平方米，AC=18米，求种草区域的面积和 试卷第1页，共3页