5.2.3 简单复合函数的导数 同步练习题-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.3简单复合函数的导数 一、单选题 1．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 4．已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．曲线在点处切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 7．已知为函数的导函数，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D．2025 8．曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 9．下列命题正确的有（    ） A． B．已知函数在上可导，若，则 C．已知函数，若，则 D． 10．下列导数计算正确的是（   ） A． B． C． D． 11．若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若函数与函数的图象在处有相同的切线，则 . 13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 14．若直线与曲线相切，则 . 四、解答题 15．求下列函数的导函数. (1)； (2). 16．已知函数满足,求的解析式 17．设函数，曲线在点处的切线方程为，求，的值． 18．已知函数． (1)当时，写出函数的定义域并求这个函数的导数； (2)若曲线在点处的切线方程为，求a的值． 19．已知函数， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则即可求解. 【详解】对于A选项，由对数函数的求导公式，得，故A正确； 对于B选项，由复合函数的求导法则，得，故B错误； 对于C选项，由指数函数的求导公式，得，故C错误； 对于D选项，由正弦函数的求导公式，得，故D错误. 故选：A. 2．D 【分析】根据复合函数求导原则，结合代入法进行求解即可. 【详解】. 故选：D 3．A 【分析】首先根据函数的奇偶性求出时的函数解析式，然后再根据导数的几何意义求解切线方程即可. 【详解】若，则， 则当时，， 为奇函数，， 即当时， ， ，则， 即曲线在点处的切线斜率. 因此可得：切线方程为， 即：. 故选：A 4．D 【分析】设切点分别为和，再由导数求得斜率相等，得到，构造函数由导数求得参数的范围． 【详解】的导数的导数为， 设与曲线相切的切点为相切的切点为， 则有公共切线斜率为， 又，即有，即为，即有， 则有，即为，恰好存在两条公切线，即有两解， 令，则， 当时，递减，当时，递增， 即有处取得极大值，也为最大值，且为， 由恰好存在两条公切线可得与 有两个交点， 可得的范围是， 故选：D. 5．A 【分析】根据给定条件，求出导数并利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】函数，求导得， 则曲线在点处切线斜率， 所以所求倾斜角为. 故选：A 6．C 【分析】根据复合函数的求导法则求得，然后利用导数的定义求解即可. 【详解】由得，所以， 所以. 故选：C. 7．B 【分析】由对数的性质求出函数的定义域，再根据解析式得，并应用求导法则得，即可求值. 【详解】由或，则函数的定义域为， 又， 所以，则， 综上，. 故选：B 8．B 【分析】令，求其导数，由条件分析出，求出值即可. 【详解】令，则. 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 且直线的斜率为2， 所以曲线在处的切线斜率为， 即，解得. 故选：B 9．ACD 【分析】利用导数的运算法则求解判断ACD；利用导数的定义计算判断B. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，由，得，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 10．ACD 【分析】由基本初等函数的法则即可判断选项A，C；由复合函数的求导法则即可判断选项B，D. 【详解】由对数函数的求导法则可得，故选项A正确； 令，则，，， 由复合函数的求导法则可得，故选项B错误； 由基本初等函数的法则可知，故选项C正确； 令，则，，， 由复合函数的求导法则可得，故选项D正确. 故选：ACD. 11．ACD 【分析】根据简单复合函数导数的求法，求出函数导数，根据函数导数值域，判断是否存在使导函数值乘积为的两个值，逐一判断各选项正误，判断结果. 【详解】由可知，，则存在，，使成立，A正确； 由可知，，不存在，，使成立，B错误； 由可知，，则存在，使得成立，C正确； 由可知，，则存在，，使成立，D正确. 故选：ACD. 12．1 【分析】根据题意结合导数的几何意义计算即可. 【详解】因为，，则，， 若函数与函数的图象在处有相同的切线， 且，则，即. 故答案为：1. 13． 【分析】求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程. 【详解】对于函数，由可得，故函数的定义域为， ，所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 故答案为：. 14． 【分析】对进行求导得，结合导数的几何意义和切点同时在直线和曲线上列方程，即可求出答案. 【详解】由得， 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】根据题意，利用导数的运算法则，准确计算，即可求解； 【详解】（1）由函数， 可得. （2）由函数， 可得 16． 【分析】求导，令得到，故，令得到，从而得到函数解析式. 【详解】， 令得：，故， 故，令得， 故， 故. 17．， 【分析】根据题意求出，根据求，的值即可． 【详解】因为，所以． 依题设，即. 解得． 18．(1)定义域为， (2) 【分析】（1）先根据对数的意义求函数的定义域，然后由导数乘法公式求导数； （2）通过切点在切线上和函数的导数值等于切线的斜率，联立方程组求解即可. 【详解】（1）当时，函数，其定义域为. 求导得； （2）由题意，切点 在切线 上，得 ， 由函数定义得 ，故 ①，切线斜率为 ，即 ， 由 得 ，故 ②， 将①代入②得 ，解得 . 19．(1)； (2)存在两条直线或满足题意. 【分析】（1）根据导函数得出切线斜率，再应用点斜式即可得出切线方程； （2）先设切点，，再分别写出切线方程，对应相等列式，结合指对数运算即可求解. 【详解】（1）当时，，，， 则在点处的切线方程为； （2）若，设直线与曲线相切于点，则，， 直线与曲线在点处的切线方程为， 设直线与曲线相切于点，则， 直线与曲线在点处的切线方程， 由题意可知： 由①得，将与代入②得 所以或， 所以存在两条直线或与曲线和都相切． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $