精品解析：重庆市杨家坪中学2025-2026学年八年级上学期第三次阶段性练习数学试题

2025-2026学年八年级上学期第三次阶段性练习数学试题 一．选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在括号里． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A B. C. D. 2. 一张纸的厚度大约为0.00011米，数字0.00011用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三根木棒首尾相接，能组成三角形的是（    ） A. 3，4，5 B. 7，8，15 C. 6，12，20 D. 5，5，11 5. 下列从左到右变形，是因式分解的有（ ） ；；；；． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 等腰三角形两条边长分别是6和8，则其周长为（　　） A. 20 B. 22 C. 20或22 D. 20或24 7. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 8. 如图，是用两种类型的黑色箭头摆成的有规律图形，则第50个图形中，黑色箭头▲的个数为（ ） A. 72 B. 73 C. 75 D. 76 9. 如图，，，于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 关于的二次三项式，关于的代数式，下列说法：①当为关于的二次三项式时，则；②当多项式A与的差中不含x项时，则；③当，时，的值总是正数．其中错误的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二．填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在对应的横线上． 11. 要使分式有意义，x的取值应满足_________． 12. 如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为______． 13. 如图，在四边形中，平分，已知，，则的度数为______． 14. 在中，，，，点D为的中点，为的垂直平分线，点E为上任意一点，连接、，则周长的最小值是_________． 15. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是_______． 16. 若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，则称这个四位数为“幸运三和数”．例如：四位数，，是“幸运三和数”．则最小的“幸运三和数”是___________；对于“幸运三和数”，记，．若为整数，且，则满足条件的的值为___________． 三．解答题（本大题9个小题，其中17、18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线） 17 计算： （1） （2） 18 （1）因式分解： （2）解方程： 19. 已知＋＝3，求的值． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上找一点D，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）条件下若，求的长． 21. 如图，在四边形中，，E为中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，且．求证： （1）； （2）． 22. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）若点C与点A关于y轴对称，则点C的坐标为______； （2）在平面直角坐标系中画出； （3）y轴上存在一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为______． 23. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某超市预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价与节后的进价比为，节前用1200元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少20千克．根据以上信息，解答下列问题： （1）该超市节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该超市计划在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该超市节前至多购进A粽子多少千克？ 24. 如图，在中，，，直角顶点在轴上，锐角顶点在轴上． （1）如图1，点A的坐标是，求点B的坐标； （2）如图2，若直角边在两坐标轴上滑动，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于．猜想与有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 25. 问题：在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，请完成下列探究问题． （1）【特例引路】当点E为的中点时，如图1，请判断线段与的数量关系，并说明理由． （2）【猜想证明】如图2，点E在边上，但点E不在的中点处，猜想与的数量关系，并说明理由．（辅助线提示：过点E作交于点F） （3）【变式探究】如图3，点E在的延长线上，点在线段上（不与点B重合），请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明；若不成立，写出与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期第三次阶段性练习数学试题 一．选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在括号里． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 一张纸的厚度大约为0.00011米，数字0.00011用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据0.00011用科学记数法表示为； 故选C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的乘除运算，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及整式的除法．根据运算法则逐一验证每个选项． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算正确，符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 4. 下列长度的三根木棒首尾相接，能组成三角形的是（    ） A. 3，4，5 B. 7，8，15 C. 6，12，20 D. 5，5，11 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为3、4、5的三根木棒能组成三角形，符合题意； B、∵， ∴长为7、8、15的三根木棒不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为6、12、20三根木棒不能组成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为5、5、11的三根木棒不能组成三角形，不符合题意； 故选：A． 5. 下列从左到右变形，是因式分解的有（ ） ；；；；． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】是单项式的变形，不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，不是因式分解； 是乘法运算，不是因式分解； ，符合提取公因式法，是因式分解； 符合因式分解的定义，是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 6. 等腰三角形两条边长分别是6和8，则其周长为（　　） A. 20 B. 22 C. 20或22 D. 20或24 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可知，可以分是腰长与底边两种情况讨论，再利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 【详解】若是腰长，则三角形的三边分别为、、，能组成三角形， 此时周长， 若是底边长，则三角形三边分别为、、，能组成三角形， 此时周长， 综上所述，三角形的周长为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是分情况讨论． 7. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系和确定三角形的条件是解题的关键，根据三角形的三边关系对各项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，此项错误，不符合题意； B、已知两角夹边，三角形即可确定，此项正确，符合题意； C、边边角不能确定三角形，此项错误，不符合题意； D、两角不能确定三角形，此项错误，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，是用两种类型的黑色箭头摆成的有规律图形，则第50个图形中，黑色箭头▲的个数为（ ） A. 72 B. 73 C. 75 D. 76 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，观察图形，得出规律第（为偶数）个图形中黑色箭头▲的个数为，由此计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得： 第1个图形中黑色箭头▲的个数为， 第2个图形中黑色箭头▲的个数为， 第3个图形中黑色箭头▲的个数为， 第4个图形中黑色箭头▲的个数为， 第5个图形中黑色箭头▲的个数为， 第6个图形中黑色箭头▲的个数为， …， 故第（为偶数）个图形中黑色箭头▲的个数为； 故第50个图形中，黑色箭头▲的个数为， 故选：D． 9. 如图，，，于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10. 关于的二次三项式，关于的代数式，下列说法：①当为关于的二次三项式时，则；②当多项式A与的差中不含x项时，则；③当，时，的值总是正数．其中错误的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式的次数，项数，整式加减，计算、和（代入具体值），根据二次三项式定义、不含某项的条件及代数式恒正性判断各说法正误即可． 【详解】解：∵ ，， ①， 当二次三项式时，需二次项系数，即，①错误； ②， 不含x项时，x项系数， ∴，②正确； ③ 当，时，， 的值不总是正数，③错误； ∴ 错误个数为2， 故选B． 二．填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在对应的横线上． 11. 要使分式有意义，x的取值应满足_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0． 根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】∵分式有意义， ∴ ∴． 故答案为：． 12. 如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和折叠，先根据勾股定理求出，根据折叠的性质得出，，，在中，根据勾股定理得出，然后解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，平分，已知，，则的度数为______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】证明点是、和的平分线的交点，利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：过点分别作直线、、的垂线，垂足分别为、、， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，即平分， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定，三角形的外角性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 14. 在中，，，，点D为的中点，为的垂直平分线，点E为上任意一点，连接、，则周长的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短，先利用勾股定理求出的长，从而可得的长，再利用勾股定理可得的长，然后根据线段垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，则的周长最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长， ∴周长的最小值是， 故答案为：． 15. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是_______． 【答案】13 【解析】 【分析】解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为，列出不等式，求出a的范围；解出分式方程，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得a的范围；检验分式方程，列出不等式，求得a的范围；综上所述，得到a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求和即可． 【详解】解： 由①解得，， 由②解得 不等式组的解集为， ， 解得， 解方程， 去分母，得：， 解得：， 此方程的解是正整数， ， 解得， ， ， ， ，且， 能使是正整数的a的值为5、8， 所有满足条件的整数a的值之和是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的解、一元一次不等式组的解；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键． 16. 若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，则称这个四位数为“幸运三和数”．例如：四位数，，是“幸运三和数”．则最小的“幸运三和数”是___________；对于“幸运三和数”，记，．若为整数，且，则满足条件的的值为___________． 【答案】 ①. 1723 ②. 2715 【解析】 【分析】本题考查了新定义数字问题、代数式化简与整数整除性质的综合应用，解题的关键是紧扣“幸运三和数”的定义，结合代数式等式推导数位间的关系，利用整数特征确定各数位数字的取值． ①求最小的“幸运三和数”：遵循四位数从小到大的数位规律，千位取最小非零值，再依次尝试最小的百位数字，结合的定义，找到能使c、d为非零且与a、b互不相等的数字的最小组合，确定四位数； ②求满足条件的：先将展开化简，代入消去，得到a、c的关系式，设利用整数性质确定a、c的唯一值；再将a、c代入定义式得与的关系，结合为整数的整除条件，试值确定b、d，最终得到符合条件的四位数 【详解】解：①要使四位数最小，千位取最小非零整数， 依次尝试百位的最小取值：时，，得，无正整数解； 时，，得，无正整数解； 时，，得，无互不相等的正整数解； 时，，得，无互不相等的正整数解； 时，，得，无互不相等的正整数解； 时，，得，取，，均为非零整数且与a、b互不相等． 故最小的“幸运三和数”为1723． ② 由，得， 由“幸运三和数”定义，得， 代入上式： 设（为正整数，a、c为的整数），则， ， 因为正整数，试值： 时，，符合条件； 时，非整数，舍去． 故且，解得，． 将，代入，得， ， 又为整数， 代入，，， ． 因b、d为的整数，且数字互不相等，试值： 要使为整数，则应为12的倍数, ∵， ∴必须是12的倍数， 又因为的数字 当时，，数字2、7、1、5互不相等，且， 故． 故答案为：1723；2715． 三．解答题（本大题9个小题，其中17、18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式四则混合运算，熟练掌握同底数幂相除，积的乘方，完全平方公式，平方差公式等是解题的关键． （1）根据单项式的乘除运算法则计算即可； （2）将两项分别用平方差公式和完全平方公式展开再合并同类项，即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. （1）因式分解： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解和分式方程的解法，灵活运用完全平方公式进行因式分解和熟练进行分式方程求解是解题关键． （1）将变形为，符合完全平方公式，即可进行因式分解； （2）按照去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1的步骤解分式方程，注意检验分式方程的根． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母，得， 移项，合并同类项并系数化为1，解得， 经检验，是该分式方程的解， 故该方程的解为 19. 已知＋＝3，求的值． 【答案】18 【解析】 【详解】试题分析：分子分母同除以xy，然后整体代入即可求值. 试题解析：根据分式的特点， 分子、分母同时除以xy得 原式= ＝18. 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上找一点D，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作垂直平分线，等腰三角形的判定及性质，等角的余角相等． （1）由可得点D在的垂直平分线，运用尺规作图——作垂直平分线的方法作出的垂直平分线，与的交点D即为所求； （2）由（1）可得，从而，根据等角的余角相等得到，从而，根据即可解答． 【小问1详解】 解：如图，点D为所求． 【小问2详解】 解： 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键． （1）由可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，由可证，可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 是的中点， ， 在与中 ， ； 【小问2详解】 ， ， 又 ， ，且， ． ， ． 22. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）若点C与点A关于y轴对称，则点C的坐标为______； （2）在平面直角坐标系中画出； （3）y轴上存在一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为______． 【答案】（1） （2）如图所示 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）作出点A关于y轴的对称点， （2）再首尾顺次连接即可，即可得出答案； （3）根据轴对称性质可确定P的位置． 【小问1详解】 作出点A关于y轴的对称点，； 【小问2详解】 如图所示，即为所求， 【小问3详解】 点即为所求： 设的解析式为：， 把和代入解析式可得： ， 解得：， 即， 把代入解析式， 的坐标为， 故答案为：． 23. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某超市预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价与节后的进价比为，节前用1200元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少20千克．根据以上信息，解答下列问题： （1）该超市节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该超市计划在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该超市节前至多购进A粽子多少千克？ 【答案】（1）10元 （2）300千克 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确列出方程是解题的关键． （1）设超市节前每千克粽子进价是元，则节后进价为元，由题意得：，解方程即可； （2）设超市节前购进A粽子y千克，则节后购进千克，由题意得：，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设超市节前每千克粽子的进价是元，则节后进价为元， 由题意得：， 解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴节后进价为元， 答：超市节后每千克粽子的进价是10元． 【小问2详解】 解：节前每千克粽子的进价为元， 设超市节前购进A粽子y千克，则节后购进千克， 由题意得：， 解得：， ∴该超市节前至多购进A粽子300千克． 24. 如图，在中，，，直角顶点在轴上，锐角顶点在轴上． （1）如图1，点A的坐标是，求点B的坐标； （2）如图2，若直角边在两坐标轴上滑动，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于．猜想与有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1） （2）；证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． （1）先证，得出，从而得出点B的坐标； （2）首先证明，然后根据，y轴恰好平分，可推导得出结论． 【小问1详解】 解：过点作轴垂线，垂足为，如图所示： 则， ∵， ∴， ， ∵， 在和中， ， ， ∴，， 点A的坐标是， ，， ， 点B的坐标是． 【小问2详解】 解：，理由如下， 作的延长线交的延长线于点F，如下图所示， 是等腰直角三角形，， 直角顶点C在x轴上，轴于E， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，y轴恰好平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ． 25. 问题：在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，请完成下列探究问题． （1）【特例引路】当点E为的中点时，如图1，请判断线段与的数量关系，并说明理由． （2）【猜想证明】如图2，点E在边上，但点E不在的中点处，猜想与的数量关系，并说明理由．（辅助线提示：过点E作交于点F） （3）【变式探究】如图3，点E在的延长线上，点在线段上（不与点B重合），请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明；若不成立，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3）仍然成立，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形的性质与判定，解题的关键是： （1）根据三线合一的性质求出，，根据等边对等角以及三角形外角的性质求出，然后根据等角对等边即可得出答案； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，推出，根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得出答案； （3）过点作交的延长线于点，证明是等边三角形，推出，根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： 是等边三角形， ， ∵点E为中点， ，， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点作交于点， 是等边三角形， ，， ， ，， 是等边三角形， ， ，即， ， ， 又∵， ， ； 【小问3详解】 解：结论仍成立，理由如下： 过点作交的延长线于点， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ，即， 又∵， ， 又∵，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $