5.2.2 导数的四则运算法则 同步练习题-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.2导数的四则运算法则 一、单选题 1．若函数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数与的图象在处的切线重合，则（    ） A． B．e C． D． 4．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的导数（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的导函数为，且满足，则（   ） A．1 B．-1 C． D． 8．若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法中正确的是（    ） A． B． C．设函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 10．已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的值不可能为（    ） A． B． C． D． 11．下列求导结果正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为 . 13．已知， 则的导函数为 . 14．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 四、解答题 15．求下列函数的导函数． (1)； (2)，； (3)； (4)． 16．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，求. 17．已知是函数的导函数，且． (1)求； (2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 18．已知函数. (1)直线为曲线在点处的切线，求直线的方程； (2)求过原点且与曲线相切的切线方程及切点坐标. 19．已知函数. （1）若，求a的值； （2）若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】根据导数的运算法则求导函数，从而得所求. 【详解】因为， 所以，故. 故选：B. 2．C 【分析】由导数的几何意义求得切线斜率，再由垂直关系即可求解. 【详解】设，求导得， 即，即曲线在处的切线斜率为． 又曲线的切线与直线垂直， 可得，所以， 解得． 故选：C 3．A 【分析】根据导数的几何意义，分别求出两个切线方程，再根据切线方程重合列方程，即可求解. 【详解】对求导可得， 所以在处的切线斜率，又, 所以切线方程为，整理得， 对求导可得， 所以在处的切线斜率，又, 所以切线方程为，整理得， 所以，即，所以. 故选：A 4．C 【分析】利用商的导数来求导，再利用导数的几何意义来求切线斜率，从而可求切线方程，即可求切线与两坐标轴所围成的面积. 【详解】求导得：，则， 又因为，所以曲线在点处的切线方程为， 则与轴相交于点，与轴相交于点， 所以与两坐标轴所围成的三角形的面积为， 故选：C. 5．B 【分析】根据导数的运算法则计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 6．B 【分析】直接根据诱导公式、函数的求导法则和商的求导公式可得所求. 【详解】， 所以， 故选：B 7．B 【分析】由导数的四则运算即可求解. 【详解】由， 求导可得：， 令，可得：， 故选：B 8．D 【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义和斜率公式列方程，根据有两条切线得到方程有两个根，然后列不等式求解即可. 【详解】设切点坐标为，， 所以斜率， 则切线方程为， 又在切线上，所以 因为曲线有两条过的切线，所以方程有两个解， 整理得，所以，解得或. 故选：D. 9．BC 【分析】利用基本初等函数的导数公式及运算法则求解即可. 【详解】对于选项A:结合题意可得：,故选项A错误； 对于选项B:结合题意可得：,故选项B正确； 对于选项C: ,由， ，解得，故选项C正确； 对于选项D:结合题意可得：,， 解得，故选项D错误. 故选：BC. 10．BC 【分析】设切点为，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，可得出，求出的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】设切点为，因为，则， 则切线的斜率为，故切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得，整理得， 因为曲线过点的切线有两条，则关于的方程有两个不等的实根， 所以，解得或， 故选：BC. 11．BD 【分析】根据导数的四则运算一一计算即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：BD. 12．/ 【分析】利用导数求出切线斜率，根据直线平行的斜率关系列方程可解. 【详解】由可得， 则切线斜率， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以，解得. 故答案为： 13． 【分析】根据基本初等函数的求导公式及运算法则求解即可. 【详解】由， 则. 故答案为：. 14． 【分析】由导数的几何意义和导数的运算公式求解即可. 【详解】由，得，所以， 又因为，则切点坐标为， 故曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为： 15．(1) (2)，． (3)． (4)． 【分析】由导数的四则运算求导即可. 【详解】（1）． （2），． （3） （4）． 16． 【分析】求导得，则，，结合切线方程得到方程组，解出即可. 【详解】求导得，则，， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，解得. 则，故将代入切线方程得，则. 17．(1) (2)2 【分析】（1）求导，通过赋值即可求出，进而可求的值； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与两坐标轴的交点即可求出三角形面积. 【详解】（1）由题可知， 令，则，解得． 因为，所以． （2）由（1）可知，， 则所求的切线方程为，即， 所以该切线与坐标轴的交点为和， 则所求三角形的面积为． 18．(1) (2)， 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程/. （2）设出过原点的切线与函数图象相切的切点坐标，表示出切线方程，进而求出切点坐标即可得解. 【详解】（1）由，得点在曲线上， 求导得，则， 所以所求切线的方程为，即. （2）设切点为，则切线的斜率为， 切线的方程为：， 由切线过点，得，整理得， 解得，，切线的斜率， 所以切线的方程为，切点坐标为. 19．（1）1；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出,根据题意可得，解方程即可求出结果； （2）求出，根据不等式的性质即可证出结论. 【详解】（1）因为，， 所以，解得. （2）函数的定义域是， ， 所以， 当，时，，， 可得. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $