5.2.1 基本初等函数的导数 同步练习题-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.1基本初等函数的导数 一、单选题 1．下列函数中求导错误的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A．3 B．1 C．-3 D．-1 3．已知，若，则（    ） A．1 B． C． D． 4．曲线在处切线的斜率为（    ） A．4 B．2 C． D． 5．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 6．设，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数： （1）      （2）      （3）     （4） 其中有“巧值点”的函数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知，则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数若，则实数的值可为（    ） A．2 B． C． D．4 10．若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（   ） A． B． C． D． 11．下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 三、填空题 12．已知函数则 13．已知函数，则 ． 14．设函数，其中，则导数的取值范围是 . 四、解答题 15．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 16．已知，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若曲线经过点，求它与（1）中切线的另一个交点． 17．已知函数，点在曲线上. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 18．已知点，，函数． (1)过坐标原点作曲线的切线，求切线方程； (2)在曲线上是否存在点，使得过点的切线与直线平行？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 19．若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】根据初等函数的导数公式逐项判定，可得答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：B. 2．A 【分析】对函数求导，令即可求出的值. 【详解】因为， 对函数求导， 令，则，解得. 故选：A. 3．B 【分析】对函数求导，根据题中条件代入计算得到答案. 【详解】， ，解得. 故选：B. 4．D 【分析】由导数知识可得，据此结合题意可得答案. 【详解】因为，所以曲线在处切线的斜率为. 故选：D 5．D 【分析】根据导数的极限定义，借助于导数公式即可求解. 【详解】由求导，可得， 则. 故选：D. 6．D 【分析】逐个求导即可发现周期规律，根据规律计算即可得解. 【详解】因为，所以，，，， 由，则. 故选：D. 7．C 【分析】根据题意利用“巧值点”的定义及方程解的情况判断即可. 【详解】（1）因为，不存在使得，没有巧值点； （2）由，令，即，得或2，有巧值点； （3）因为，如图， 由图象知有解，有巧值点； （4）因为，满足，有巧值点. 所以有巧值点的函数有3个. 故选：C． 8．B 【分析】首先对原函数求导并结合赋值法求解原函数，再利用导数求出切线方程，求出切线和坐标轴的交点，最后得到三角形面积即可. 【详解】因为，所以， 令，得到，解得， 代回原函数得到， 而，故切点为， 而，， 设曲线在处的切线斜率为， 由导数的几何意义得， 故切线方程为，化简得， 令，得到，所以与轴交点为， 令，得到，所以与轴交点为， 且设三角形面积为，故，故B正确. 故选：B 9．BC 【分析】根据常见初等函数的导数公式，结合代入法，分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，， 解得，（舍去）；当时，，解得． 故选：BC 10．BCD 【分析】依次对各项函数求导，根据导数的几何意义，及已知切线的斜率判断是否存在导数值为，即可得答案. 【详解】直线的斜率为， 由的导数为，故A错； 由的导数为，令，解得，故B对； 由的导数为，而有解，故C对； 由的导数为，令，解得，故D对． 故选：BCD 11．AB 【分析】利用基本初等函数求导公示表可直接判断ABC，易知，求得其导函数直接代入计算即可知D错误. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确. 对于C，由，得，C错误； 对于D，由可知，则，D错误 故选：AB 12．1 【分析】先求的导函数，再令即可得到的方程. 【详解】因为函数则 当时，则，解得则 故答案为：1 13．/ 【分析】根据瞬时变化率的定义及基本初等函数的导数即可求解. 【详解】因为， 所以. 根据瞬时变化率的定义可得：. 故答案为：. 14． 【分析】求导后利用辅助角公式结合正弦函数的值域可得. 【详解】由题意得，，， ，，，即. 故答案为：. 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】根据基本初等函数的导数公式去求导即可解决 【详解】（1），则 （2），则 （3），则 （4），则 16．(1) (2) 【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率，结合切点坐标可得方程； （2）由可得函数解析式，与直线方程联立可求得交点坐标. 【详解】（1），，又， 在点处的切线方程为，即. （2）由题意知：，解得：，， 由得：或， 与除外的另一个交点为. 17．(1)； (2)或. 【分析】（1）应用导数几何意义求曲线上一点处的切线方程即可； （2）令所求切线在曲线上的切点为，由导数几何意义写出切线方程，结合点在切线上求参数，即可得切线方程. 【详解】（1）由题意，故， 所以，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）令所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为， 又在切线上，故或， 所以切线方程为或. 18．(1) (2)存在，． 【分析】（1）设出切点的横坐标，由切点处的导数即为切线的斜率，列方程求解切点横坐标，再利用直线的点斜式方程写出即可； （2）设出的横坐标，求出斜率，由点处的导数等于斜率解方程即可． 【详解】（1）设切点为． 因为，所以． 由题意可得，解得， 所以切线方程为，即． （2）过点，的直线的斜率为． 假设存在点，使得过点的切线与直线平行，设，， 则有，得． 又，所以， 所以在曲线上存在点，使得过点的切线与直线平行， 且点的横坐标为． 19．(1)；； (2)；. 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求切线方程可得； （2）根据公切线的定义可求得公切点，进而可得所求结果. 【详解】（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为． 对求导，可得，将代入，得切线斜率． 切线方程，即. 对求导，，将，得切线斜率． 切线方程，即. 所以交点处的切线方程为，. （2）设公切点． 对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率． 对求导，可得，则在点处的切线斜率. 因为两函数在点处存在公切线，所以，即①． 又因为点在两函数图象上，所以②． 由①得，将其代入②可得：，即，解得. 将代入（1）得：，解得. 将代入得. 所以，点的坐标为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $